2013高考数学第二轮复习学案_第17--20讲学案 2
第17讲 圆锥曲线的方程和性质
一、复习目标
1、能根据条件熟练地求出曲线的方程。
2、进一步掌握圆和三种圆锥曲线的定义、方程和简单的几何性质。
3、理解圆和椭圆的参数方程。
二、课前热身
1．若R ∈α，则方程1sin 42
2=+αy x 所表示的曲线必定不是（ ）
（A ）直线 （B ）圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线
2．以椭圆116
252
2=+y x 的中心为焦点，右准线为准线的抛物线与椭圆的左准线交于A 、B
两点，则AB 的值是（ ）
（A ）
665 （B ）3
50
（C ）3350 （D ）3325 3．动点P 在椭圆)10()1(2
2<<=-+a a y a x 上运动，线段OP 长度的最大值是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）a 2 （D ）2
1a +
4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点
MN 的中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线方程是 5．点A 的坐标为)1,2(，F 为抛物线x y 22
=的焦点，P 在抛物线上移动，若PF PA +取
最小值，则点P 的坐标为 三、例题探究
例1．已知A 、B 是椭圆1
25
922
2
2=+a y a x 上的点，2F 是右焦点且a BF AF 5822=+，AB 的中点N 到左准线的距离等于2
3
，求此椭圆的方程。
例２．已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右准线2L 与一条渐近线L 交于点P ，F
是双曲线的右焦点：
（1）求证：L PF ⊥；
（2）若3=PF 且双曲线的离心率4
5
=
e ，求双曲线的方程； （3）延长FP 交双曲线左准线1L 和左支分别为M 、N ，若M 为PN 的中点，求双曲线的离心率
例３(选讲)．抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线
对称轴的方向射出。今有抛物线Px y 22
=（0>P ），一光源在点M （
4,4
41
）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线L ：01742=--y x 上的点N ，再反射后又射回到点M
（1） 设P 、Q 两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，证明：2
21P y y -=； （2） 求抛物线的方程；
（3） 试判断在抛物线上是否存在一点R 使该点与点M 关于PN 所在直线对称？若存在
请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由。
四、方法点拨
1. 例1运用了椭圆的两种定义来解决，椭圆两定义都是椭圆上任意一点P 到焦点的距离来描述的，这两
种定义能够对一些距离进行相关的转化、简化解题过程。因此在解答时遇到涉及曲线上点到焦点的距离时应该考虑是否能够使用椭圆的定义求解。 2. 例2用待定系数法求双曲线的标准方程，一定要抓住题设所给的独立条件建立c b a 、、之间的等量关系，再利用222
c b a
=+运用方程的思想来求解。
3.
例３设PQ 是过抛物线)0(22
>=P Px y 焦点F 的一条弦，若P （11,y x ），Q （22,y x ）且PQ
的倾斜角为 )0(≠θθ则有以下结论：①4
221P x x =
，
221P y y -=②P x x PQ ++=21③
θ
2sin 2P
PQ =
④P QF PF 211=+
冲刺强化训练（17）
班级 姓名 学号 日期 月 日 1．方程2
42x y +=所表示的曲线是（ ）
A ．圆
B ．椭圆上半部分
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
2． 椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点为1F 、2F ，以21F F 为边作正三角形，若椭圆
恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率为（ ）
A ．13-
B ．
23 C ．2
1
D ．33 3． 椭圆的一个焦点是（2，1），相应准线方程是01=++y x ，椭圆的短轴长为24，
则椭圆的另一个焦点为（ ）
A ．)124,224(--
B ．（241,242++）
C ．)241,242(--
D ．（6，5）
4．焦点在x 轴上，以y 轴为准线，且到点)0,5(A 最近距离为32的一个抛物线的方程是（ ） A ．)1(22
-=x y B ．)1(42
-=x y C ．)9(182
-=x y D ．)9(362
-=x y
5．21F F 、是双曲线
142
2
22=-a y a x （0>a ）的两个焦点，P 为双曲线上一点， 9021=∠PF F 且21PF F ?的面积为1，则a 的值是
6．P 在椭圆
13
422=+y x 上运动，R Q 、分别在两圆1)1(,112222
=+-=++y x y x ）（ 运动，则PR PQ +的最大值为 ，最小值为
７．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上,它的准线过双曲线的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为（6,2
3
）
，求抛物线与双曲线的方程。
8．已知抛物线C ：x y 42
=的顶点为O ，过点（0,1-）且平行于向量),1(k a =的直线与
抛物线C 交于A 、B 两点，当实数k 变化时： （1） 求证：OB OA ?是一个与k 无关的常数； （2） 若+=
9．已知椭圆)0,()0(1:122
22c F b a b
y a x E ->>=+中，以为圆心，以c a -为半径作圆1F ，
过点2B ),0(b 作圆1F 的两条切线，设切点分别为N M ,两点。
（1） 若过两个切点N M ,的直线恰好经过点),0(1b B -时，求此椭圆的离心率；
（2） 若直线MN 的斜率为-1，且原点到直线MN 的距离为)12(4-，求此时的椭圆方
程
（3） 是否存在椭圆E ，使得直线MN 的斜率k 在区间???
? ??--33,22内取值？若存在，求出椭圆的离心率e 的取值范围；若不存在，请说明理由。
第18讲 求轨迹方程
一、复习目标
１、熟悉求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件 ２、熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
二．课前热身
1．到顶点)0,5(F 和定直线516=
x 的距离之比为4
5
的动点的轨迹方程是 2．直线l 与椭圆14
22
=+y x 交于P 、Q 两点，已知l 过定点（1，0）
，则弦PQ 中点的轨迹方程是
3．已知点P 是双曲线122
22=-b
y a x 上任一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则PQ 中点M
的轨迹方程是
4．在ABC ?中，已知)0,2(),0,2(B A -，且BC AB AC 、、
成等差数列，则C 点轨迹方程为
三．例题探究
例1．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆422
2=+y x 1=?PB PA 的点，求点P 的轨迹方程。
例2．如图，在ABC Rt ?中，)1,2(,90-=∠A BAC
单位，动点P 在曲线E )1(≥y 上运动，若曲线E 过点C 且满足PB PA +的值为常数。 （1） 求曲线E 的方程；
（2） 设直线l 的斜率为1，若直线l 与曲线E M 的轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E ：12
32
2=+y x 上任一点P ，作右准线l 的垂线PH ，垂足为H 。延长PH 到Q ，使HQ=)0(>?λλPH
（1）当P 点在E 上运动时，求点Q 的轨迹G 的方程；
（2）当λ取何值时，轨迹G是焦点在平行于y轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆'E上，并写出椭圆的方程；
（3）当λ取何值时，轨迹G
例4．设椭圆方程为1
4
2
2=
+
y
x，过点)1,0(
M的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足),
(
2
1
OB
OA
OP+
=点N的坐标为)
2
1
,
2
1
(，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2
四．方法点拨
例1用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标y
x、的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标y
x、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P的坐标y
x、，从而得到动点轨迹的参数方程
?
?
?
=
=
)(
)(
t
g
y
t
f
x
，消去参数t，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由t的范围确定出y
x、范围。
冲刺强化训练（18）
班级姓名＿＿＿＿＿学号＿＿日期月日1.若点M（x,y|3|0
x y
-+=，则点M的轨迹是（）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线D抛物线.
2.点M 为抛物线2
y x =上的一个动点，连结原点O 与动点M ，以OM 为边作一个正方形MNPO ，则动点P 的轨迹方程为（ ） A.2y x = B. 2y x =- C. 2y x =± D. 2
x y =±
3.20=化简的结果是（ ）
A.22110036x y +=
B. 22110064x y +=
C.22136100x y +=
D. 22
164100
x y +=
4.一动圆M 与两定圆222212:(4)1,:(4)9C x y C x y ++=-+= 均外切，则动圆圆心
M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.抛物线2
4y x =关于直线:2l y x =+对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.椭圆Ｃ与椭圆14
)2(9)3(2
2=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆Ｃ的方程是（ ）
A. 19)3(4)2(22=+++y x
B. 14)3(9)2(2
2=-+-y x
C. 14)3(9)2(22=+++y x
D. 19
)3(4)2(2
2=-+-y x
７.下列四个命题：
⑴圆2
2
(2)(1)1x y -+-=关于点A(1，2)对称的曲线方程是2
2
(3)(3)1x y -+-=；
⑵以点（2，－3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是
22
(2)(1)11014
x y -++=； ⑶顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(―4，―3)的抛物线方程只能是2
94
y x =；
⑷双曲线
22
1169x y -=右支上一点P 到左准线的距离为18，则P 点到右焦点的距离为292
； 以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都．
填上） ８.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线
上横坐标为１的点到焦点的距离为６；④抛物线的通径长为５；⑤由原点向过焦点的
某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）。能使这抛物线的方程是x y 102
=的条件是 （要求填写合适条件的序号）
９.求经过定点()2,1A ， 以x 轴为准线，离心率为2
1
的椭圆下方的顶点的轨迹方程。
10.设曲线C ：y =
:l y kx =.
⑴记l 与C 的两个交点为A 、B ，求线段AB 中点的轨迹方程； ⑵若线段AB 上的点Q 满足
211
OQ OA OB
=+
，求点Q 的轨迹方程； ⑶在点Q 的轨迹上是否存在点Q 0，使得经过曲线C 的焦点的弦被点Q 0平分？证明你的结论.
第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
一、复习目标
1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程(组)的问题；
2、会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长等问题；
3、能够运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、不等式的知识解决相关问题.
二、基础回顾
1、直线l 被圆04422
2=++-+y x y x 截得的线段长为２，将直线l 沿向量)4,3(-=a 平
移后被该圆截得的线段的长仍为２，则直线l 的方程为（ ）
A 0234=++y x
B 0543=++y x
C 0234=-+y x
D 0543=-+y x
2、若直线y x t =+与椭圆2
214
x y +=相交于A,B 两点，当t 变化时，||AB 的最大值是（ ）
A 2 B
5 C 5 D 5
3、若双曲线2
2
1x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为，则
______
.a b += 4、椭圆22
1ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 为AB 的中点，若
AB O =为坐标原点，OC 斜率为
2
，则,a b 的值分别为_____________. 三、例题探究
例1、12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角3
π
的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2?的面积.
例2、对于椭圆2
2
19
y x +=，是否存在存直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点,M N ，且线
段MN 恰好被直线1
2
x +0=平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.
例3、（苏州二模卷）已知Ｏ为坐标原点，)0,8(),0,4(=-=AB OA ，动点P 满足关系
10=+，
（１）求?的最小值。（２）若)0,1(Q ，试问动点P 的轨迹上是否存在N M ,两点，满足QM NQ 3
4
=
，若存在，求出N M ,两点的坐标；若不存在，请说明理由。
〔备用题〕、已知椭圆的一个顶点是)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线
022=+-y x 的距离为３，试问是否存在一条斜率为)0(≠k k ，且在y 轴上的截距为２的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点N M ,，设MN 的中点为P ，且有直线AP 到
直线l 的角的正切为k
2
。若存在，求出k 的值，若不存在请说明理由。
四、方法点拨
１、研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常常联立方程组，应用韦达定理求解。如例１
将面积表示为121
(2)||2
S c x x =
-，再求12||x x -=２、直线和曲线有两个交点，应用△>0，再借助于等式消去其中一个变量，去求其中另一
个变量的范围。如例2。
３、在研究曲线上的点的性质时，要注意定义的应用，如例3。在研究线段长度关系时，
可以转化为坐标关系，再用一元二次方程求解。
冲刺强化训练（19）
班级 姓名 学号 日期 月 日
1、12,F F 是椭圆22
221x y a b
+=的左，右焦点，把向量12F F 绕1F 逆时针旋转60°得到1F A
A 点在y 轴上，且1F A 的中点M 在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A 、1
2
B
C
2 D
1 2、过M （－2,0）的直线l 与椭圆22
22x y +=交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，
设直线l 的斜率为k 1,(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2的值等于（ ） A. 2 B.－2 C.12 D. 12
- ３、已知)6
2,5(),62,
5(y
x y x -==，双曲线1=?上一点M 到F （7,0）的距离为11，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜＝（ ）
A 、
211 B 、2
21 C 、21 D 、22121或 ４、已知21F F 、是两个定点,椭圆1C 和等轴双曲线2C 都以21F F 、为焦点，点Ｐ是1C 和2
C 的一个交点，且0
2190=∠PF F ，那么椭圆1C 的离心率是（ ）
A. 36
B.23
C.2
2 D. 32
2
５、双曲线
22
1916
x y -=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为
3
π
，则△PF 1F 2的面积是＿＿＿＿＿. ６、已知椭圆C 的焦点分别是F
1(-F
2长轴长为6，设直线 y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标为 .
７、已知点P 是直线:3480l x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆2
2
2210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积最小值是＿＿＿＿. 8、设直线1+=kx y 与圆042
2
=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于
直线0=+y x 对称，求不等式组??
?
??≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示平面区域的面积。
9、一船在水面上的高度为5米，船顶宽4米．现要通过一抛物线型桥洞，该抛物线方程为y x 82
-=，测得河面宽10米(河面宽与桥洞宽相同)，问：该船能否通过桥洞？请说明理由．若不能，只得等落潮退水。当河面宽至少为多少米时，该船才能通过桥洞？（精确到0.1米）．
10、直线:1l y kx =+与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l ′过定点 P （－2，0）且过弦AB 的中点M ，求直线l ′在y 轴上的截距b 的取值范围.
第20讲 直线与圆锥曲线的位置关系(2)
一、复习目标
1、会利用圆锥曲线的定义处理焦点弦、弦长等问题；
2、能够根据圆锥曲线图形的特征判断直线与曲线的位置关系问题，进而判断直线与曲
线的交点个数；
3、强化运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、方程、不等式的知识
解决相关问题.
二、基础回顾
1、过椭圆22
3448x y +=的左焦点F 引直线交椭圆于,A B 两点，若7AB =，则此直
线的方程为______________________.
2、已知动点P 在抛物线x y =2
上，且P 到此抛物线的准线距离为d ，当点P 到直线
02=+-y x 的距离最小时，d 等于（ ）
A 、41
B 、21
C 4
3
D １
3、已知椭圆22
221(0),(2,0)x y a b A a b
+=>>为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，
且0,2AC BC OC OB BC BA ?=-=-
，则椭圆的焦距为（ ）
A
3 B 3 C 3
D 以上答案都不对 4、B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地 在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B,C 两地转运货物，经测算，从M 到B ，M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km ，2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）万元。
A 、a )272(-
B 、a 5
C 、a )172(+
D 、a )132(+
5、、若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线有两个交点，则此圆锥曲线为（ ）
A. 双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D. 椭圆或双曲线
推广（１）若是椭圆或抛物线呢？（２）若是双曲线，所交弦对应的圆心角是否为定值？
三、例题探究
例1、已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A (4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程．
例2、已知)0,22(=，Ｏ为坐标原点，点M +-＝６ （１）点M 的轨迹C 的方程。 （２）是否存在直线l 过)2,0(P 点，与轨迹C 交于B A ,两点，且以AB 为直径的圆过原点？
若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由。
例3、如图：)0,3(-P ，点Ａ在ｙ轴上，点Ｑ在x 轴的正半轴上， 且0=?AQ AP ，在AQ
的延长线上取一点M ,= （１）当Ａ点在ｙ轴上移动时，求动点M 的轨迹Ｃ的方程 （２）已知)0,1(),1,0(,==∈j i R k ，经过j ki +-以)0,1(为 方向向量的直线l 与轨迹Ｃ交于Ｅ，Ｆ两点，又点)0,1(D ，若
EDF ∠为钝角时，求k 的取值范围
〔备用题〕椭圆:1C )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别为B A ,，点P 是双曲线
:2C 122
22=-b
y a x 在第一象限内的图象上的一点，直线BP AP ,与椭圆1C 分别交于D
C ,点，若C 是AP 的中点（１）求P 点的坐标。（２）能否使直线C
D 过椭圆的右焦点？若能，求出双曲线2C 的离心率；若不能，请说明理由。
四、方法点拨
１、已知双曲线的渐近线，可以不分类讨论，先观察图形确定焦点在哪个轴上。如例1） ２、直线与圆锥曲线的位置关系联立方程组是经常采用的手段。如例２以AB 为直径的圆
过原点就是02121=+y y x x ，而)2(11-=x k y )2(22-=x k y ，将韦达定理代入可求k 。
３、有时直线与圆锥曲线的关系式也会与别的章节知识相结合。如例４将EDF ∠为钝角
的条件转化为0
冲刺强化训练（20）
班级 姓名 学号 日期 月 日 1、3、设(,)P x y 是曲线
153
x y
+=上的点，另有两点12(4,0),(4,0)F F -，则（ ） A 1210F P F P +< B 1210F P F P +=
C 1210F P F P +≤
D 1210F P F P +≥
２、等腰ABC ?的三个顶点在椭圆6542
2
=+y x 上，其中B A ,两点关于原点Ｏ对称，设直线AC 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，则1k 2k 的值为（ ）
A 、45-
B 、5
4- C 54
D 552
３、直线1+=kx y ，当k 变化时，此直线被椭圆14
22
=+y x 截得的最大弦长是（ ）
A 、２
B 、3
3
4 C ４ D 不能确定 4、过椭圆的左焦点Ｆ且倾斜角为60°的直线交椭圆于Ａ，Ｂ两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ）
A
32
B 22
C 21
D 3
2 5、我国“神州5号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，近地点
A 距地面为m 千米，远地点
B 距地面n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）
A B
C 2mn
D mn
6、直线l 过圆2
2
(1)(2)25x y -++=内一点(1,2)M ，则被圆截得的弦长恰为整数的直线
l 共有（ ）
A 5条
B 6条
C 7条
D 8条
7、已知点P 在以坐标轴为对称轴，长轴在x 轴上的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为
P 与两焦点连线所张角的平分线交轴于(1,0)Q ，求椭圆方程．
8、、在ABC ?中，已知D C B ),0,3(),0,3(-为线段BC （不过B 、C 两点）上一点，
H BC AD ,0=?是ABC ?的垂心，且HD AH 3= （１） 求点H 的轨迹M 的方程。
（２）若过C 点且斜率为2
1
-
的直线与轨迹M 交于点P ，点)0,(t Q 是x 轴上任意一点，求当CPQ ?为锐角三角形时t 的取值范围。
9、一个截面为抛物线形的旧河道，河口宽AB ＝４米，河深２米，现要将其截面改造为等腰梯形，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土，试求当截面梯形的下底长为多少米时，才能使挖出的土最少？
高三数学一轮复习学案概率统计
高三数学一轮复习学案概率统计 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法， 在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】 题型1 抽样方法 【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999-〕中，在公证部门监督下按照 随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 〔 〕A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ． 分层抽样 D ．以上均不对 分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288， 388，488，588，688，788，888，988．答案B ． 点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部 分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样 方法．〔2〕 系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一 段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体． 例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在 全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校 抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕 A ．24 B ．18 C ．16 D ．12 分析：依照给出的概领先求出x 的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．占全校学生总数的19%， 解析：C 二年级女生即20000.19380x =?=，如此一年级和二年级学生的总数是 3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生 一年级 二年级 三年级 女 生 373 x y 男生 377 370 z
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型
古_典_概_型 [知识能否忆起] 一、基本事件的特点 1．任何两个基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点 1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性． [提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 . [小题能否全取] 1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D ．1 解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23 . 2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( ) A.35 B.25 C.13 D.23 解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－ 515＝23 . 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( ) A.13 B.23
C.12 D.14 解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝2 3 . 4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________． 解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29 . 答案：29 5．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________． 解析：P ＝3×210＝3 5. 答案：35 1.古典概型的判断： 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型． 2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求． 典题导入 [例1] (2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45 [自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，
艺术生高考数学复习学案
§1集合(1) 【考点及要求】了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义 【基础知识】 集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 集合的表示方法１ ２ 3 集合间的基本关系：１相等关系：_________A B B A ???且 ２子集:A 是B 的子集,符号表示为______或 B A ? 3 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 【基本训练】 １．下列各种对象的全体，可以构成集合的是 （1） 某班身高超过1.8m 的女学生；（2）某班比较聪明的学生;(3）本书中的难题 （4)使232x x -+最小的 x 的值 2. 用适当的符号(,,,,)∈?=??填空： ___;Q π {}3.14____Q ； *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈ 3.用描述法表示下列集合： 由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合； 4.若A B B ?=，则____A B ;若A B B ?=则_____;_____A B A B A B ?? 5．集合{}{} 35,A x x B x x a =-<=<，且A B ?,则a 的范围是 【典型例题讲练】 例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ? ??? ==+∈==+∈???????? ，则_______M N
练习： 设集合11,,,3663k k P x x k Z Q x x k Z ? ??? ==+∈==+∈???????? ,则______P Q 例2已知集合{} 2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。 （1） 若A 是空集,求a 的取值范围; （2） 若A 是单元素集，求a 的取值范围； （3） 若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围; 练习：已知数集1,,a P b b ?? =???? ,数集{} 20,,Q a b b =+，且P Q =,求,a b 的值 【【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性 【课堂检测】 1． 设全集,U R =集合{} 1M x x =>,{} 21P x x =>，则______M P 2． 集合{}{} 2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ?，则实数m 的值是 ３．已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个,真子集个数有 个 4．已知集合A ＝{-1,３,2m －1}，集合Ｂ={3，2 m }．若B A ?，则实数m = . ５．已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a =+求20042005a b +的值.
2017艺术生高考数学复习学案(一)
§1集合（1） 【考点及要求】了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义 【基础知识】 集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 集合的表示方法1 2 3 集合间的基本关系：1相等关系：_________A B B A ???且 2子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 【基本训练】 1．下列各种对象的全体，可以构成集合的是 （1） 某班身高超过1.8m 的女学生；（2）某班比较聪明的学生；（3）本书中 的难题 （4）使232x x -+最小的x 的值 2． 用适当的符号(,,,,)∈?=??填空： ___;Q π {}3.14____Q ； *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈ 3．用描述法表示下列集合： 由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合； 4．若A B B ?=，则____A B ；若A B B ?=则_____;_____A B A B A B ?? 5．集合{}{}35,A x x B x x a =-<=<，且A B ?，则a 的范围是 【典型例题讲练】 例1 设集合11,,,2 4 4 2 k k M x x k Z N x x k Z ????==+∈==+∈????? ? ? ? ，则_______M N 练习： 设集合11,,,3 6 6 3 k k P x x k Z Q x x k Z ???? ==+∈==+∈????? ? ? ? ，则______P Q 例2已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。 （1） 若A 是空集，求a 的取值范围； （2） 若A 是单元素集，求a 的取值范围； （3） 若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围；
高考数学总复习教学案
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [知识能否忆起] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan α. 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ??? ?α±π 4. [小题能否全取] 1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2α cos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos α cos 2α ＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
高三数学第一轮复习教学案
天印中学2010届高三数学第一轮复习教学案 主备人：李松 2009-12-1立体几何2） 课题：线面平行与面面平行（B 级） 【教学目标】 1. 掌握直线与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题； 2. 掌握平面与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题。 〖走进课本〗——知识整理 1.直线与平面的位置关系有 ; ; 三种 2.直线与平面平行的判定定理： 用符号表示为 3.直线与平面平行的性质定理： 用符号表示为 4.两个平面平行的判定定理 有符号表示为 5.两个平面平行的性质定理 有符号表示为 〖基础训练〗——提神醒脑 1.直线a ⊥平面α，直线α||b ，则a 与b 的关系是（ ） A.b a || B. b a ⊥ C. b a ,一定异面 D. b a ,一定相交 2.如果直线a 平行于平面α，则（ ） A.平面α内有且只有一条直线与a 平行； B. 平面α内无数条直线与a 平行； C. 平面α内不存在与a 垂直的直线； D. 平面α内有且只有一条直线与a 垂直； 3.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是（ ） A.α||a B. α?a C.α||a 或α?a D. α?a 4.已知直线b a ,和平面α，那么b a ||的一个必要不充分的条件是（ ） A.α||a ，α||b B. α⊥a ，α⊥b C. α?b 且α||a D. b a ,与α成等角 5.以下六个命题：其中正确命题的序号是 ①两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； ⑤与同一条直线成等角的两个平面平行； ⑥一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行；
2013年高考数学一轮复习 11.2 古典概型精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案11.2 古典概型（新课标人教版，教 师版） 【考纲解读】 1．理解古典概型及其概率计算公式． 2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 【例题精析】 考点一 古典概型 例1.（2010年高考山东卷文科19） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率. 【解析】（I ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。 因此所求事件的概率为1/3。 （II ）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，
艺术生高考数学复习学案(83100)
§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴ 【基础知识】 1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ? ? ，实际上前者是后者的真子集. 2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ，其中a b 与分别为它的 和 . ⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则 ，②若(,)a bi a b R +∈为虚数， 则 ，③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则 ； ⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈? ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈?与共轭 ； 3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z |） 则 ⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝ ； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝ ； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ?=+?+＝ ； ⑷乘方： m n z z ?= ；()m n z = ；12()n z z ?= ； ⑸除法： 12z a bi z c di +==+12z a bi z c di +==+ ＝ ； 4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实 轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5.复数的模：向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 （或 ）， 记作 （或 ），即||||z a bi =+＝ ； 复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2 2 2 2 ||||||||z z z z z z ====?； 6. 常见的结论：
高三数学一轮复习教学案(数列)
数列的通项（一） 复习要求： 1、熟练地掌握求数列通项公式的常见方法； 2、掌握由递推公式()1n n a Aa f n +=+、 ()1 n n a f n a +=、1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+求数列的通项 基础练习： 1、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S 10,S =40＝，则n a ＝ 2、数列2，8，26，80，…的一个通项公式为 3、已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则n a ＝ 例题讲解： 例1、已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 变式:数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 例2、已知数列{}n a 中，111,21n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式 变式:数列{}n a 中，()111,232n n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式 数列的通项作业（1）
1、已知数列21,203,2005,20007,，则它的一个通项公式为 2、数列{}n a 中，148,2a a ==，且满足：*2120()n n n a a a n N ++-+=∈，则n a = 3.数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列,数列{}a n 的通项公式 4.设{}n a 是首项为1的正项数列，且22 11(1)0(1 ,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，它 的通项公式是 5.1）已知数列{}n a 中，32,211+==+n n a a a ,则数列{}n a 的通项 2）已知数列{}n a 中，()111,222n n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式 7.1）已知数列{}n a 满足：{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 2）在数列{}n a 中，1102-1n n a a a n +＋＝，＝，求n a 8.已知数列{}a n 31=a ，n n a n n a 2 31 31+-= +，求n a 9.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，* n N ∈。 （1）证明数列{}n a n -是等比数列；2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； 数列的通项（二）
2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)―― 集 合
2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）――集合一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则 或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有 一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相 同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于 元素的排列顺序无关；
高三数学一轮复习教学案集合
集合 （一）集合的含义与表示 1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。 （二）集合间的基本关系 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2．在具体情境中，了解全集与空集的含义. （三）集合的基本运算 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。 根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.
第1课时 集合的概念 一、集合 1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有： (1) 确定性； (2) ； (3) ． 3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系 4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系 5．集合与集合的关系用符号 表示． 6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ． 7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ． 8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ． 9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个． 10．空集?是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，?是任何集合的 ，?是任何非空集合的 ，解题时不可忽视?． 例1. 已知集合8| 6A x N N x ?? =∈∈??-?? ，试求集合A 的所有子集.解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为 2,4,5，即{}2,4,5A =. ∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ. 变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ??+=??? ? 求b-a 的值. 解：由{}1,,0,,b a b a b a ??+=??? ? 可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：
高三数学一轮复习学案
高三数学一轮复习学案 第三缉 数列 3．5数列通项的求法 高考要求： 掌握求数列的通项方法。 考点回顾： （一）求数列的通项方法 1、由等差，等比定义，写出通项公式 2、利用迭加a n －a n －1=f （n ）、迭乘a n /a n －1=f （n ）、迭代 3、一阶递推q pa a n n +=+1，我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比数列 4、利用换元思想 5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明 6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 （二）主要方法： 1、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项。 2、运用等差（等比）数列的通项公式。 3、已知数列}{n a 前n 项和n S ，则?? ?≥-==-211 1 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ） 4、已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n －1，则a n ＝ 1 －n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）。 5、已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f （n ）}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法。 6、已知)2)((1 ≥=-n n f a a n n ，求n a 用累乘法。 7、已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数
列)}({n a f 为等差或等比数列。 8、已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a 。 考点训练 EG1．设{a n }的首项为1的正项数列，且()(),.....3,2,10112 21==+-+++n a a na a n n n n n 求它的通 项公式。 B1－1．已知数列{a n }，a 1=2，a n +1=a n +3n +2，求a n 。 EG2．已知数列{a n }，a 1=1，a n +1= n n a a 求,13 2 +。 B2－1．数列{a n }中，a 1=1，2a n =n n a n a 求),2(21≥+- B2－2．数列{a n }中，a 1=1，()N n a a a n n n ∈+= +2 21 ，求a n 。 B2－3．数列{a n }中，a 1=1，()2,1 222≥∈-=n N n S S a n n n ，求a n 。 EG3．（理）（猜证）已知数列{a n }满足a 1=1，().2311 ≥+=--n a a n n n （1）求a 2，a 3 ，a 4； （2）证明：2 1 3-=n n a 。 B3－1．（理）设正数数列{a n }前n 项和S n ，存在正数t ，使得对所有自然数n ，有 ,2 n n a t ts += 则通过归纳猜想得到S n 并证明？ EG4、设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，满足关系n tS 3()132-+-n S t =t 3 ()N n n t ∈>>,2,0 （1）求证：数列{a n }是等比数列；
高三数学一轮复习教学案
高三数学一轮复习教学案——导数的应用 授课时间：______月_____日 教学目标： 1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在解决实际问题中的作用． 教学重、难点：利用导数求函数的最值、极值。建立函数关系，利用导数求生活中的最 优化问题。 考点知识回顾： 1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y =f (x )在某个区间内可导, 如果 f '(x )>0, 则 y =f (x )为增函数,如果 f '(x )<0, 则y =f (x )为减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y =f (x ) 在某个区间内可导, 如果 f (x ) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f '(x )≥0 (或 f '(x )≤0). 注：当 f ' (x ) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时,f (x ) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 2.函数极值的定义 设函数 f (x ) 在点x 0及其附近有定义, 如果对x 0附近的所有点, 都有 f (x )
2014届高考数学一轮复习教学案基本不等式(含解析)
第四节 基本不等式 [知识能否忆起] 一、基本不等式ab ≤a ＋b 2 1．基本不等式成立的条件：a >0，b >0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )；????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1 x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号． 2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36
C ．81 D ．243 解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0
(新课改省份专用版)202x高考数学一轮复习 1.1 集合学案
第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第一节集合 突破点一集合的概念与集合间的基本关系 [基本知识] 1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素 A?B或B?A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中 至少有一个元素不属于A A B或 B A 相等 集合A中的每一个元素都是集合B 中的元素，集合B中的每一个元素 也都是集合A中的元素 A?B且B?A?A＝B 空集 空集是任何集合的子集??A 空集是任何非空集合的真子集?B且B≠? 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (3)?∈{0}．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 二、填空题 1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．
答案：{2,1,0} 2．已知非空集合A 满足：①A ?{1,2,3,4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A .则满足上述要求的集合A 的个数为________． 解析：由题意，知满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 答案：3 3．设集合M ＝{1，x ，y }，N ＝{x ，x 2，xy }，且M ＝N ，则x 2 019＋y 2 020＝________. 解析：因为M ＝N ，所以??? x 2＝1，xy ＝y 或??? x 2＝y ，xy ＝1，由集合中元素的互异性，可知x ≠1，解得??? x ＝－1，y ＝0. 所以x 2 019＋y 2 020＝－1. 答案：－1 4．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值是________． 解析：因为集合A 有且只有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．①当a ＝0时，A ＝{0}符合题意；②当a ≠0时，要满足题意，需有Δ＝ 4－4a 2＝0，即a ＝±1.综上所述，a ＝0或a ＝±1. 答案：0或±1 [典例感悟] 1．(2019·厦门一中模拟)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z}，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z}，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( ) A ．a ∈M ，b ∈P B ．a ∈P ，b ∈M C ．a ∈M ，b ∈M D ．a ∈P ，b ∈P 解析：选A 设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A. 2．(2019·广州模拟)已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0,1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A 依题意知a ≠0，则{0，－a }＝{0,1}，所以a ＝－1.故选A.
河北衡水中学高三数学一轮复习学案
河北衡水中学2014届高三数学一轮复习学案 主编：吴素利 数列求和（一） 学习目标：数列是高中数学的重要内容之一，是中学数学联系实际的主要渠道之一，数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切。数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧在中学数学中有着十分重要的地方。因此，数列知识可以命综合性强的试题。 知识梳理 1.等差数列前n 项和S n = .推导： ； 等差数列前n 项和S n =? ?? 推导： 2.常见数列的前n 项和：①1+2+3+4+…+n= ②2+4+6+…+2n= ③1+3+5+…+（2n-1）= ④12+22+32+…+n 2= ⑤2 333(1)1+2+3++2n n +?? =???? 3…n 3.（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。 （2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式。相加过程消去中间项。只剩有限项再求和。 （3）错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。 （4）倒序相加：例如。等差数列前n 项和公式的推导方法。 4.常见的拆项公式有： （1）1=(+1)n n —1 1 n + （2）1(21)(21)n n -+= 1 12121n n ??- ?-+?? （3） 1 (1)(2) n n n =++ 11 (1)(1)(2)n n n n ??-??+++?? （4 = （5） (1)!n n =+ —1 (1)! n +； （6）1 m n C -= ； （7）!n n =g ！—!n ； （8）1(2)n n n a S S n -=-≥. 注意：文科不要（5）（6）（7） 【答案】1、11()(1)22 n n a a n n na d +-=+ 倒序相加法 1na 1(1)1n a q q -- 1) 1n a a q q -- 乘公比，错位相减 2. (1)2n n + 2n n + 2 n (1)(21)6 n n n ++ 11a q - 4、（1） 1n （2）12（3）12（4）1a b -（5）1! n （6）1m m n n C C +-（7）(1)n + 题型一、公式法（直接法） 将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列前n 项和公式求得。 例1；已知{}n a 为等差数列，且366,0a a =-=（1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++，求{}n b 的通项公式及前n 项和S n 。 练习：（2013重庆）设数列{}n a 满足：111,3,n n a a a n N ++==∈。 （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和S n 。 （2）已知{}n b 为等差数列，n T 为前n 项和，且123123,b a b a a a ==++，求20T 。 题型二、裂项相消 如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰好与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项和等于第一项的被减数最末项的减数之差，多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和。 例2：在数列{}n a 中，12+ 111 n n a n n n =+++++…。又12n n n b a a +=g 。求{}n b 前n 项和S n 。。 练习1：已知 22212n ++= …+(1)(21) 6 n n n ++，求 22222222235721()11212312n n N n *++++∈+++++…+…+的和。