数码相机定位方法探究(史奎举)

数码相机定位方法探究

曲建跃 吴修振 沈宁 指导教员：司守奎 孙玺菁

（海军航空工程学院，烟台，264001）

摘要：数码相机定位在交通监管等方面有广泛的应用，例如可以用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。双目定位是最常用的定位方法，即对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。双目定位的关键是系统标定，即精确地确定两部相机的相对位置。要确定两部相机的相对位置，首先应确定一个相机的像坐标系和靶标坐标系之间的转换关系，确定其内外部参数，即对一个相机进行标定。在前三问中，本文从空间平面的几何关系入手，先对靶平面坐标进行旋转，平移和投影，然后借助于相机的小孔成像原理，得到了物与像的二维坐标关系模型，再通过抓取特征点对的坐标，用最小二乘法拟合，求得物

与像二维坐标关系：????????+???????????

??=??????7349.296064.5907971.00231.00907.07709

.0i i i i Y X y x ，进而求得靶标上五个圆的圆心的像的物理坐标为)9751.495346.50(，

?,)2821.494094.27(，?，)6651.475536.26(，，)0449.324853.17(??，，)7349.296064.59(??， ，其对应的像素坐标为)9724.3200944.195(，，)3925.4087137.197(，

，)3726.6128259.203(，，)0880.5781279.505(，（此处采用矩阵坐标表示，原点选取图像左上角的顶点）。然后通过具体点坐标对所建立的模型进行了检验，用模型求得的像坐标与实际像坐标的距离的均值作为精确度，其距离的均方差作为稳定性，得到模型的精确度为6659.1=?，稳定性5804.0=P 。第四问中，通过求得的相机的内外部参数，得到像坐标系与靶标坐标系之间的转换关系，然后通过求解方程组，得到两个相机坐标系间的坐标转换矩阵H ，从而完成了系统标定。本文特色是使用的方法简单，快捷，可操作性强，并且具有很高的精度和稳定性。

关键字：双目相机标定，几何坐标变换，小孔成像，坐标抓捕，最小二乘拟合

1 问题的提出

现代生活越来越多地用到通过相机来确定某一物体的具体方位和位置，比如交通监管，道路交通事故现场的准确测量，以及机器人的目标定位等。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。利用相机测量的精度取决与相机标定的精度，因此，建立一种理想的相机标定模型和方法显得尤为重要。本题中即要求给出这样一个模型，并且利用给出的模型求出靶点在像平面内的点以及其精度。

2 问题的分析

相机标定方法可分为三类：传统标定方法、主动视觉标定方法、相机自标定方法。从问题给出的条件来看，比较适合用传统的标定方法。为此，本文先通过深入分析相机的成像原理，建立了像坐标系和靶坐标系之间的转换模型，并通过最小二乘拟合的方法具体求得了转换关系，从而完成了对一个相机的标定，然后通过求解方程组得到两个相机之间的位置关系转换模型。解题过程如图1：

图1

3 模型的假设

（1）相机中凸透镜的直径与物距相比可忽略不计，可用小孔成像原理近似代替；

（2）相机中凸透镜的厚度忽略不计；

（3）相机拍照时，忽略空气对光线的影响；

（4）靶标在两个相机分别拍照时不发生移动；

（5）拍照时，两个相机固定不动；

4 符号说明

M： 靶标平面

w

M： 像平面

c

l: 像距

d: 物距；

f ： 凸透镜的焦距；

y x ?： 凸透镜光学中心处与主光轴垂直的平面；

ω： 靶标平面与主光轴交点处且与主光轴垂直的面； ''y x ?： 像平面上的坐标系； Y X ?： 靶标面上的坐标系；

y x

???： ω平面上的坐标系； v u ?: 靶标面上原点位于靶标平面与主光轴交点处的辅助坐标系； v u

???： ω面上原点位于靶标平面与主光轴交点处的辅助坐标系； ),(00y x ：

()i i Y X ,坐标系的原点在v u ?坐标系中的坐标；

L : 靶标平面与的ω面的交线； s : 物的点到w M 面的距离；

θ： 靶标平面与ω面的夹角；

β： v u

???坐标系与v u ?坐标系夹角； γ： Y X ?坐标系与y x

???坐标系的夹角； []T R ：

相机的外部参数；

H ： 两个相机坐标系间的坐标转换矩阵；

?： 模型的精确度； P ： 模型的稳定性；

5 模型的建立与求解

5.1 问题（1）的建立的求解

对问题（1），本文通过对相机成像原理的分析建立了单个相机的标定模型，具体建模过程如下。

5.1.1本文建立的模型图为：

图2

γ

y

?)v

?u

)

i 图3

5.1.2 对模型图的分析和求解过程

求解过程中，本文从空间平面的几何关系入手，运用了四次点的平面坐标变换，一次平移，两次旋转，一次投影，在二维平面上建立起了靶标平面与像平面在空间上在的转换关系。

靶标平面与v u ???坐标系的相互关系是多样性的，靶标平面与v u ???坐标系呈θ角的同时，它们的交线跟^

i x 轴往往是呈一定夹角，设其为β角，现将靶标平面上的()i i Y X ,坐

标转化成v u

???坐标系上的(

)

'

',i i y x 坐标]1[，即得： ?

??

?????????+??????????????????????????=????

?

?????00^^cos sin sin cos cos 001cos sin sin cos y x Y X y x i i i i γγγγ

θββββ 再利用凸透镜的小孔成像原理，近似得到点()i i Y X ,与其在像平面上所对应的点的坐标),(i y x i 的对应关系

?

??

?????????+??????????????????????????????????????=??????00cos sin sin cos cos 0

01

cos sin sin cos 0

0y x Y X s d l s

d l

y x i i i i γγγγ

θββββ 即

??

?

???+??+??????????

??+?+????=??????θββθβββθγγβγθβγβγθββγβ

θγβγcos cos sin cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos 0000y x y x s d l Y X s d l y x i i i i 由于θγβ，，和00y x ，以及d l ，都是固定值，又因为通常d 远大于l ，因而s 可近似看

做与i X ，i Y 无关，因此可以用新的参数代替原来的参数，使问题进一步简化，分别用

f e d c b a ，，，，，代替原来参数，把上式简化，得

???

???++++=??????+???????????

?=??????f dY cX e bY aX f e Y X d c b a y x i i i i i i i i

其中

)sin cos sin cos (cos βθγβγ??=

s d l

a )cos cos sin cos sin (γθββγ???=s d l b

)sin cos cos cos (sin γθβγβ+?=s d l c

)cos cos cos sin sin (βθγγβ+??=s

d l d

）（θββcos sin cos 00y x s d l e ??=

)cos cos sin (00θββy x s

d l f +?=

令??????=d c b a R ,??

????=f e t ,则可得相机的外部参数，即[]T R ，以及标定的像坐标系与靶标

坐标系之间的转换关系，记为：

T RM M w c +=

其中c M 代表像坐标系，w M 代表靶坐标系。 把转换关系分解得

f

dY cX y e bY aX x i i i i i i ++=++=

5.2 问题（2）的求解 5.2.1 像坐标求解过程

通过Matlab与画图软件结合与能用，实现了对像坐标特征值点的直接抓捕，本文规定像素坐标的原点取在像平面左上角的顶点，经过处理，得到了靶坐标和像坐标的16 组数据，分别为

表１

),(i i Y X

),(i i y x

（-12.0000,100.0000） （-60.8466,51.3228） （-12.0000,0）

（-70.3704,-32.2751） （12.0000,100.0000） （-39.1534,51.8519） （12.0000,0）

（-50.0000,-30.4233） （30.0000,112.0000） （-23.0159,59.7884） (100.0000,112.0000） (34.6561,55.0265) （30.0000,88.0000） (-24.0741,38.8889) （100.0000,88.0000） (32.5397,35.4497) （88.0000,100.0000） (-12.9630,50.2646) （88.0000,0）

(-50.0000,-30.4233) （112.0000,100.0000） (43.3862,46.2963) （112.0000,0） (27.7778,-30.1587) （0,12.0000）

(-59.2593,-21.9577) （100.0000,12.0000） (20.1058,-23.0159) （0,-12.0000）

(-60.8466,-40.4762) （100.0000,-12.0000）

(17.1958,-39.9471)

5．2.2 最小二乘法拟合参数[]e b a ，[]f d c

本文用求得的前十二组数据进行最小二乘法拟合，后四组数据进行精度和稳定性分析。通过Matlab编程，求得回归系数为

[]e b a

=[]]6064.590907.07709.0?，[]f d c =[]7349.297971.00231.0??

则

????????+???????????

??=??????7349.296064.5907971.00231.00907.07709

.0i i i i Y X y x

从靶图中读出五个圆心坐标为)1000(，

,)10030(， ,)100100(， ,)0100(， ,)00(， ，代入上式可得五个圆心对应的像坐标为)9751.495346.50(，

?,)2821.494094.27(，?，)6651.475536.26(，，)0449.324853.17(??，，)7349.296064.59(??， ，对应的像素坐标为

)9724.3200944.195(，，)3925.4087137.197(，，)3726.6128259.203(，，

)0880.5781279.505(，。

5.3 问题（3）的求解

本文选取剩余四组中的三组进行精度和稳定性检验，从图像中读得的点的精确坐标为[]321，，

，=i y x i i ，通过模型求得的对应的点的像坐标为[]321，，，=′′i y x i i ，则误差为 22)()(i i i i i y y x x ′?+′?=?

令3

3

1

∑=?

=

?i i

，作为衡量精度的标准；

令∑=???

=

3

1

2)(i i

P ，作为衡量稳定性的标志；

当[][]2010011?=Y X 时，8024.11=?； 当[][]12022?=Y X 时，2046.12=?； 当[]33Y X =[]20时，9907,13=?； 从而可求得6659.1=?；5804.0=P ；

从结果来看，本文所建立的模型有较高的精度和稳定性。 5.4 问题（4）的求解

通过前面问题的求解，我们把建立的二维关系转化到三维，用迭代法使像素的再投影标准差达到最小，通过最速下降法更新所有已知的内外部参数，由初始化的内外部参数进行坐标系变换，得到物体的初始相机坐标系的坐标。由物体参考系到相机参考系的变换为:

T Z Y X R z y x +????

?

?????=?????????? 式中R 为33×的转动矩阵，T 为平移向量，用矩阵元素表示分别为

??

???

?????=987654321r r r r r r r r r R ????

??????=z y x T T T T 从而，本文求得了一个相机的外部参数矩阵[]T R ，并且得到了像坐标系和靶坐标系的转换关系，即T RM M w c +=，考虑到两个相机的系统标定，对同一位置照相，可得出对应的外部参数[]11T R ，[]22T R ，即可得到两个相机的像坐标系和靶坐标系的转换关系}2[，分别记为

??

?+=+=2

2221

111T M R M T M R M w c w c 由于模板位置相同，21w w M M =，代入上式有

121

2121

211T T R R M R R M c c +?=??

记旋转矩阵R ′和平移矩阵T ′分解如下

??

??=′=′?2

11

21RT T T R R R 这样，以单个相机的标定为基础，对同一位置模板分别计算出相机的外部参数，然后代入上式即可求得两个相机坐标系间的坐标转换矩阵H

]

3[

[]T R H ′′=

从而可以得到两个相机坐标系间的坐标转换关系

221~~][~c c c M H M T R M =′′=

至此，本文已完成了求解两部固定相机相对位置的数学模型和方法的过程，提出的四个问题分别得到了解答。

6 模型的评价与改进

本文提出了一种基于任意点对标定相机内外部参数的方法。相比于平常广泛应用的三维分析方法，这是一种简单、快速的相机标定方法，这种方法不需要特别的三维几何知识和计算机视觉知识，只需要对二维标定靶的一幅图像的分析，就可以得出相机的内部、外部参数。 这种方法操作简单、速度快、适用范围广，很容易由实验室推向室外。最后给出了实例用标定靶的图像进行相机标定，得到了很好的实验结果。

该方法有较大的灵活性,利用Visio,CAD，Matlab等计算机软件进行精确的坐标抓取、读出和点的对应关系计算，然后用最小二乘法进行数据的拟合，并计算出其误差，

在给定的条件下得到了较为准确的物点和象点之间的对应关系，模型的误差也控制在较好的范围内。在单目相机的基础上再次给出了双目相机的定位模型，利用模型可以较为精确的计算出两部固定相机的位置关系。

参考文献

[1]金为铣,杨先宏,邵鸿潮,催仁愉.摄影测量学，湖北：武汉大学出版社，2003年

[2]李瑞峰 李庆喜，机器人双目视觉系统的标定与定位算法，哈尔滨工业大学学报,第39卷，第11期：1719-1722，2007

[3] ZHANG Zhengyou. Flexible camera calibration by viewing a plane from unknown orientations [ C ] / /Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision, [ S. l. ]: IEEE, 1999, 11 (1) : 666 - 673.

附录

附录1

y1=[-60.8;-70.4;-39.2;-50;-23;34.7;-24.1;32.5;-13;43.4;27.8];

y2=[51.3;-32.3;51.9;-30.4;59.8;55;38.9;35.4;50.3;-30.4;46.3;-30.2];

x1=[-12;-12;12;12;30;100;30;100;88;88;112;112];

xx1=[-12;-12;12;12;30;100;30;100;88;112;112]

x2=[100;0;100;0;112;112;88;88;100;0;100;0];

xx2=[100;0;100;0;112;112;88;88;100;100;0];

x=[ones(12,1),x1,x2];

xx=[ones(11,1),xx1,xx2];

[b1,bint1,r1,rint1,stats1]=regress(y1,xx)

[b2,bint2,r2,rint2,stats2]=regress(y2,x)

附录2

load qjy1

load qjy2

flag1=2;flag2=4;

ceil1=NUM{:,:,flag1};ceil2=NUM{:,:,flag2};

[Alu,Blu,Ard,Brd]=chushi(ceil1,ceil2,flag1,flag2);

clu=cross(Alu,Blu,ceil1,ceil2,edge_mm,flag1,flag2);

[c1lu,c2lu]=fenli(flag1,flag2,clu);

[wlu,Wlu,indexlu]=tiqu(c1lu,c2lu);

[Alu_new,Blu_new]=search1

(Alu,Blu,wlu,Wlu,clu,indexlu,ceil1,ceil2,edge_mm,flag1,flag2);

crd=cross(Ard,Brd,ceil1,ceil2,edge_mm,flag1,flag2);

[c1rd,c2rd]=fenli(flag1,flag2,crd);

[wrd,Wrd,indexrd]=tiqu(c1rd,c2rd);

[Ard_new,Brd_new]=search1

(Ard,Brd,wrd,Wrd,crd,indexrd,ceil1,ceil2,edge_mm,flag1,flag2);

Alu,Blu

Ard,Brd

附录3

WY=[-12,100;-12,0;12,100;12,0;-6*sqrt(2),100-6*sqrt(2);100-6*sqrt(2),-6*sqr t(2);6*sqrt(2),100+6*sqrt(2);

100+6*sqrt(2),6*sqrt(2);30,112;100,112;30,88;100,88;100-6*sqrt(2),100+6*sqr t(2);-6*sqrt(2),6*sqrt(2);

100+6*sqrt(2),100-6*sqrt(2);6*sqrt(2),-6*sqrt(2);88,100;88,0;112,100;112,0; 0,12;100,12;0,-12;100,-12];

V=[-60.8466,51.3228;-39.1534,1.8519;-50.0000,-30.4233;-60.8466,51.3228;-50. 0000,-30.4233;-39.1534,51.8519;27.7778,-30.1587;

-23.0159,59.7884;34.6561,55.0265;-24.0741,38.8889;32.5397,35.4497;-12.9630, 50.2646;-70.3704,-32.2751;43.3862,46.2963;

-50.0000,-30.4233;-12.9630,50.2646;-50.0000,-30.4233;43.3862,46.2963;27.777 8,-30.1587;-59.2593,-21.9577;20.1058,-23.0159;-60.8466,-40.4762;17.1958,-39 .9471];

A=[W,ones(length(W),1)];

c1=A\V(:,1);

c2=A\V(:,2);

a11=c1(1);a12=c1(2);b1=c1(3);

a21=c2(1);a22=c2(2);b2=c2(3);

coef=[a11,a12;a21,a22];

B=[b1;b2];WY=[];

附录4

clear,clc

load shuju4

%dd

M=[];

for p=1:size(dd,1)

for q=1:2:size(dd,2)-1

a=dd(p,q:q+1);

M=[M;a];

end

end

M(:,1)=M(:,1)-384;

M(:,2)=M(:,2)-512;

V(:,1)=M(:,2);

V(:,2)=-M(:,1);

V=V./3.78;

W=[-12,100;-12,0;12,100;12,0;-6*sqrt(2),100-6*sqrt(2);100-6*sqrt(2),-6*sqrt (2);6*sqrt(2),100+6*sqrt(2);

100+6*sqrt(2),6*sqrt(2);30,112;100,112;30,88;100,88;100-6*sqrt(2),100+6*sqr t(2);-6*sqrt(2),6*sqrt(2);

100+6*sqrt(2),100-6*sqrt(2);6*sqrt(2),-6*sqrt(2);88,100;88,0;112,100;112,0; 0,12;100,12;0,-12;100,-12];

A=[W,ones(length(W),1)];

c1=A\V(:,1);

c2=A\V(:,2);

a11=c1(1);a12=c1(2);b1=c1(3);

a21=c2(1);a22=c2(2);b2=c2(3);

coef=[a11,a12;a21,a22];

B=[b1;b2];WY=[];

for pp=1:length(W)

xx=W(p,:)';

wy=coef*xx+B;

WY=[WY;wy'];

end

附录5

clear,clc

load qjy1

load qjy2

AA=[1,4;1,5;2,3;3,4;3,5;4,5];

dd=[];

for p=1:size(AA,1)

flag1=AA(p,1);flag2=AA(p,2);

ceil1=NUM{:,:,flag1};ceil2=NUM{:,:,flag2};

ceil1=NUM{:,:,flag1};ceil2=NUM{:,:,flag2};

A=mainfun(flag1,flag2,ceil1,ceil2,edge_mm);

dd=[dd;A];

end

save qjy1 dd