专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害-玩转压轴题突破140分之高三数学解答题高端精品 Word版 含答案

【题型综述】

点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB

是圆的直径，G 是平面内一点，则0GA GB ?< ?点G 在圆内；0GA GB ?> ?点G 在圆外；

0GA GB ?= ?点G 在圆上．③方程法，已知圆的方程222)()(:r b y a x M =-+-，点N ),(00y x ，则22020)()(r b y a x <-+-?点N 在圆M 内；22020)()(r b y a x =-+-?点N 在圆M 上；22020)()(r b y a x >-+-?点N 在圆M 外.

四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程. 【典例指引】 类型一 向量法判定点与圆的位置关系

例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；

(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点，

判断点G 9

(4

-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得

2222,b c a a b c ì???=í??=+??

解得2a b c ì=??=í??=? 所以椭圆E 的方程为22

142

x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ． 由22221(m 2)y 230,142

x my my x y ì=-?+--=í?+=??得 所以12122223y +y =

,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2

=+. 所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=. 2222

2121212()(y )(m +1)(y )|AB|444

x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4

y y y +-==-, 故22222

2012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4

-,0)在以AB 为直径的圆外．

所以cos GA,GB 0,GA GB 狁> 又，不共线，所以AGB D为锐角.

故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 类型二 四点共圆应用问题

例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4

QF PQ =

. （I ）求C 的方程；

（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.

类型三 动圆过定点问题

例3(2012福建理19)如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2

1=e 。过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ?的周长为8。 （Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q 。试探究： 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；

若不存在，说明理由。