梅逊公式
2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式
控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。 2.4.1 方块图元素
（1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。
C(s)
图2-14 方块图中的方块
信号线
方块r(t)c(t)
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。
（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。
2
)
2+Υ3
图2-15比较点示意图
注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置
图2-16
分支点示意图
注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 2.4.2 几个基本概念及术语
R(s)
N(s)
打开反馈
图2-17 反馈控制系统方块图
(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0
打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。
)()()()
()
(21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
)()
()
(s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
)()()()()()
()
(21s H s G s H s G s G s E s B == (4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
)
()(1)
()()(1)()()()(21s G s H s G s G s H s G s G s R s C +=
+= 推导：因为)()]()()([)()()(s G s H s C s R s G s E s C -== 右边移过来整理得
)
()(1)
()()(s G s H s G s R s C +=
即
开环传递函数
前向通路传递函数+=
+=1)()(1)()()(s G s H s G s R s C **
(5) 误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。
将)()()(s G s E s C =代入上式，消去G(s)即得：
开环传递函数
+=+=11)()(11)()(s G s H s R s E (6) 输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0
N(s)
C(s)
图2-18 输出对扰动的结构图
由图2-18，利用公式**，直接可得：)
()(1)()()
()(2s H s G s G s N s C s M N +=
= (7) 误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0
N(s)
E(s)
图2-19 误差对扰动的结构图
由图2-19，利用公式**，直接可得：
)
()(1)
()()()()(2s H s G s H s G s N s E s M NE +-=
=
线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：
)()
()(1)()()()(1)
()(2s N s H s G s G s R s H s G s G s C +++=
)()
()(1)()()()()(11
)(2s N s H s G s H s G s R s H s G s E +-+=
注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。 2.4.3 方块图的绘制
（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。
（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。
系统方块图-也是系统数学模型的一种。 例2-8 画出下列RC 电路的方块图。
R
（a ）
图2-20一阶RC 网络
解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：
???
????=-=?c idt u R u u i o o i 对其进行拉氏变换得：?????=-=)
2()()()1()()()(sC s I s U R s U s U s I o o i
由（1）和（2）分别得到图（b ）和(c)。
（b ）
U
（c ）
)
(s U o
将图（b ）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC 网络的方块图。
（d ）
(s U i
例2-9 画出下列R-C 网络的方块图。
解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。
??????
????
???=-=-=-=)4()()()3()
()()()2()()()()1()()()(22221
211
1
111sC s I s U R s U s U s I sC s I s I s U R s U s U s I c c C C C r
图2-21 二阶RC 网络
根据公式(1)~(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。
由图清楚地看到，后一级R 2-C 2网络作为前级R 1-C 1网络的负载，对前级R 1-C 1网络的输出电压1c u 产生影响，这就是负载效应。
如果在这两极R-C 网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。
图2-22 带隔离放大器的两级RC 网络
（a ）
2.4.4 方块图的简化——等效变换
为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。 （1）串联连接
（a ）
（b ）
图2-23 环节的串联连接
在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。
)
()()()()()()()()()()()()()
()()(123231212211s R s G s G s G s U s G s C s R s G s G s U s G s U s R s G s U =====
)()()()()
()
(321s G s G s G s G s R s C == 结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。
∏==n
i i s G s G 1)()(
式中，n 为相串联的环节数。 （2）并联连接
（a ）
（b ）
图2-24 环节的并联连接
特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，
即:
)
()]()()([)()()()()()()
()()()(321321321s R s G s G s G s R s G s R s G s R s G s C s C s C s C ++=++=++= )()()()()
()
(321s G s G s G s G s R s C =++= 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即：
)()(1s G s G n
i i ∑==
式中，n 为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。 （3）反馈连接
（a ）
（b ）
图2-25 环节的反馈连接
（4）比较点和分支点（引出点）的移动
有关移动中，
“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。
C(s)
?放大→缩小 ?缩小→放大
? ?
)(])
()
()([)
()()()(s G s G s Q s R s Q s G s R s C +=±= )
()()()()
()]()([)(s G s Q s G s R s G s Q s R s C ±=±= 图2-26 比较点移动示意图
分支点（引出点）前移
C(s)
C(s)
? ?
? ?
)()()(s G s R s C = 右)()
(1
)
()()(s R s G s G s R s R ==左 图2-27 分支点移动示意图
例2-10 用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。
图2-28 多回路系统方块图
解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A 先前移至B
点，化简后，再后移至C 点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。
6
G 7
G
4325G G G G += 串联和并联 2
55
61H G G G +=
反馈公式
2
11255
12
5211255
152161617111111G H G H G G G H G G H G H G G G G G H G G G G G ++=
++
+=+= 反馈公式 21121432432151211255177))((1)(11)()()
(G H G H G G G G G G G G G G G H G H G G G G G s G s R s C +++++=
+++=+== 例2-11 将例2-9的系统方块图简化。
分支点A 后移（放大->缩小），比较点B 前移（放大->缩小）。比较点1和2交换。
)s )
(s
U
r
)
(s
U
c
)
(s
U
r
)
(s
c
图2-29 方块图的简化过程
2.4.5 信号流图和梅逊公式（S·J·Mason）
方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。
2.4.5.1信号流图中的术语
因果
增益
节点输出方向
2
x
1
x
1
12
2
x
a
x=
12
a
6
x
图2-30 信号流图
输入节点：具有输出支路的节点。图2-30中的1x 。
输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图2-30中的5x 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如图2-30中的432,,x x x
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。
① 54321x x x x x →→→→ 145342312p a a a a = ② 5421x x x x →→→ 2452412p a a a = ③ 521x x x →→ 32512p a a =
前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用k p 表示。 回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 （闭通路）232x x x →→ ，2342x x x x →→→ ，343x x x →→ 32231a a L = 3243242a a a L = 43343a a L =
2352x x x x →→→ ，23542x x x x x →→→→ ， 3543x x x x →→→ ，44x x →
回路中所有支路的乘积称为回路增益，用a L 表示。
不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。
在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。 例如：232x x x →→和44x x → 2352x x x x →→→和44x x →
信号流图的性质
① 信号流图适用于线性系统。
② 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。 ③ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支 路。
④ 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。
⑤ 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。
2.4.5.2 信号流图的绘制
⑴ 由微分方程绘制s ?方程，这与画方块图差不多。 ⑵由系统方块图绘制。
例2-12 书上例2-18，见书57P （第三版P56） 图2-31(画出2-43)所示系统方块图的信号流图。
图2-31系统方块图
解：①用小圆圈表示各变量对应的节点
②在比较点之后的引出点21,A A ，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B ，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的1e 2e 。 证明：
）
（s U s U s G s U s U B B A A ≠+=)()()()(212
2
G
2.4.5.3 formula gain s Mason '
∑??
=
k k P P 1
式中 :P 系统总增益（总传递函数） :k 前向通路数
k P ：第k 条前向通路总增益
:? 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是?，变化的只是其分子。
∑∑∑∑-+???+-+-=?)()3()2()1()1(1m m L L L L 其中：∑)1(L ――所有不同回路增益乘积之和；
∑)
2(L
――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
…
∑)
(m L
――所有任意m 个不接触回路增益乘积之和。
:k ? 为不与第k 条前向通路相接触的那一部分信号流图的?值，
称为第k 条前向通路特征式的余因子。
例2-13 求图2-33（a ）所示信号流图的总增益
(a)
1
x a 52
(b)
1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 1
145
3423121=?=a a a a P
(c)
5
x 44
235231211a a a a P -=?=
(d)
(e)(f)
(g)
互不接触x 2
x x 2
x 5
x 32
23a a =42
3423a a a =443a L =52
4534234a a a a L =52
35235a a a L =4452352322a a a a L =
图2-33 信号流图
44
52352344322352352352342344423423322335
23124445342312)(1)1(a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P ++++++--+=
例2-14 利用Mason’s gain formula 求图
2-34所示系统的闭环传递函数。
R(s)
C(s)
G 7G 2
H -
图2-34 某系统的信号流图
解：前向通路有3个
16543211543211=?=→→→→→G G G G G P
165421254612=?=→→→→G G G G P
143721316321H G G G G P +=?=→→→
4个单独回路
1414
54H G L -=→→
27222
632H G G L -=→→→
254632
6542H G G G L -=→→→→
254324265432H G G G G L -=→→→→→
21L L 与互不接触
2172412H H G G G L =
21754254322546272111H H G G G H G G G G H G G G H G G H G +++++=? 2
1724254322546272147
215461543213322111)(1
)()(H H G G G H G G G G H G G G H G G H G G G G G G G G G G G G G P P P s R s C +++++++=
?+?+??
=
例2-14 系统的方块图如2-35所示，试画出信号流图，并用梅逊公式求系统的传递函数
)
()
(s R s C 。 R
C
图2-35某系统的方框图
注意：增益为1支路的运用
H -
只有一个前向通路
16543213211=?=→→→→G G G P
有三个独立回路
3211265432G G G L -=→→→→→
12123
543H G G L =→→→
23234
654H G G L -=→→→
没有两个及两个以上的互相独立回路
2
32121321321221111
11)(1)()(H G G H G G G G G G G G L L L P P s R s C +-+=
++-?=??=
梅逊公式
2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式 控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。 2.4.1 方块图元素 （1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。 C(s) 图2-14 方块图中的方块 信号线 方块r(t)c(t) 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。 （2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 2 ) 2+Υ3 图2-15比较点示意图 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。 (3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置
图2-16 分支点示意图 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 2.4.2 几个基本概念及术语 R(s) N(s) 打开反馈 图2-17 反馈控制系统方块图 (1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0 打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。 )()()() () (21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。 )() () (s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
自动控制原理重要公式
自动控制原理重要公式 Prepared on 22 November 2020
A.阶跃函数 斜坡函数 抛物线函数 脉冲函数 正弦函数 B.典型环节的传递函数 比例环节 惯性环节(非周期环节) 积分环节 微分环节 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 延迟环节 C.环节间的连接 串联 并联 反馈 开环传递函数= 前向通道传递函数= 负反馈闭环传递函数 正反馈闭环传递函数 D.梅逊增益公式 E.劳斯判据 劳斯表中第一列所有元素均大于零 s n a 0 a 2 a 4 a 6 …… s n-1 a 1 a 3 a 5 a 7 …… s n-2 b 1 b 2 b 3 b 4 …… s n-3 c 1 c 2 c 3 c 4 …… … … … s 2 f 1 f 2 s 1 g 1 s 0 h 1 ???≥<=000)(t A t t r ?? ?≥<=0 0)(t At t t r ?????≥<=02100 )(2t At t t r ?????>≤≤<=εεt t z A t t r 0000)(?? ?≥<=0sin 00 )(t t A t t r ωK s R s C s G ==) ()()(1)()()(+= =Ts K s R s C s G s T s R s C s G i 1 )()()(= =s T s R s C s G d ==)() ()(2 2 2 2)(n n n s s K s G ωζωω++=s e s R s C s G τ-==) () ()()()()( ) ()()()()()()()()(211121s G s G s G s X s C s X s X s R s X s R s C s G n n =?==-)()()( )()()()()()()(2121s G s G s G s R s C s C s C s R s C s G n n +++=+++== )()()() (s H s G s E s B =)()()(s G s E s C =) ()(1) ()()()(s H s G s G s R s C s += =Φ) ()(1) ()()()(s H s G s G s R s C s -= = Φ? ?= ∑k k P T
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式 2.5.1 信号流图 信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数. 1. 信号流图的组成及基本性质 信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语: 前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益. 回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益. 不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X X X X X 是节点； j h d c b a ,,,,, 为支路增益； 4,1X X 为输入节点； 7X 为输入节点； 6532X X X X 为混合节点。 信号流图共有三条前向通道，第一条是7 65321X X X X X X → → → → →；第二条是 76531X X X X X → → → →；第三条是765324X X X X X X → → → → → 。 有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。 图2-31 信号流图 注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。 2.5.2 信号流图的绘制 信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。 1． 根据系统方框图绘制 将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。 从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。若在方框图的比较点之前没有引出
信号流图与梅逊公式
信号流图与梅逊公式 控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。对于结构比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。 一、信号流图的组成 信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。图中节点表示系统中的变量或信号，以小圆圈表示；支路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示信号传递的方向，支路的增益（相当于动态结构图方框中的传递函数）标在支路上。支路相当于乘法器，信号流经支路后，被乘以支路增益而变为另一信号。支路增益为1时不标出。 节点变量表示所有流向该节点的信号之和。 5 在信号流图中，常使用以下名词术语： 1、源节点（或输入节点）只有输出支路的节点称为源节点，如图中的 x。 1它一般表示系统的输入量。 2、阱节点（或输出节点）只有输入支路的节点称为阱节点，如图中的 x。 5
它一般表示系统的输出量。 3、混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图中的 2x 、3x 、4x 。它一般表示系统的中间变量。 4、前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时，每一个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益，一般用k p 表示。在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，一条是 54321x x x x x →→→→，其前向通路总增益为abc p =1；另一条是5431x x x x →→→，其前向通路总增益为ec p =2。 5、回路 起点和终点在同一节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回路。回路中所有支路增益之乘积叫回路增益，用a L 表示。在图中共有一个回路，起始于节点2x ，经过节点3x 最后回到节点2x 的回路，其回路增益为bcd L -=1； 6不接触回路 如果一信号流图有多个回路，而回路之间没有公共节点，这种回路叫不接触回路。 二、信号流图的绘制 信号流图可以根据系统的微分方程绘制，也可以根据动态结构图绘制。 结构图中的信号用有向线段表示，它对应于信号流图中的节点。
自动控制原理重要公式
0 Z<0 A /no 0 t<0 At 『20 0 /<0 1 2 -At 2 f20 12 0 / v0 A — z 、0 t>E 0 / vO A sin ear / > 0 B.典型环节的传 礬歎 比例环节G(s) = U 巴=K R ⑶ r z ._c(5) 惯性 环节(非周期环节) G(s) = 丽 积分环节 G(S)=絆=4 R(s) T t s 微分环节G(s) = d = 7> R ⑶ 二阶振荡环节(二阶惯性环节) K 咸 负&勞闭环传巒数 0($)=——= -------- --- R(s) l + G(s)H(s) 正反馈闭环传递函数 0(沪少 34 as b3 C3 2A ?阶跃函数 斜坡函数「(Qi 抛物线函数「⑴二 正弦函数r(O = %) 2 “ 2 S + + CO n 延迟环节G(s) = - = e~a R(s) c ?环节间的连接 6 a 。 ° 0 0 0 。3 a 2 4 % 0 0 a$ d 佝 °2 e a o a l ■ ? °C 6 ? ? ? ? ? a? ■ ■ a 2 ? ? ■ ? ? ? ? ? ■ ■ ■ ■ ■ C(y) XM) C(s)_X }(s) X 2(5) ~R U)~ R(S ) x,(5) = G 1(5)G 2(5)--G (5) G ⑶=C(s) _ C,(5)+C 2(s) + ? ? ? + C n (5) 串联G(S)= 并联 反馈 R(s) R(s) =G](￡)+ G? (s) + …+ G“ (s) 开环传递函数=—= G(5)7/(5) E(s) 前向通道传递函数二 —=G(5) E(s) d = 6 a 。 =a \ J 一 6心 A O 6 O A 3 = d > o a s 6 s G($) /?($) 1 —G(s)H(s) D ?梅逊增益公式卩=.工空土 F 苗斷驹|抿 A 冷斯表中第一列所有元素均大于零 ao ai bi Cl 32 83 b2 C2 A = a n Ag = a a o 亠=△ AO fl gl hi
梅森公式
3.梅森公式 对于一个确定的信号流图或方框图，应用梅森公式可以直接求得输入变量到输出变量的系统传递函数。梅森公式可表示为 （3.78） 式中 ——系统总传递函数； ——第 条前向通路的传递函数； ——流图的特征式 式中 ——所有不同回路的传递函数之和； ——每两个互不接触回路传递函数乘积之和； ——每三个互不接触回路传递函数乘积之和； ——第 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的 特征式 ，将与第 条前向通路相接触的回路 传递函数代以零值，余下的 即为 。 下面通过求图3.48f 所示二级 电路网络信号流图的传递函数来说明梅森公式的用法。 ∑??=k k k P P 1P k P k ? +- +-=?∑∑∑f e f e d d c c b b a a L L L L L L ,,,1∑a a L c c b b L L ∑,f e f e d d L L L ∑,,k ?k ?k ?k ?RC
这个系统中，输入变量 与输出变量 之间只有一条前向通道，其传递函数为 信号流图里有三个不同回路，它们的传递函数分别为 回路 不接触回路 （回路 接触回路 ，并且回路 接触回路 ），因此，流图特征式为 （3.79） 从 中将与通道 接触的回路传递函数 、 和 都代以零值，即可获得余因子 。因此，得到 所以 i ()U s o ()U s s C R s C R P 221111 111=s C R L 1111 1-=s C R L 2221 1-=s C R L 1231 1- =1L 2L 1L 3L 2L 3L 21321)(1L L L L L +++-?＝s C R s C R s C R s C R s C R 2211122211111111++++＝?1P 1L 2L 3L 1?11=?
系统的信号流图与梅森公式
6-5系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义 由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即 ()()()s F s H s Y= (s F()s Y () a ()s F()s Y ()b 图6-29
二、三种运算器的信号流图表示 三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o ”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。 三、模拟图与信号流图的相互转换规则 模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。 (2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即 ()()()s F s F s Y 21+=。 (3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。 (6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。 )s(F)s( () a )s(Y ()b 图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图
系统信号流图和梅森公式
3.5 系统信号流图和梅森公式 利用对称性几秒钟既可以记住！ 3.梅森公式 对于一个确定的信号流图或方框图，应用梅森公式可以直接求得输入变量到输出变量的 系统传递函数。梅森公式可表示为 ∑??=k k k P P 1 （3.78） 式中 P ——系统总传递函数； k P ——第 k 条前向通路的传递函数； ?——流图的特征式 +- +-=?∑∑∑f e f e d d c c b b a a L L L L L L ,,,1 式中 ∑a a L ——所有不同回路的传递函数之和； c c b b L L ∑,——每两个互不接触回路传递函数乘积之和； f e f e d d L L L ∑,,——每三个互不接触回路传递函数乘积之和； k ?——第 k 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的 特征式 ?，将与第 k 条前向通路相接触的回路 传递函数代以零值，余下的 ?即为 k ?。 下面通过求图3.48f 所示二级 RC 电路网络信号流图的传递函数来说明梅森公式的用法。
这个系统中，输入变量 i ()U s 与输出变量 o ()U s 之间只有一条前向通道，其传递函数为 s C R s C R P 221111 111= 信号流图里有三个不同回路，它们的传递函数分别为 s C R L 1111 1-= s C R L 2221 1-= s C R L 1231 1- = 回路 1L 不接触回路 2L （回路 1L 接触回路 3L ，并且回路 2L 接触回路 3L ） ，因此，流图特征式为 21321)(1L L L L L +++-?＝ s C R s C R s C R s C R s C R 2211122211111111++++＝（3.79） 从 ?中将与通道 1P 接触的回路传递函数 1L 、 2L 和 3L 都代以零值，即可获得余因子 1?。因此，得到 11=? 所以 s C R s C R P P k k k 2211111111=?=?∑ （3.80）
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式 一、信号流图的定义 由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即 图6-29 二、三种运算器的信号流图表示 三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。 三、模拟图与信号流图的相互转换规则 模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即 。 (3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。 (4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。 (6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。 图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图 图6-31 (a) 模拟图；(b) 信号流图
自动控制原理重要公式(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑 A.阶跃函数 斜坡函数 抛物线函数 脉冲函数 正弦函数 B.典型环节的传递函数 比例环节 惯性环节(非周期环节) 积分环节 微分环节 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 延迟环节 C.环节间的连接 串联 并联 反馈 开环传递函数= 前向通道传递函数= 负反馈闭环传递函数 正反馈闭环传递函数 D.梅逊增益公式 E.劳斯判据 劳斯表中第一列所有元素均大于零 s n a 0 a 2 a 4 a 6 …… s n-1 a 1 a 3 a 5 a 7 …… s n-2 b 1 b 2 b 3 b 4 …… s n-3 c 1 c 2 c 3 c 4 …… ???≥<=000)(t A t t r ?? ?≥<=00 0)(t At t t r ???? ?≥<=02100 )(2t At t t r ?????>≤≤<=εε t t z A t t r 0000)(?? ?≥<=0sin 00 )(t t A t t r ωK s R s C s G ==) () ()(1)()()(+==Ts K s R s C s G s T s R s C s G i 1)()()(==s T s R s C s G d ==)() ()(2222)(n n n s s K s G ωζωω++=s e s R s C s G τ-==)()()()()()( ) ()()()()()()()()(211121s G s G s G s X s C s X s X s R s X s R s C s G n n ΛΛ=?==-)()()( ) () ()()()()()(2121s G s G s G s R s C s C s C s R s C s G n n +++=+++= =ΛΛ)()()()(s H s G s E s B =) ()()(s G s E s C =) ()(1) ()()()(s H s G s G s R s C s +==Φ) ()(1) ()()()(s H s G s G s R s C s -==Φ??=∑k k P T
重要公式及其推导
重要公式及其推导 信号流程图和梅逊公式 方块图对于图解表示控制系统，是很有用的。但是当系统很复杂时，方块图的简化过程是很繁杂的。信号流程图，是另一种表示复杂控制系统中系统变量之间关系的方法。这种方法是S.J.梅逊(Mason)首先提出的。 信号流图信号流图，是一种表示一组联立线性代数方程的图。当将信号流图法应用于控制系统时，首先必须将线性微分方程变换为以s为变量的代数方程。 信号流图是由网络组成的，网络中各节点用定向支线段连接。每一个节点表示一个系统变量，而每两节点之间的联结支路相当于信号乘法器。应当指出，信号只能单向流通。信号流的方向由支路上的箭头表示，而乘法因子则标在支路线上。信号流图描绘了信号从系统中的一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系。 正如所料，信号流图基本上包含了方块图所包含的信息。用信号流图表示控制系统的优点，可以应用所谓梅逊增益公式。根据该公式，不必对信号流图进行简化，就可以得到系统中各变量之间的关系。 定义在讨论信号流图之前，首先必须定义如下一些术语： 节点，节点用来表示变量或信号的点。 传输，两个节点之间的增益叫传输。 支路，支路是连接两个节点的定向线段。支路的增益为传输。 输出节点或源点，只有输出支路的节点，叫输出节点或源点。它对应于自变量。 输入节点或阱点，只有输入支路的节点，叫输入节点或阱点。它对应于因变量。 混合节点，既有输入支路，又有输出支路的节点，叫混合节点。 通道，沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，叫通道。如果通道与任一节点相交不多于一次，就叫做开通道。如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，就叫做闭通道。如果通道通过某一节点多于一次，但是终点与起点在不同的节点上，那么这个通道既不是开通道，又不是闭通道。 回路，回路就是闭通道。 回路增益，回路中各支路传输的乘积，叫回路增益。 不接触回路，如果一些回路没有任何公共节点，就把它们叫做不接触回路。 前向通道，如果从输出节点（源点）到输入节点（阱点）的通道上，通过任何节点不多于一次，则该通道叫做前向通道。 前向通道增益，前向通道中，各支路传输的乘积，叫前向通道增益。 图2-9表示了节点、支路和支路传输。
梅逊公式
2-7 结构图等效变换及梅逊公式 求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。 一、结构图 在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC 网络的传递函数。这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。 RC 网络的微分方程组如下： ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 对上两式进行拉氏变换，得 )()()(s U s RI s U c r += 或 [])()()(1 s I s U s U R c r =- （2-54） )(1 )(s I Cs s U r = （2-55） 方程（2-54）可用图2-29)(a 表示，方程（2-55）可用图 2-29)(b 表示。将图2-29)(a )(b 按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30)(a 所示，即得RC 网络结构图。 对图2-30)(a 进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30)(b 所示。 关于结构图等效变换的方法将另作介绍。
（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。 （2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。 （3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。 下面以图1-7所示随动系统为例。 把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56e a ~），其中 比较元件 )()()(s s s c r θθθε-= （2-56a ） 电位器 )()(1s K s U εεθ= （2-56b ） 放大器 )()(2s U k s U ε= （2-56c ） 电动机 )()()1(s U K s s T s m m =+εθ （2-56d ） 减速器 )(1 )(s i s c θθ= （2-56e ） 各元、部件的结构图如图2-31所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得到图1-7所示随动系统的结构图，如图2-32所示。 由上讨论可知，系统结构图，实质上是系统原理方框图和数学方程二者的结合。在结构图上，用记有传递函数的方框，取代图2-5原理方框图中的元件名称，也就是用传递函数取代了各元、部件的具体物理结构。可见结构图对系统特性进行了全面描述，它也是一种数学模型。所以，控制系统结构图，是一种描述系统各组成元、部件之间信号传递关系的数学图形。它表示了系统输入变量与输出变量之间的关系，同时也表示了系统各变量之间的运算关系。 二、结构图的等效变换
第二章习题及答案78529
第二章 控制系统的数学模型 练习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。 解 （a ）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22)()(dt y d m dt dy f t ky t F =-- 整理得 )(1 )()()(2 2t F m t y m k dt t dy m f dt t y d =++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。对A 点有 )()(111dt dy dt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dt dy dt dx f 21)( =- （2） 联立式（1）、（2）可得： dt dx k k k y k k f k k dt dy 2112121)(+=++
(c) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11 )(11 s U s I cs R cs R s U c r ++ = （3） 2 )()(R s Uc s I = （4） 联立式（3）、（4），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U r c 212112) 1()()(+++= 微分方程为: r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 1 21211 +=++ (d) 由图解2-1（d ）可写出 [] Cs s I s I s I R s U c R R r 1 )()()()(++= （5） )()(1 ) (s RI s RI Cs s I c R c -= （6） []Cs s I s I R s I s U c R c c 1 )()()()(++= （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和 )(s I R ，可得： 1312)()(2 22222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u R C dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221 213++=++ 2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式 的数学模型）。 解 (a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图
自动控制原理重要公式
自动控制原理重要公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
A.阶跃函数 斜坡函数 抛物线函数 脉冲函数 正弦函数 B.典型环节的传递函数 比例环节 惯性环节(非周期环节) 积分环节 微分环节 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 延迟环节 C.环节间的连接 串联 并联 反馈 开环传递函数= 前向通道传递函数= 负反馈闭环传递函数 正反馈闭环传递函数 D.梅逊增益公式 E.劳斯判据 劳斯表中第一列所有元素均大于零 s n a 0 a 2 a 4 a 6 …… s n-1 a 1 a 3 a 5 a 7 …… s n-2 b 1 b 2 b 3 b 4 …… s n-3 c 1 c 2 c 3 c 4 …… … … … s 2 f 1 f 2 s 1 g 1 s 0 h 1 劳斯表中某一行的第一个元素为零而该行其它元素不为零，ε→0； 劳斯表中某一行的元素全为零。P(s)=2s 4+6s 2-8。 F.赫尔维茨判据 特征方程式的所有系数均大于零。 G.误差传递函数 扰动信号的误差传递函数 H.静态误差系数 单位 输入形式 稳态误差e ss 0型 Ⅱ型 Ⅲ型 阶跃1(t) 1/1+Kp 0 0 斜坡t ·1(t) ∞ 1/Kv 加速度·1﹙t ﹚ ∞ ∞ 1/Ka ?? ?≥<=0 00)(t A t t r K s R s C s G ==) ()()(2 2 2 2)(n n n s s K s G ωζωω++=) ()(1) ()()()(s H s G s G s R s C s -== Φ
I.二阶系统的时域响应： 其闭环传递函数为 或 系统的特征方程为 2)(2 2=++=n n s s s D ωζω 特征根为 1 ,221`-±-=ζωζωn n s 上升时间t r 其中 峰值时间t p 最大超调量M p 调整时间t s a.误差带范围为 ±5% b.误差带范围为± 2% 振荡次数N J.频率特性： 还可表示为：G (jω)=p (ω)+jθ(ω) p (ω)——为G (jω)的实部，称为实频特性； θ(ω)——为G (jω)的虚部，称为虚频特性。 显然有： K.典型环节频率特性： 1. 积分环节 积分环节的传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： 2. 惯性环节 惯性环节的传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 对数幅频特性： 对数相频特性： 3. 微分环节 纯微分环节的传递函数G (s )=s 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： 4. 二阶振荡环节 ?? ?? ??? =+===)()()()()()(sin )()()(cos )()(22ωθω?ωθωωω?ωωθω?ωωarctg p A A A p s s G 1)(= 1 1 )(+= Ts s G T jarctg e T T j j G ωωωω?-+=+=2 )(11 11)(T arctg ωω?-=)(2 21lg 20)(lg 20)(T A L ωωω+-==T arctg ωω?-=)(2 )(πωωωj e j j G ==ω ω=)(A 2 )(π ω?=ω ωωlg 20)(lg 20)(==A L 2 2 2 2)() (n n n s s s R s C ωζωω++=1 21 )()(2 2++=Ts s T s R s C ζ2 1ζωβ πωβπ--=-= n d r t n s t ζω3 =