中北大学概率统计习题册第八章完整答案(详解)

第八章 假设检验

【主要内容】

一、显著性检验的基本思想

为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断，首先对它们提出一个假设0H ，然后在0H 为真的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝0H 的正确性，否则没有充分理由拒绝0H 的正确性，从而接受0H ，这就是显著性检验的基本思想。

二、假设检验的基本步骤

1.由实际问题提出原假设0H （备选假设1H ）；

2.选取适当的统计量，并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布；

3.根据问题的要求确定显著性水平α（一般题目中会给定），从而得到拒绝域；

4.由样本观测值计算统计量的观测值，看是否属于拒绝域，从而对0H 作出判断。 三、两类错误

当0H 本来是正确的，但检验后作出了拒绝

0H 的判断，这种错误称为第一类错误，也称

拒真错误；

当0H 本来是不正确的，但检验后作出了接受0H 的判断，这种错误称为第二类错误，也称纳伪错误。

注：只对第一类错误加以控制，而不考虑第二

类错误的假设检验，称为显著性检验。 四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验：

设总体),(~2

σμN X ，),,,(21n X X X 为来自X 的一个样本，显著性水平为α。 ① 2

σ已知时，对μ的假设检验：

)1,0(~0

N n X U σμ-=

，

（a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验）

0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>；

（b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验）

0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>；

（c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验）

0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。

②2

σ未知时，对μ的假设检验：

)1(~0

--=

n t n S

X T μ，

（a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验）

0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-；

（b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验）

0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-；

（c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验）

0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。

2.2

σ的假设检验：

①μ已知时，对2σ的假设检验：

∑=-=n

i i n X 1

220

2

)(~)(

χσμχ，

2

0212020:;:σσσσ≠=H H ，

0H 的拒绝域为

22

/21/2{()()}W n n ααχχχχ-=<>或。

②μ未知时，对2

σ的假设检验：

2

221

(

)~(1)n

i i X X

n χχσ=-=-∑，

2

0212020:;:σσσσ≠=H H ，

0H 的拒绝域为

2

2

/21/2{(1)(1)}W n n ααχχχχ-=<->-或；

五、两个正态总体的假设检验

设总体22

1122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，

112(,,

)n X X X ，212(,,)n Y Y Y 分别为从总

体Y X ,中抽取的简单样本，且Y X ,相互独立，,显著性水平为α。 1.12μμ-的假设检验：

①当2

22

1,σσ已知时，对12μμ-的检验假设：

)1,0(~2

2

2121N n n Y

X U σσ+-=

211210:,:μμμμ≠=H H ，

0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>。

②当2

22

1,σσ未知，但2

22

1σ=σ时，对

12μμ

-的检验假设：

T =

12~(2)t n n +-

其中1

2

21

1

11()1n i i S X X n ==--∑， 2

2

221

21()1n i i S Y Y n ==--∑。 211210:;:μμμμ≠=H H ，

0H 的拒绝域为

1/212{(2)}W T t n n α-=>+-。

2.2

122

σσ的假设检验 ①当21,μμ均已知时，对2

122

σσ的假设检验：

2

101222

~(,)S F F n n S =，

其中1

221

11

11()n i i S X n μ==-∑，

2

2

2221

21()n i i S Y n μ==-∑。

2

221122210:;:σσσσ≠=H H ，

0H 的拒绝域为

0/21201/212{(,)(,)}W f F n n f F n n αα-=<>或；

②当21,μμ均未知时，对2

122

σσ的假设检验：

)1,1(~2122

2

10--=n n F S S

F ，

其中1

2

21

1

11()1n i i S X X n ==--∑， 2

2

221

21()1n i i S Y Y n ==--∑。 0H 的拒绝域为/212{(1,1)W f F n n α=<--

1/212(1,1)}f F n n α->--或。

【典型例题】

1.只对 加以控制，而不考虑 的检验，称为显著性检验。

2. 在假设检验中，当 时，会犯第一类错误； 当 时，会犯第二类错误。

3.要使得犯两类错误的概率同时减小，只有 。

4.从总体()2

σμ,N ~X 取一容量为100的样本，

测得72.x =，()225100

1

2=-∑=i i x x ，因为μ，2σ均

未知，在050.=α下，检验下列假设： (1)30=μ:H ；

(2)5.2:20=σH 。

5. 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24 设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。

6. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布)052.0,40.4(N ，现在测定了5炉铁水，其含

碳量为4.34 4.40 4.42 4.30 4.35

如果估计期望没有变化，可否认为现在生产之铁水含碳量方差为0.052（050.=α）？

7.一种燃料中的辛烷等级服从正态分布，其平均等级为98，标准差为0.8，今从一批新燃料中随机抽取25桶，算得样本的平均值为97.7，假定标准差与原来一样，问：新燃料油的辛烷平均等级是否比原燃料辛烷平均等级偏低（050.=α）？

8、设罐头番茄汁中VC(维生素C)含量服从正态分布，按照规定，VC 的平均含量不得少于21毫克。现从一批罐头中随机地抽取了16罐，算得23=x ，2293.S =，问：这批罐头的VC 含量是否合格（050.=α）？

9.某林场采用两种方案作杨树育苗实验。已知两种方案下苗高均服从正态分布。标准差分别为182021=σ=σ,，现各抽取60颗树苗作样本，测得苗高34591.x =厘米，16492.x =厘米，试以95％的可靠性估计两种方案对杨树苗的高度有无影响？

10.两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件测量其长度（单位：毫米）,计算得

357034502

221.S ,.S ==，假定零件长度服从正态

分布，是否可以认为两台机床加工的零件尺寸的方差无显著差异（050.=α）？