2017-2018学年人教A版选修2-1 空间向量与空间角、距离 课时达标检测

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课时达标检测(二十) 空间向量与空间角、距离

一、选择题

1.已知平面α的一个法向量为n =(-2,-2,1),点A (-1,3,0)在平面α内,则点P (-2,1,4)到平面α的距离为( )

A .10

B .3 C.83

D.103

解析:选D 点P 到平面α的距离 d =?????PA ―→·n |n |=??????-2-4-44+4+1=103

. 2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BC =2,DD 1=3,则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )

A .0 B.37070

C .-

370

70

D.7070

解析:选A 建立如图空间直角坐标系,则D 1(0,0,3),B (2,2,0),A (2,0,0),C (0,2,0),

∴BD 1―→=(-2,-2,3),AC ―→

=(-2,2,0). ∴cos 〈BD 1―→,AC ―→

〉=BD 1―→·AC ―→|BD 1―→||AC ―→ |=0.

∴〈BD 1―→,AC ―→

〉=90°,其余弦值为0.

3.已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE ,SD 所成的角的余弦值为( )

A.13

B.23

C.33

D.23

解析:选C 建立如图所示的空间直角坐标系,令正四棱锥的棱长为2,则A (1,-1,0),

D (-1,-1,0),S (0,0,2),

E ???

?12,12,

22,

∴AE ―→=????-12,32,

22, SD ―→

=(-1,-1,-2),

∴cos 〈AE ―→,SD ―→

〉=AE ―→·SD ―→AE ―→||SD ―→|=-33,

∴AE ,SD 所成的角的余弦值为

33

. 4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是C 1C 的中点,则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( )

A .-105 B.105 C .-

155

D.155

解析:选B 建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D (0,0,0),B (2,2,0),B 1(2,2,2),E (0,2,1).

∴BD ―→=(-2,-2,0),BB 1―→=(0,0,2),BE ―→

=(-2,0,1). 设平面B 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ). ∵n ⊥BD ―→,n ⊥BB 1―→,

∴????? -2x -2y =0,2z =0.∴?

????

x =-y ,z =0. 令y =1,则n =(-1,1,0).

∴cos 〈n ,BE ―→

〉=n ·BE ―→|n ||BE ―→|=105

, 设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ, 则sin θ=|cos 〈n ,BE ―→

〉|=105

.

5.正方形ABCD 所在平面外有一点P ,PA ⊥平面ABCD .若PA =AB ,则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )

A .30°

B .45°

C .60°

D .90°

解析:选B 建立空间直角坐标系如图,设AB =1,

则A (0,0,0),B (0,1,0), P (0,0,1),D (1,0,0),C (1,1,0). 平面PAB 的法向量为n 1=(1,0,0). 设平面PCD 的法向量n 2=(x ,y ,z ), 则?????

n 2·PD ―→=0,n 2·

CD ―→=0,得?????

x -z =0,y =0.

令x =1,则z =1.

∴n 2=(1,0,1),cos 〈n 1,n 2〉=

12=2

2

. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22

. ∴此角的大小为45°. 二、填空题

6.直线l 的方向向量a =(-2,3,2),平面α的一个法向量n =(4,0,1),则直线l 与平面α所成角的正弦值为________.

解析:设直线l 与平面α所成的角是θ,a ,n 所成的角为β,sin θ=|cos β|=

????

??(-2,3,2)·(4,0,1)17×17=617.

答案:

6

17

7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱AA 1和BB 1的中点,则sin 〈CM ―→,D 1N ―→

〉=________.

解析:建立如图空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则C (0,2,0),M (2,0,1),D 1(0,0,2),N (2,2,1).

可知CM ―→=(2,-2,1),D 1N ―→

=(2,2,-1), CM ―→·D 1N ―→=2×2+(-2)×2+1×(-1)=-1, |CM ―→|=3,|D 1N ―→

|=3,

∴cos 〈CM ―→,D 1N ―→

〉=CM ―→·D 1N ―→|CM ―→||D 1N ―→|=-19

, ∴sin 〈CM ―→,D 1N ―→

〉=459.

答案:

45

9

8.如图,已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等,二面角D -AB -E 为直二面角,M 为AB 的中点,FM 与BD 所成的角为θ,且cos θ=3

9

,则AB

BC

=________.

解析:建立如图所示空间直角坐标系,设AB =1,BC =λ,则F (λ,0,0),M ???

?0,1

2,0,B (0,1,0),D (0,0,λ). ∵FM ―→=?

???-λ,12,0,BD ―→

=(0,-1,λ).

∴cos θ=|FM ―→·BD ―→|

|FM ―→|·|BD ―→|

???

?-12λ2+1

4

·λ2+1

=3

9, 解得λ=2,所以AB BC =2

2.

答案:

22

三、解答题

9.如图所示,已知在四面体ABCD 中,O 为BD 的中点,CA =CB =CD =BD =2,AB =AD = 2.

(1)求证:AO ⊥平面BCD ;

(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.

解:(1)证明:因为BO =DO ,AB =AD ,所以AO ⊥BD . 因为BO =DO ,BC =CD , 所以CO ⊥BD .

在△AOC 中,由已知可得AO =1,CO =3, 而AC =2,所以AO 2+CO 2=AC 2, 所以∠AOC =90°,即AO ⊥OC . 因为BD ∩OC =O ,所以AO ⊥平面BCD .

(2)以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (1,0,0),D (-1,0,0),C (0,3,0),A (0,0,1), BA ―→

=(-1,0,1), CD ―→

=(-1,-3,0),

所以cos 〈BA ―→,CD ―→

〉=BA ―→·CD ―→|BA ―→||CD ―→|=24,

所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为

24

.

10.如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ∥CD ,AD =CD =1,∠BAD =120°,∠ACB =90°.

(1)求证:BC ⊥平面PAC ; (2)若二面角D -PC -A 的余弦值为

5

5

,求点A 到平面PBC 的距离. 解:(1)证明:∵PA ⊥底面ABCD ,BC ?平面ABCD , ∴PA ⊥BC , ∵∠ACB =90°, ∴BC ⊥AC , 又PA ∩AC =A , ∴BC ⊥平面PAC .

(2)设AP =h ,取CD 的中点E ,则AE ⊥CD , ∴AE ⊥AB .又∵PA ⊥底面ABCD ,∴PA ⊥AE . 建立如图所示的空间直角坐标系,

则A (0,0,0),P (0,0,h ),C 32,1

2

,0, D

32,-1

2

,0,B (0,2,0), AP ―→=(0,0,h ),AC ―→=

????32,12,0, PC ―→=????32,12,-h ,

PD ―→=???

?32,-12,-h .

设平面PAC 的一个法向量为n 1=(x ,y ,z ),

则????? AP ―→·n 1=0, AC ―→·n 1=0,即?????

hz =0,32x +1

2y =0.

令x =h ,得n 1=(h ,-3h ,0). 同理得平面PDC 的一个法向量n 2=??

?

?h ,0,32. ∵cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=55

, ∴h = 3.

又可求得平面PBC 的一个法向量n 3=(3,3,2), 所以,点A 到平面PBC 的距离为 d =??????AP ―→·n 3|n 3|=234=32.

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m

2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

(二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.

(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b | ? , 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向 向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量, φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | ? . 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ,如图(2)(3). 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值. 直线与平面所成角的范围为????0,π 2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互

补,需要结合图形进行判断. 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2. 如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0). (1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→ =(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则????? n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0, 即????? 2y =0,2x -2z =0. 不妨取z =1,可得n =(1,0,1).

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生会求平面的法向量; 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法; 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量; 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式: 1、二面角的平面角:(范围:],0[πθ∈) 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形) Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图,ABCD 是一直角梯形,?=∠90ABC ,⊥SA 面ABCD ,1===BC AB SA ,

空间向量与空间距离

空间向量与空间距离 1.了解点到直线、平面距离的概念. 2.会用空间向量 求点到直线、平面距离. 空间距离的向量求法 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B →的长度.() 所成向量AB (2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.() (3)若平面α∥β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条

直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |=( ) A.534 B.532 C.532 D.132 答案:C 3.已知直线l 过点A (1,-1,2),和l 垂直的一个向量为n =(-3,0,4),则P (3,5,0)到l 的距离为( ) A .5 B .14 C.145 D.45 答案:C 4.已知直线l 与平面α相交于点O ,A ∈l ,B 为线段OA 的中点,若点A 到平面α的距离为10,则点B 到平面α的距离为________. 答案:5 探究点一 点到直线的距离 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′,AB =1,BC =2,AA ′=3,求点B 到直线A ′C 的距离.

[解] 因为AB =1,BC =2,AA ′=3,所以A ′(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0), 所以直线A ′C 的方向向量A ′C →=(1,2,-3). 又BC →=(0,2,0), 所以BC →在A ′C →上的射影长为|BC →·A ′C →||A ′C →|=414. 所以点B 到直线A ′C 的距离 d =|BC →|2-????????BC →·A ′ C →|A ′C →|2= 4-1614 =2357. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长; (4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1.(本小题满分10分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD 为正方形,四边形ADPQ 是直角梯形,DP AD ⊥,⊥CD 平面ADPQ ,DP AQ AB 2 1==. (1)求证:⊥PQ 平面DCQ ; (2)求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小. 2.(满分13分)如图所示,正四棱锥P -ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6. (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小; (2)若E 是PB 的中点,求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (3)问在棱AD 上是否存在一点F ,使EF ⊥侧面PBC ,若存在,试确定点F 的位置;若不存在,说明理由. B

3.(本小题只理科做,满分14分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. (1)求证:AF//平面BCE; (2)求证:平面BCE⊥平面CDE; (3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点. = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; (1)求证:// (2)求平面GEF和平面DEF的夹角.

H P G F E D C B 5.如图,在直三棱柱111AB C A B C -中,平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. (Ⅰ)求证:AB BC ⊥; (Ⅱ)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6.如图,四边形ABCD 是正方形,EA ⊥平面ABCD ,EA PD ,2AD PD EA ==,F ,G , H 分别为PB ,EB ,PC 的中点. (1)求证:FG 平面PED ; (2)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

利用空间向量求空间角和距离

利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点,则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B .3015 C. 3010 D. 1515 解析:选C 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B 1(2,2,2),M (1,1,0),D 1(0,0,2),N (1,0,0),∴B 1M ―→ =(-1,-1,-2),D 1N ―→ =(1,0,-2), ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|= |-1+4|1+1+4×1+4=30 10 . 2.如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =1 3AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B .277 C.33 D.24 解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0), ∴DC 1―→=(0,3,1),D 1E ―→=(1,1,-1),D 1C ―→ =(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则????? n ·D 1E ―→=0,n · D 1C ―→=0,即????? x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3). ∴cos DC 1―→,n =DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| =33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .

利用向量法求空间角经典教案

利用空间向量求空间角 目标:会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法; 一、复习回顾向量的有关知识: (1)两向量数量积的定义:><=?,cos ||||(2)两向量夹角公式:| |||,cos b a b a >= < 二、知识讲解与典例分析 知识点1:两直线所成的角(范围:]2 , 0(π θ∈) (1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′,那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b , 问题1: 当与的夹角不大于90°时,异面直线 的角θ与 和 的夹角的关系? 问题 2:与的夹角大于90°时,,异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系? 结论:异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ 例1如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则)2,,0(),0,2 1 ,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC - =,)2,2 1 ,23(1a a a CB = 即21323,cos 22 111111==>= <11,cos BE DF 与>

第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离 思维导图 知识梳理 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b |, 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ,如图(2)(3). 4.利用空间向量求距离 (1)两点间的距离

设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB ―→ |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO ―→|=|AB ―→ ·n | |n | . 题型归纳 题型1 异面直线所成的角 【例1-1】(2020?济南模拟)已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,AB BC ⊥,1 2 AB AD BC == ,将直角梯形ABCD (及其内部)以AB 所在直线为轴顺时针旋转90?,形成如图所示的几何体,其中M 为CE 的中点. (1)求证:BM DF ⊥; (2)求异面直线BM 与EF 所成角的大小. 【分析】(1)建立空间坐标系,得出BM ,DF 的坐标,根据向量的数量积为0得出直线垂直; (2)计算BM 和EF 的夹角,从而得出异面直线所成角的大小. 【解答】(1)证明: AB BC ⊥,AB BE ⊥,BC BE B =, AB ∴⊥平面BCE , 以B 为原点,以BE ,BC ,BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -,如图所示: 设1AB AD ==,则(0D ,1,1),(1F ,0,1),(0B ,0,0),M 0), ∴(2BM =,0),(1DF =,1-,0),

第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)

第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 一、选择题 1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为() A.π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0). ∴AC→=(1,1,0),B1D →=(-1,1,-1), ∵AC→·B1D →=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, ∴AC→⊥B1D →, ∴AC与B1D所成的角为π2. 答案 D 2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 3 3 C. 3 5 D. 2 5 解析设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如 图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1, 0),D1(0,0,1), 所以BB1→=(0,0,1),AC→=(-1,1,0),AD1 →=(-1,0,1). 令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AC→=-x+y=0,n·AD1 →=-x+z =0,令x=1,可得n=(1,1,1),

所以sin θ=|cos 〈n ,BB 1→ 〉|=13×1=3 3 . 答案 B 3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz ,设棱长为1, 则A 1(0,0,1), E ? ????1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1), A 1E →=? ????1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ),所以有???A 1D →·n 1=0,A 1E →·n 1=0,即???y -z =0,1-12z =0,解得????? y =2,z =2. ∴n 1=(1,2,2). ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1), ∴ cos 〈n 1,n 2〉=23×1=23. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 答案 B 4.(2017·西安调研)已知六面体ABC -A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱CC 1的中点,则直线CC 1与平面AB 1D 所成

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合 推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般 规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法; 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量; 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识: 1

1、直线与平面所成的角:(范围:二? [0,—]) 2 思考:设平面:的法向量为n,则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 (图 ) 2

利用向量方法求空间角

利用向量方法求空间角 导学目标:1?掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围2掌握异面直线所成 的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3?体会求空间角中的转化思想、 数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角. 课前准备里」回扣戟材夯宴基础______________________________________________ 【自主梳理】 1.两条异面直线的夹角 (1)定义:设a, b是两条异面直线,在直线 a上任取一点作直线 a'// b,则a'与a的夹角叫做a与b的夹角. (2) 范围:两异面直线夹角0的取值范围是 __________________________________________ . (3)___________________________________________________________________________ 向量求法:设直线 a, b的方向向量为a, b,其夹角为購则有cos 0= ___________________________ = 2.直线与平面的夹角 (1)定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角. ⑵范围:直线和平面夹角0 的取值范围是 (3)向量求法:设直线I的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为0, a与u的夹角为為则有sin 0= ____________ 或cos 0= sin ? 3.二面角 (1) _____________________________ 二面角的取值范围是. (2)二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面角a I—B的两个面内与棱I垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①). 胖I ① ② ③ ②设ni,n2分别是二面角 a— I —B的两个面 a B的法向量,则向量 m与匝的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③). 自我检测】 1.已知两平面的法向量分别为 m= (0,1,0),n = (0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A. 45 ° B. 135 ° C. 45。或135 ° D. 90 ° 2?若直线l1,I2的方向向量分别为a= (2,4,- 4),b= (-6,9,6),则() A . I1 / I2 B. I1 丄丨2 C. l1与12相交但不垂直 D.以上均不正确 3.若直线I的方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120。,则直线I与平面a所成的 角等于() A . 120 ° B. 60 ° C. 30° D.以上均错 4.(2011湛江月考)二面角的棱上有 A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平

利用空间向量求空间角检测题

利用空间向量求空间角检测题 (试卷满分100分,考试时间90分钟) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A .45° B.135° C .45°或135° D .90° 解析:选C ∵cos m ,n =m ·n |m ||n |=12=22,∴m ,n =45°. ∴二面角为45°或135°.故选C. 2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =1 3AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为 ( ) A.33535 B.277 C.3 3 D.24 解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0), ∴DC 1―→=(0,3,1),D 1E ―→=(1,1,-1),D 1C ―→ =(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则????? n ·D 1E ―→=0,n · D 1C ―→=0,即????? x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3). ∴cos DC 1―→ ,n =DC 1―→·n | DC 1―→ |·|n |=33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 . 3.把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面ABD ⊥平面CBD ,则异面直线AD ,BC 所成的角为( ) A .120° B.30° C .90° D .60° 解析:选D 建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B (0,2,0),C (0,0,

8-6利用空间向量求空间角

第六节 利用空间向量求空间角 突破点(一) 利用空间向量求空间角 1.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a ,b 的方向向量为a ,b ,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a ·b | |a||b |(其中φ 为异面直线a ,b 所成的角). 2.直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=|n ·e | |n ||e | . 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB ,CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB ,CD 〉. (2)如图②和图③,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ=〈n 1,n 2〉或π-〈n 1,n 2〉 . [例1] 是菱形,AB =2,∠BAD =60°. (1)求证:BD ⊥平面PAC ; (2)若PA =AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值. 本节主要包括2个知识点: 1.利用空间向量求空间角; 2.与空间角有关的综合问题.

[方法技巧] 111111的中点,BD与AB1交于点O,且CO⊥平面ABB1A1. =22,D是AA (1)证明:BC⊥AB1; (2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.

[易错提醒] 腰梯形,且平面BCEF⊥平面ABCD,AB∥DC,CE∥BF,AB=2CD,∠ABC=60°,G 为线段AB的中点. (1)求证:AC⊥BF;(2)求二面角D-FG-B(钝角)的余弦值. [方法技巧] 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

用向量法求空间角与距离

用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量,它们的夹角为 ,则数 cos |||| b 叫做与的数量积(或内积),记作b a ,即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是: 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ,则 ①212121z z y y x x b a ; ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ; ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角(如图1所示),则 .||||| |cos b a b a (例如2004年高考数学广东卷第18题第(2)问) 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量,分别在n m 、上各取一个定点B A 、,则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长,即| |n d . 图1

证明:设CD 为公垂线段,取b a ,(如图1所示),则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ,显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定,求平面 的法向量2所示), 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5. 二面角 方法一:构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、(都取向上的方向,如图3所示),则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示,那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角,即| |||cos 2121n n (例如2004年高考数学广 东卷第18题第(1)问). ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角, 即| |||cos 2121n n (例如 2004年高考数学广东卷第18题第(1)问). 方法二:在二面角的棱l 上确定两个点B A 、,过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、(如图4所示) ,则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角,即 图3乙 图3 图4 图2

向量法求空间角(有答案)

姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 17向量法求空间角 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l 1与l 2所成的角θ 设l 1与l 2的方向向量为a ,b ,则cos θ=___________=_______________ (0,π 2 ] 直线l 与平面 α所成的角θ 设l 的方向向量为a ,平面 α的法向量为n ,则sin θ=___________=________ [0,π 2] 二面角α-l -β的平面角θ 设平面α,β的法向量为n 1, n 2,则|cos θ|=___________=|n 1·n 2| |n 1|·|n 2| [0,π] 类型一 异面直线所成的角 例1、如图,在三棱锥V -ABC 中,顶点C 在空间直角坐标系的原点处,顶点A ,B ,V 分别在x 轴、y 轴、z 轴上,D 是线段AB 的中点,且AC =BC =2,∠VDC =θ. 当θ=π 3时,求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值 【自主解答】 由于AC =BC =2,D 是AB 的中点,所以C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,2,0),D (1,1,0) 当θ=π 3 时,在Rt △VCD 中,CD =2,∴V (0,0,6),∴AC →=(-2,0,0),VD → =(1,1,-6), ∴cos 〈AC → ,VD → 〉= AC →·VD → |AC →||VD →| =-22×22=-24. ∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 1.几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角,再解三角形来求解,过程相当复杂;用向量法求异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程只需对相应向量运算即可. 2.由于两异面直线夹角θ的范围是(0,π 2],而两向量夹角α的范围是[0,π],故应有cos θ=|cos α|,求解时要特别注意. 变式1、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知DA =DC =4,DD 1=3,求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值. 【解】 以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则A 1(4,0,3),B (4,4,0),B 1(4,4,3),C (0,4,0),

空间向量计算距离与角度

【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111111 44 A B B E D F == =,求1BE 与1DF 所成角的余弦值. 【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中,1111BC AC BC AB ⊥⊥,.求证:11 AB AC =. 【例3】 如图所示,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中,90ABC ∠=°,SA ⊥平面 ABCD ,1 12 SA AB BC AD ==== ,.求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值. C 1 B 1 A 1 C B A D C B A S 典例分析 板块四.用空间向量计算距离 与角度

【例4】 已知(023)A ,,,(216)B -,,,(115)C -,,,求方向向量为(001)j =,,直线与平 面ABC 所成角的余弦值. 【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4AB =,3AD =,5AA '=, 60BAA DAA ''∠=∠=°,90BAD ∠=°,求AC '的长 【例6】 如图直角梯形OABC 中,π 2 COA OAB ∠=∠= ,2OC =,1OA AB ==,SO ⊥平面OABC ,1SO =,以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -. ⑴求SC 与OB 的夹角α的大小(用反三角函数表示); ⑵设(1)n p q =,,,满足n ⊥平面SBC ,求 ①n 的坐标; ②OA 与平面SBC 的夹角β(用反三角函数表示); ③O 到平面SBC 的距离. 【例7】 如图四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,PG ⊥平面ABCD ,垂足为G , G 在AD 上,且4PG =,1 3 AG GD =,BG GC ⊥,2GB GC ==,E 是BC 的中点. ⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值; ⑵求点D 到平面PBG 的距离; ⑶若F 点是棱PC 上一点,且DF GC ⊥,求 PF FC 的值. D ' C ' B 'A 'D C B A C B A O S

利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角 备课人:龙朝芬授课人:龙朝芬 授课时间:2016年11月28日一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标

系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l , m 的方向向量分别为a ,b ,异面直线l ,m 所成的角 为θ,则cos cos ,a b θ== a b a b ?. 2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,θ为l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ== a n a n ?. α m b θ a l

3、面面角公式:设1 n ,2 n 分别为平面α、β的法向 量,二面角为θ,则12 ,n n θ= 或12 ,n n θπ=- (需要根据 具体情况判断相等或互补),其中121212 cos ,n n n n n n ?= . (二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=, SO ⊥ 面OABC ,且1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n a

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