2017届上海市嘉定区高三二模数学卷(含答案)

2017届度嘉定区高三年级第二次质量调研

数 学 试 卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．函数1)2(sin 22

-=x y 的最小正周期是________________． 2．设i 为虚数单位，复数i

2i

21+-=z ，则=||z ____________． 3．设)(1x f -为1

2)(+=

x x

x f 的反函数，则=-)1(1f _____________． 4．=++++∞→n

n n n n 3232lim

1

1_______________． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是______________． 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若

3535=a a ，则=3

5S S

___________． 7．直线???-=+=t y t x 4,2（t 为参数）与曲线?????+=+=θ

θsin 25,

cos 23y x （θ为参数）的公共点的个数

是______________．

8 ．已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为13

22

=-y x ，若2C 的一条渐近线 的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为__________________． 9．若2

13

1)(--=x

x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______________．

10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为

32和5

3

．现安排甲 组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种 新产品研发成功的概率为______________．

11．设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ．若数列

{}n

S 也是公差

为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为=n a _____________．

12．设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定

的*

N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=

x x x x x n n n C x

n ，其中),1[∞+∈x ，则当??

?

???∈3,23x 时，

函数x

C x f 10)(=的值域是____________________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．命题“若1=x ，则0232

=+-x x ”的逆否命题是………………………………（ ）．

（A ）若1≠x ，则0232≠+-x x （B ）若0232

=+-x x ，则1=x （C ）若0232=+-x x ，则1≠x （D ）若0232

≠+-x x ，则1≠x

14．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、E 是

AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、

H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥EFGH A -1

的左视图是…………………………………………（ ）．

（A ） （B ） （C ） （D ）

15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足

)(41+=

，8

1

+=，则△ADP 的面积为…………………（ ）． （A ）

43 （B ）33 （C ）2

3 （D ）3 16．已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在

??

?

???∈1,21x 上恒成立，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ）

． （A ）]1,2[- （B ）]0,2[- （C ）]1,1[- （D ）]0,1[-

D A B C

D 1

F H E

M

N G

A 1

B 1

C 1

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =．

（1）求△ABC 的面积S ；

（2）求)2sin(B A -的值．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，8=AB ，5=BC ，41=AA ，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且211==F D E A ，5==DG AH ．

（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；

（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点??

?

?

?

23,

1，两个焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ．圆O 的方程为222a y x =+．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、

Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长．

A C

D

E

F G A 1 B 1 1

D 1

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

如果函数)(x f y =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有)()(x f a x f -=+成立，则称此函数)(x f 具有“)(a P 性质”

． （1）判断函数x y cos =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由；

（2）已知函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时，2)()(m x x f +=，求函数

)(x f y =在区间]1,0[上的值域；

（3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质”，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时，||)(x x g =，若函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个公共点，求实数p 的值．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有

m n m n a a a ?=+，则称数列}{n a 为指数数列．

（1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-?=n n a ，n n b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；

（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列；

（3）若数列}{n a 是指数数列，4

31++=t t a （*

N ∈t ），证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．

2016学年度嘉定区高三年级第二次质量调研

数学试卷参考答案与评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．

2π 2．1 3．1 4．3 5．6π 6．2

5 7．1 8．1322

=-y x 9．),1(∞+ 10．1513 11．412-n 12．(]45,15320,5 ??? ?

?

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．D 14．C 15．A 16．B

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）因为B A sin 2sin =，所以由正弦定理得b a 2=， ……………………（1分） 又2=-b a ，故4=a ，2=b ， ……………………………………………（3分）

所以412cos 222=-+=bc a c b A ，因为),0(π∈A ，所以4

15

sin =A ．………（5分）

所以154

15

4221sin 21=???==A bc S ．………………………………（6分）

（2）因为4

15

sin =A ，41cos =A ，

所以8

15cos sin 22sin ==A A A ，87sin cos 2cos 2

2-=-=A A A ，……………（4分）

8

15

sin 21sin =

=A B ，因为a b <，所以B 为锐角，所以87cos =B （或由c a =得到A B 2-=π，8

7

2cos )2cos(cos =-=-=A A B π）．………………………………（5分）

所以，32

15

7sin 2cos cos 2sin )2sin(=-=-B A B A B A ． ………………………（8分）

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，

7054)52(21

)(211111=??+?=??+?=-AD A A AH E A V FG DD EH AA ， ………………（2分） 9054)63(2

1

)(21111

1=??+?=??+?=-BC B B E B BH V CGFC BHEB ， …………………（4分） 所以，

9

7

1

111=

--CGFC BHEB FG DD EH AA V V ．………………………………………………………………（6分）

（2）解法一：

作EH AM ⊥，垂足为M ，由题意，⊥HG 平面11A ABB ，故AM HG ⊥，

所以⊥AM 平面α． ………………………………………………………………（2分） 因为141

=EH AA S 梯形，41=?E AA S ，所以10=?AEH S ，）

因为5=EH ，所以4=AM ． ……………………………………………………（4分） 又532121121=++=

F D D A AA AF ， ……………………………………………（6分）

设直线AF 与平面α所成角为θ，则15

5

4sin =

=

AF AM θ．………………………（7分）

所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为15

5

4． …………………（8分） 解法二：

以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则

)0,0,5(A ，)0,5,5(H ，)4,2,5(E ，)4,2,0(F ， ………………………（2分）

故)0,0,5(=FE ，)4,3,0(-=HE ， …………………………………（3分）

设平面α一个法向量为),,(z y x n = ，则?????=?=?,0,0HE n FE n 即?

??=+-=,043,

05z y x

所以可取)3,4,0(=n

． ……………………………………………………………（5分）

设直线AF 与平面α所成角为θ，则155

4|

|||sin =

=AF n AF

θ． ……………………（7分） 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为

15

5

4． ………………………………（8分） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）由题意，1=c ， ………………………………………………………………（1分）

设椭圆C 的方程为112

222=-+a y a x ，将点??

?

??23,1代入， 1)1(4912

2=-+a a ，解得42

=a （412=a 舍去）， ………………………………（3分） 所以，椭圆C 的方程为13

42

2=+y x ． ………………………………………………（4分） （2）由椭圆定义，4||||21=+AF AF ，4||||21=+BF BF ，两式相加，得 8||||||22=++BF AF AB ，因为||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列，所以

||2||||22BF AF AB =+，于是8||32=BF ，即3

8

||2=BF ． …………………（3分）

设),(00y x B ，由???????=+=+-,134

,964)1(20202

020y x y x 解得???? ??--315,34B ，…………………（5分） （或设)sin 3,cos 2(θθB ，则964sin 3)1cos 2(2

2=+-θθ，解得3

2cos -=θ，

35sin -=θ，所以???? ??--315,3

4B ）． 所以，15=k ，直线l 的方程为)1(15+=x y ，即01515=+-y x ，……（6分）

圆O 的方程为42

2=+y x ，圆心O 到直线l 的距离4

15

=d ， ………………（7分） 此时，弦PQ 的长2

7

42||2

=

-=d PQ ． …………………………………………（8分） 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

（1）由题意，)cos()cos(x a x -=+，

即x a x cos )cos(=+对于任意实数x 成立， …………………………………………（1分） 由诱导公式x k x cos )2cos(=+π，函数x y cos =具有“)(a P 性质”，且所有a 的值的集合为},2{Z ∈=k k a a π． ……………………………………………………………（4分） （2）因为函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，所以)()(x f x f -=，

即)(x f y =是偶函数． ………………………………………………………………（1分） 所以当0≥x 时，0≤-x ，22)()()()(m x m x x f x f -=+-=-=． ……………（2分） 当0≤m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递增，值域为])1(,[22m m -． ……………（3分） 当2

1

0<

同理，当

12

1

≤≤m 时，0)(min ==m f y ，2max )0(m f y ==，值域为],0[2m ．…（5分） 当1>m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递减，值域为],)1[(22m m -． ……………（6分） （3）由题意)()(x g x g -=，函数)(x g y =偶函数，又)()()2(x g x g x g =-=+，

所以函数)(x g y =是以2为周期的函数． …………………………………………（1分） 因为当11≤≤-x 时，||)(x x g =，所以当31≤≤x 时，121≤-≤-x ，|2|)2()(-=-=x x g x g ， …………………………………………………………（2分） 一般地，当1212+≤≤-k x k （Z ∈k ）时，|2|)(k x x g -=． …………………（3分） 作出函数)(x g y =的图像，可知，当0=p 时，函数)(x g y =与直线px y =交于点)0,2(k (Z ∈k )，即有无数个交点，不合题意． …………………………………（4分）

当0>p 时，在区间]2016

,0[上，函数)(x g y =有1008个周期，要使函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰

好为)1,2017(，所以20171

=p ．

同理，当0

1

-=p ．

综上，2017

1

±=p ． ……………………………………………………（6分）

（p 的值漏掉一个扣1分）

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）对于数列}{n a ，31=a ，62=a ，123=a ，因为21213a a a a ?≠=+，所以}{n a 不是指数数列． ………………………………………………………………………………（2分） 对于数列}{n b ，对任意*

,N ∈m n ，因为m n m n m n m n b b b ?=?==++333，所以}{n b 是指数数列． ……………………………………………………………………………………（4分） （2） 由题意，)(2112n n n n a a a a -=-+++，所以数列}{1n n a a -+是首项为212=-a a ，公比为2的等比数列． ……………………………………………………………………（2分） 所以n n n a a 21=-+．所以，

2222)()()(21112211++++=+-++-+-=----- n n n n n n n a a a a a a a a

n n 222

1)21(21=+--=-，即}{n a 的通项公式为n n a 2=（*N ∈n ）． ………………（5分）

所以m n m n m n m n a a a ?=?==++222，故}{n a 是指数数列． …………………………（6分）

（3）因为数列}{n a 是指数数列，故对于任意的*,N ∈m n ，有m n m n a a a ?=+，令1=m ，则n n n a t t a a a ?++=

?=+4311，所以}{n a 是首项为43++t t ，公比为4

3

++t t 的等比数列，所以，n

n t t a ??

?

??++=43． …………………………………………………………………………（2分）

假设数列}{n a 中存在三项u a ，v a ，w a 构成等差数列，不妨设w v u <<，

则由w u v a a a +=2，得w

u v t t t t t t ??

? ??+++??? ??++=??? ??++4343432，

所以u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2， ………………………………（3分） 当t 为偶数时，u v v w t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是偶数，u w t -+)3(是奇数， 故u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立； …………………………（5分） 当t 为奇数时，u v v w t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是奇数，u w t -+)3(是偶数， 故u w u w u v v

w t t t t ----+++=++)3()4()3()

4(2也不能成立．…………………………（7分）

所以，对任意*

N ∈t ，u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立，即数列}{n a 的任意三项都不成构成等差数列． ……………………………………………………（8分）

（另证：因为对任意*

N ∈t ，u v v

w t t --++)3()4(2一定是偶数，而4+t 与3+t 为一奇一偶，

故u

w t -+)

4(与u

w t -+)

3(也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立．）