充要条件与四种命题

充要条件与四种命题

【考纲要求】（1）了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题

（2）理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系

【基础回顾】

1、四种命题的形式：

原命题：若P 则q ； 逆命题：____________；否命题：_________；逆否命题__________

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

2、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题是否为真？__________

②、原命题为真，它的否命题是否为真？_________

③、原命题为真，它的逆否命题是否为真？____________

3、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的_______条件，q 是p 的________条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的_____________________，记为p ?q.

【基础自测】

1、（2010上海文）16.“()24x k k Z π

π=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）

（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.

2、（2010山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的

（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

3、（2010广东理）5. “14

m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件

C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件

4、（2010四川文）（5）函数2

()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m =

5、命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

【典例剖析】

例1、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. （1）正三角形的三内角相等；

（2）全等三角形的面积相等；

（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.

例2、指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.

（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；

（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;

（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

（4）已知x、y∈R，p：(x-1)2 +(y-2)2=0，q：（x-1）（y-2）=0.

例3、证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0

例4、已知p：

1

12

3

x-

-≤

，

q：22

2(1)0

x x m

-+-≤．

若“?p”是“?q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

【巩固练习】

1、（2007重庆）命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）

A.若21x ≥，则1x ≥，或1x ≤-

B.若11x -<<，则21x <

C.若1x >，或1x <-，则21x >

D.若1x ≥或1x ≤-，则2

1x ≥

2、平面//αβ的一个充分条件是（ ）

A.存在一条直线a ,//a α,//a β

B. 存在一条直线a , a α?，//a β

C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα??

D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα??

3、“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 即不充分也不必要条件

4、已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：（ ）

（1）s 是q 的充要条件（2）p 是q 的充分不必要条件（3）r 是q 的必要不充分条件（4）p ?是s ?的必要不充分条件（5）r 是s 的充分不必要条件

A.（1）（4）（5）

B.（1）（2）（4）

C.（2）（3）（5）

D.（2）（4）（5）

5、“|x |＜2”是“260x x --<”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6、甲：A 1 ，A 2是互斥事件；乙：A 1 ，A 2是对立事件，那么 （ ）

A. 甲是乙的充分但不必要条件

B. 甲是乙的必要但不充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

7、（2009潍坊一模）集合|x |||4,,||,a A x x R B x x a =≤∈=

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

8、命题p:不等式11

x x x x ∣∣>--的解集为{}1x x |0<<，命题q:“A=B ”是“sinA=sinB ”成立的必要非充分条件，则（ ）

A ．p 真q 假 B.“p 且q ”为真

C. “p 或q ”为假

D.p 假q 真

9、已知条件p: A=}{221x a x a ∣≤≤+条件，}{2:3(1)2(31)0q B x x a x a =-+++≤ 若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围

10、(思考)已知抛物线C: 21y x mx =-+-和点A （3，0），B(0,3).求证：抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点的充要条件是1033m <≤.