东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学(文科)试题及答案

东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学（文科）

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。）

（1）已知集合{1,2,3,4,5,6}A =，{1,3,7}B =，则A B =

（A ）{1,2,3,4,5,6,7}

（B ）{1}

（C ）{1,3} （D ）{2,4,5,6} （2）下列函数中为偶函数的是

（A ）2(2)y x =-

（B ）|ln |y x =

（C ）cos y x x =? （D ）||e x y -=

（3）直线:1l y kx =+ 与圆22:1O x y += 相交于 ,A B 两点，则“1k =”是

“||AB 的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出的S 值为

（A ）8 （B ）19

（C ）42 （D ）89

（5）已知向量(1,2),(0,2),(1,)λ==-=-a b c ，若(2)-a b ∥c ，

则实数λ=

（A ）3- （B ）1

3

（C ）1 （D ）3

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

（6）已知13

2a -

=，2

1log 3b =，121

log 3

c = ，则 （A ） a b c >> （B ）a c b >>

（C ）c b a >> （D ）c a b >>

（

7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A ）

3 （B ）

4

3

（C ） （D ）83

（8）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之

和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 （A ）甲、丁、乙、丙

（B ）丁、甲、乙、丙

（C ）丁、乙、丙、甲 （D ）乙、甲、丁、丙

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）复数1i i

-+=________．

（10）双曲线2

2

12y x -=的渐近线方程为_________． （11）若y x ,满足0,23,,

x x y y x ì3??

+?í?3??则2y x -的最小值为_________．

（12）在△ABC 中，5,7a c ==，1

cos 5

C =，则b = ；△ABC 的面积为 ．

（13）已知函数223,,

(),.

x x x a f x x x a ?-->=?-≤?当0a =时，)(x f 的值域为______；当)(x f 有

两个不同的零点时，实数a 的取值范围为______．

（14）命题p ：已知(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----，满足AMD BMC ∠=∠的所有点

M 都在y 轴上．能够说明命题p 是假命题的一个点M 的坐标为______．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。） （15）（本小题13分）

已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，3522a a +=，246b b b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和． （16）（本小题13分）

已知函数2()cos 2cos 1(01)f x ax ax ax a =?-

]122

ππ

，上的最大值与最小值； （Ⅱ）当()f x 的图象经过点(,2)3

π

时，求a 的值及()f x 的最小正周期． （17）（本小题13分）

“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市

20122016-年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图．（例如2012年，北京城镇居民收

入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%．）

%

（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率； （Ⅱ）从2012-2016五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超

7%的概率；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，△PAD 是等边三角形，E 为AD 中点，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB AD ⊥，AB AP ⊥，22CD AD AB ===． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；

（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M ，使得EM ∥平面PCD ？说明理由．

（19）（本小题14分）

已知函数()ln f x x x =?.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若对于任意1

[,e]e

x ∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.

（20）（本小题13分）

已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点(1,0)F 与短轴两个端点的连线互相

垂直．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）设点Q 为椭圆C 上一点，过原点O 且垂直于QF 的直线与直线2y =于点P ，求△

OPQ 面积S 的最小值．

东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）A （4）C （5）A （6）D （7）B （8）A

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）2i - （10）y =?

（11）1- （12）6， （13）[4,)-+∞，(,1)-∞-或[0,3)

（14）1(,

22

（点M 的坐标只需满足222x y +=，(1,0)(0,1)x ∈- 或y x =±，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ）

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．

因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．解得3d =． 又因为241565b b bb b qb ===，所以12q b ==．

所以31n a n =-，2n n b =，*

n ∈N ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，31n a n =-，2n n b =． 因此312n n n n c a b n =-=--

数列{}n a 前n 项和为2(231)322n n n n

+-+=．

数列{}n b 的前n 项和为

1

2(12)2212

n n =+---． 所以，数列{}n c 的前n 项和为

21

3222

n n n ++-+，*n ∈N ． ………13分

解：（Ⅰ）当1a =时，

2()cos 2cos 1f x x x x =?+-2cos2x x =+2sin(2)6

x π=+.

因为122x p p ＃， 所以636

27x p p +?p ￡．

所以，当262x p +=p ，即6

x p

=时，()f x 取得最大值2，

当2676x p +

=p ，即2

x p

=时，()f x 取得最小值为1-. ………6分

（Ⅱ）因为2()cos 2cos 1(01)f x ax ax ax a =?-

所以()2cos 22sin(2)6

f x ax ax ax p

+=+． 因为()f x 的图象经过点(,2)3

π，

所以22sin()236a ππ+=，即2sin()136a ππ

+=． 所以22362

a +k πππ

+=π． 所以1

3()2

a k k =+∈Z ．

因为01a

2a =．

所以()f x 的最小正周期2π

21

T==π． ……13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A ，由图可知，这五年中有

201220132014，，这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以3

()5

P A =

. ……5分 （Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B ，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，

(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)， (2015,2016)共10种情

况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以

9

()10

P B =

. ………10分 （Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ………13分

解：（Ⅰ） 因为AB AD ⊥，AB AP ⊥，AD AP A = ， 所以AB ⊥平面PAD ． 因为AB ?平面PAB ，

所以平面PAB ⊥平面PAD ． ………5分 （Ⅱ）连接PE ．

因为△PAD 为等边三角形，E 为AD 中点， 所以PE AD ⊥． 因为AB ⊥平面PAD ， 所以AB PE ⊥． 因为AB AD A = ， 所以PE ⊥平面ABCD ． 所以1

3P ABCD ABCD

V S PE -=

??梯形． 在等边△PAD 中，sin 60PE PA =??=

(12)2

32

ABCD S +

?=

=梯形，

所以11

333

P ABCD ABCD V S PE -=

??=?梯形 ………9分 （Ⅲ）棱PB 上存在点M ，使得EM ∥平面PCD ，此时点M 为PB 中点．

取BC 中点F ，连接,,MF ME EF ． 因为E 为AD 中点， 所以EF ∥CD ． 因为EF ?平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ． 因为M 为PB 中点， 所以MF ∥PC ． 因为MF ?平面PCD ， 所以MF ∥平面PCD ． 因为MF EF F = ， 所以平面MEF ∥平面PCD ． 因为ME ?平面MEF ，

所以ME ∥平面PCD ． ………14分

解：（Ⅰ）因为函数()ln f x x x =， 所以1

'()ln ln 1f x x x x x

=+?

=+, '(1)ln111f =+=.

又因为(1)0f =，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ………4分 （Ⅱ）函数()ln f x x x =定义域为(0,)+∞， 由（Ⅰ）可知，'()ln 1f x x =+. 令'()0f x =解得1e

x =

. ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：

所以，()f x 的单调递增区间是()e

+∞，

； ()f x 的单调递减区间是1

(0,)e

. ………9分

（Ⅲ）当1e e x ≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1

ln a x x

≥+”.

令1()ln g x x x =+，1

[,e]e

x ∈，

22111'()x g x x x x -=-=，1

[,e]e x ∈.

当1(,1)e x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在区间1

(,1)e

单调递减.

当(1,e)x ∈时，'()0g x >，所以()g x 在区间(1,e)单调递增.

而1

()ln e e e 1 1.5e

g =+=->，

11

(e)ln e 1 1.5e e

g =+=+<.

所以()g x 在区间1[,e]e

上的最大值为1

()e 1e g =-.

所以当e 1a ≥-时，对于任意1

[,e]e

x ∈，都有()1f x ax ≤-. ………14分

解：（Ⅰ）由题意，得2221,

1,

,b c a b c ?=?

=??=+?

解得a =

所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=． ………4分

（Ⅱ）设00(,)Q x y ，(,2)P m ，则22

0012

x y +=．

① 当0m =时，点(0,2)P ，Q

点坐标为(

或，

1

22

S ==

② 当0m 1时，直线OP 的方程为2

y x m

=．即20x my -=，

直线QF 的方程为(1)2

m

y x =--． 点00(,)Q x y 到直线OP

的距离为d

||OP = 所以，000011|||2|||222m

S OP d x my x y =??=?-=-．

又00(1)2

m

y x =--， 所以202200000000(1)

2212||||||1121x y x x S x x x x x --+=+=+=?--- 00001111

|1|(|1|)212|1|

x x x x =?-+

=-+--

0x ≥<01)x ≠， 当且仅当001

|1||1|

x x -=

-，即00x =时等号成立，

综上，当0

0x =时，S 取得最小值1. ………13分