2006年广东高考数学试题(附答案)

1

、函数2()lg(31)f x x ++的定义域是

A.1(,)3-+∞

B. 1(,1)3-

C. 11(,)33-

D. 1(,)3

-∞- 2、若复数z 满足方程220z +=，则3z =

A.±

B. -

C. -

D. ± 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.3 ,y x x R =-∈

B. sin ,y x x R =∈

C. ,y x x R =∈

D. x 1() ,2

y x R =∈

4、如图1所示，D 是ABC ?的边AB 上的中点，则向量CD =

A.12BC BA -+

B. 12BC BA --

C. 12BC BA -

D. 12

BC BA +

5、给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是

A.4

B. 3

C. 2

D. 1

6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

A.5

B.4

C. 3

D. 2 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点

(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是

x =

A.4

B.3

C. 2

D.1

8、已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于

B.

C. 2

D. 4 9、在约束条件0024

x y y x s y x ≥??≥?

?+≤??+≤?下，当35x ≤≤时，目标函

数

A

C

B 图

1

x +y

32z x y =+的最大值的变化范围是

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，

当且仅当,a c b d ==；运算“?”为：

(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=

A.(4,0)

B. (2,0)

C. (0,2)

D. (0,4)-

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 11、2

2

41

lim(

)42x x x →--=-+________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13、在112()x x

-的展开式中，5x 的系数为________.

14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）.

三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数()sin sin(),2

f x x x x R π

=++∈.

(I)求()f x 的最小正周期；

(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3

()4

f α=

，求sin 2α的值.

16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：

X 06

7 8 9 10 P

0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.

(I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求ξ的分布列

(III) 求ξ的数学期望E ξ.

17、(本题14分)如图5所示，AF 、DE 分别世O 、

1O 的直径，AD

与两圆所在的平面均垂直，

图4

…

图

5

A F

D

8AD =.BC 是O 的直径，6AB AC ==,//OE AD .

(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.

18、(本题14分)设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上

点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）

，该平面上动点P 满足?4PA PB =

,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求

(I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.

19、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2n

a 各项的和为815

. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；

(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；

(III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得lim

n

m

n S n →∞存在且不等于零.

（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）

20、(本题12分)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ?组成的集合：①对任意的

[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ?∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ??-≤-.

(I)设(2)[2,4]x x ?∈ ，证明：()x A ?∈

(II)设()x A ?∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ?=，那么这样的0x 是唯一的； (III) 设()x A ?∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ?-=，1,2,n = ，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，成立不等式1

21||||1k k p k L x x x x L

-+-≤--

1、解：由131

1301<<-???

?>+>-x x x ，故选B.

2、由i z i z z 222023

2

±=?±=?=+，故选D.

3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定

义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 4、BA BC BD CB CD 2

1

+-=+=，故选A. 5、①②④正确，故选B. 6、330

25515

20511=???

?=+=+d d a d a ，故选C.

7、0)(=x f 的根是=x 2，故选C

8、依题意可知 3293,322=+=+=

=b a c a ，23

32===

a c e ，故选C.

9、由??

?-=-=???

?=+=+4

2442s y s

x x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--， （1） 当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z 故选D.

10、由)0,5(),()2,1(=?q p 得??

?-==???

?=+=-2

1

0252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.

11、41

21lim )2144(

lim 222

=-=+---→-→x x

x x x

12、ππ27423

3332==?=

?=R S R d 13、85112)2()

2(11

21111111111111=?=-?-=-=-----+r r x C x

x C T r r r r

r

r

r

所以5

x 的系数为1320)2()2(3

113111111-=-=---C C r r

14、=)3(f 10，6

)

2)(1()(++=

n n n n f

15解：)4

sin(2cos sin )2

sin(sin )(π

π

+=+=+

+=x x x x x x f

（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ

21

2==

T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；

（Ⅲ）因为43)(=

αf ，即16

7cos sin 2①43cos sin -=????=+αααα,即 16

7

2sin -

=α 16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=?=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、10

04.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+??==ξP

39.03.03.03.023.02.02)9(2=+??+??==ξP

36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+??+??+??==ξP

ξ分布列为

(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=?+?+?+?=ξE . 17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,

∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；

(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）

所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=

10

8282

10064180|

|||,cos =

?++=

>=

与

EF

所成角为

α，则

10

82|,cos |cos =

><=α 直线BD 与EF 所成的角为10

82arccos

18解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-'x f ,当1>x 时,0)(<'x f

所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故

1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f

所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.

(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m PB PA

21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以??

?

??-+=+4222n x m y

消去n m ,得()()9282

2

=++-y x

19解: (Ⅰ)依题意可知,???

??==????

????=-=-32358119

112121

q a q a q a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1

323-?

?

?

???=n n a ,所以数列)

2(T

的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,

15539102

1

21010=???+

?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231

--?

?

?

??--i i i ，

()()2132271845--??? ??+-=n n n S n

n ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m n

m m n n n n n n 2132271845--??

? ??+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim =－2

1

，当m>2时，m n n n S ∞→lim =0，所以m=2

20、解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ?,≤33)2(x ?35≤,253133<<<,所以)2,1()2(∈x ? 对

任

意

的

]

2,1[,21∈x x ，

()

()()()

2

323213

2

121211121212

|

||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-??，

<

3()()()()

323213

2

1112121x x x x ++++++，

所以

0<

()

()()()

2

323213

2

11121212

x x x x ++++++

3

2

<

,令

()

()()()

2

3

23

213

2

11121212

x x x x +++++

+=

L

，

1

0<

|||)2()2(|2121x x L x x -≤-??

所以A x ∈)(?

反证法:设存在两个000

0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ?=,)2(00x x '='?则 由|||)2()2(|/

00/

00x x L x x -≤-??，得||||/

00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。

121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-??，所以1211x x L x x n n n -≤--+

()()()||1||121

1211x x L L x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k --≤-+-+-=--+-+-+-+++

k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤123122x x L x x L p k p k -+--+-++…

121

x x L

k --121

1x x L

L K --≤

-