证明(三)经典讲义[1]1

证明（三）主要知识点：

一、三角形

按角分

三角形

按边分

二、四边形

1. 知识结构如下图

（1）弄清定义及四边形之间关系图1：

（2）四边形之间关系图2：

2、几种特殊的四边形的性质和判定：

四边形

正方形

两腰相等

有一个角是直角

直角梯形

平行四边形

矩形菱形

正

方

形

等腰梯形直角梯形

梯形

四边形

直角三角形

钝角三角形

三条边都不相等的三角形

等腰三角形

等边三角形（正三角形）

1

3、一些定理和推论：

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

推论：夹在两平行线间的平行线段相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

4、一些思想方法：

⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。

⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。

⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。

3

⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。

⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。

5、注意：

⑴四边形中基本图形

⑵梯形问题中作辅助线的常用方法

(

⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。

典型例题分析

例1.

已知：如图，在□

ABCD 中，E 、F

分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥

DB 交CB 的延长线于G ． (1) 求证：△ADE ≌△CBF ； (2) 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论

．

例题2.已知：P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，求证：AP =EF .

例题3.如图：已知在正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O,点E 是BO 的中点，DG ⊥CE 于点G ，

交OC 于点F. 如果正方形ABCD 边长为10㎝.求EF 的长.

例4.如图，菱形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，

求∠CEF 的度数．

例5. 如图所示，在

ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BE 平分ABC ∠的外角，且BE AE ⊥

；求证：()BC AB OE +=2

1

例6.如图所示,P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线上一点,且CP BP A PBC ,,2

1

∠=∠的延长线分别交AC 、AB 于点D 、E ,CE BD >；求证：CD BE = A

B

C

E

P

G

D

A

B

C

D

E

O

A

5

例7. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在CD 上，?=∠45EBF ，EF BG ⊥于点G ；求证：BG AB =

例8.如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ， ∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB>AD ） BD=10， BD =DC ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE+CF = 4. (1) 求BC 的长；

(2) 设EC 的长为x ，四边形AEFD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的

定义域；

（3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD 的面积等于40，试求EC 的长 .

训练题一：

一、 填空题

1．如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC 是 度.

2．如图，P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点，且PE ⊥DB ，垂足为E ，PF ⊥CA ，垂足为F ，则PE+PF 的长是 .

3．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，对角线AC ⊥BD 于O ，DC=3，AB=8cm ，则梯形的高= cm .

4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形

A F

E B D C

A B

C D P O E F

A B C D O A B C D A B C E D 第2题图 第1题图 第3题图 第5题图 A

B C

D

E F

G

第5题图

的中位线的长等于___________ cm .

5．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，

那么阴影部分的面积为________ .

6．等腰三角形的两边长为6㎝、8㎝, 则这个等腰三角形的周长为__________㎝.

7．梯形上、下底的比是a : b （a

二、选择题(前四题为单选,其余为多选)

1. 如图，O 为□ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且与边AD 、BC 分别交于点E 、F ．若BF ＝DE ，则图中的全等三角形最多有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 5对 D. 6对

2. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°， AB ＝8，则CD 的长为 （ ）

A.

3

6

8 B. 64

C.

3

2

8 D. 24

3. 直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 中点，且AB=AD+BC ，则△ABE 是 （ ）

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等边三角形 4. 在□ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处．若AE 过BC 的中点，则□ABCD 的面积等于 （ ） A. 48

B. 610

C. 712

D. 224

5．下列各组长度的线段中，可以组成三角形的是（ ） A ．6 , 2 , 7 B ．6 , 2 , 8 C ．5 , 6 , 7 D ．6 , 2 , 10

6.如图，把直角三角形纸片，沿过顶点B 的直线BE 折叠，直角顶点C 落在AB 上。如果

?EBA 是等腰三角形，那么下列结论正确的是………………（ ）

A ． 30=∠A B.点C 与A

B 中点重合

C. 点E 到AB 的距离等于CE 的长

D.AB=3AE

7.下列命题中，正确的是（ ）

A.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合

C.两个成轴对称的图形一定全等

D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形

8.如图，点C 是MON ∠内一点，且CA=CB.下面说法正确的是……………（ ）

A.点C 在MON ∠的角平分线上

C M O

A

C B

B

A

E

C

7

B.点C 在线段AB 的垂直平分线上

C.OC 是AB 的垂直平分线

D.OC 是∠MON 的角平分线

9.如图：已知在ABC ?中,AB=AC, 90=∠BAC ,直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F,当EPF ∠在ABC ?内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合）,

下列结论始终正确的是（ ）

A.AE=CF

B.EPF ?是等腰三角形

C.S ARPF 四边形=ABC S ?2

1

D.EF=AP

三、证明题

1．如图：在梯形ABCD 中，AB//CD ，中位线EF=7㎝,对角线AC ⊥BD,BDC ∠=30

,求梯形的高AH.

2．如图：已知在平行四边形ABCD 中,BC AE ⊥于点E,BE:EC=1:3,点F 、G 、H 分别是AB 、AE 、CD 的中点,EF=5,GH=21 求（1）AD 的长 （2）梯形AECD 的面积

3. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点M 为CD 上一动点（与点C 不重合），将矩

形沿某一直线对折，使点B 与点M 重合，折痕与AD 交于点E ，与BC 交于点F.

（1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形）；

C

E

B

F

A

H

D

A F

E

P

B

D

A E F B

G

H

（2）设CM=x ，AE=y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）是否存在点M 的位置使∠BEM=900，若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由.

训练题二

1如图1，已知BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是________(填上一个即可)。

2.如图2：四边形ABCD 是正方形，?ABE 是等边三角形，点E 在正方形外部，那么∠AED=_______度。

3如图3：在Rt ?ABC 中，C ∠=90

，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1㎝，则AC=_______㎝.

4.如图4：在?ABC 中，有一正方形DECF ，如果AD=29㎝，DB=19㎝，那么S ADE ?+S BDF ?=_______㎝2

.

(

图1) (图2) (图3) (图4)

5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）

A. 等边三角形

B. 平行四边形

C. 等腰梯形

D. 矩形

6. 已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线是 （ ）

A. 33

B. 36

C. 3

D. 6

5 已知：如图，在正方形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OB 、OC 上，且OE=OF. 求证：AE ⊥BF.

A

B

C

D E

M

F E O A B C D A D

C

B F E E

F E

B

D

C A

D C

9

6．如图：已知正方形ABCD 的边长为5，E 是BC 上一点，BE : EC=2 : 3,M 、N 分别在CD 、AB 上，以M 、N 为折痕，使点A 与AC 上的点E 重合.求（1）BN 的长（2）S ANEM 四边形

单元评估试卷

1．下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是 （ ）。 A ．一组邻角互补，一组对角相等。 B ．一组对边平行，一组邻角相等。 C ．一组对边相等，一组对角相等。 D ．一组对边相等，一组邻角相等。 2．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 （ ）。 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形

3．下列说法错误的是 （ ）。

A ．有一组对边平行但不相等的四边形是梯形。

B ．有一个角是直角的梯形是直角梯形。

C ．等腰梯形的两底角相等。

D ．直角梯形的两条对角线不相等。

4．如图1把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置。 若∠EFB =65°，则∠AED ′等于 （ ）。 Ａ．50° Ｂ．55° Ｃ．60° Ｄ．65° 5

． ABCD 中，O 是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是 （ ）。

A ．∠BAD=90°，AB=AD

B ．∠BAD=90°，A

C ⊥B

D C ．AC ⊥BD ，AC=BD D ．AB=AC ，∠BAD=∠BCD

E

A

D

P O

F

E D

C B

A

6.如图2，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF 的周长为 （ ）

A.8.3

B.9.6

C.12.6

D.13.6

7.给出下列命题:①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3

D.4

如图2 如图3

8、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ） A 2 对 B 3对 C 4对 D 5 对

9、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ） A .内角和是360°； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直. 10、如图3，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为 （ ）

A.

5

13

B.

2

5 C.2 D.

5

12 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分） 11．在

ABCD 中，已知∠ABC=60°，则∠BCD=____________。

12.任意四边形的四边中点依次相连构成的四边形是__________ 矩形四边中点依次相连构成的四边形是_____________________ 菱形四边中点依次相连构成的四边形_______________________

对角线互相垂直的四边形四边中点依次相连构成的四边形________________-

13．已知△ABC 中，AB=12㎝，BC=10㎝，AC=8㎝，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点，则△DEF 的周长为___________cm 。

14．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别为6㎝和10㎝，则菱形的面积是______㎝2

。 15．如图2，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O 且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=_________ 。

D

图4

16．已知正方形ABCD的对角线长为9㎝,则正方形ABCD的面积为_________㎝2。

17．菱形ABCD中，若周长是20㎝，对角线AC=6㎝，则对角线BD=__________㎝。

18．如图3，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，则下面的结论：①AO=CO；②AB∥CD；③AC⊥BD；④AB⊥BC。其中正确的结论有：________。

19、如图4，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件__________________，

就可以判定它是一个菱形

三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

20、求以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长。

21、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，求△BEF的面积。

22、矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？

23、若等腰梯形两底的差等于一腰的长，求最小的内角是。

2，AE⊥BD于点E，24、如图8，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=3

求OE的长？

11

四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分）

25、如图9，点D 是△ABC 中 BC 边上的中点，DF ⊥AC ，DE ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BE=CF 。 （1）求证：△ABC 是等腰三角形；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AEDF 是怎样的四边形，证明你的结论。

26、如图10，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。 （1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②B H ⊥DE 。

（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。

综合题

1.如图四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F.

(1) 在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2) 求证：AE=FC+EF.

13

2. 如图在正方形ABCD 中，△PBC 、△QCD 是两个等边三角形，PB 与DQ 交于M ，BP 与CQ 交于E ，CP 与DQ 交于F. 求证：PM = QM

3.如图在梯形ABCD 中，AB DC ∥，过对角线AC 的中点O 作EF AC ⊥，分别交边

AB CD ，于点E F ，，连接CE AF ，．

（1）求证：四边形AECF 是菱形；

（2），若4EF =，O F ：AO=2：5求四边形AECF 的面积

4.如图△ABC 中，∠ACB =90度，AC =2，BC =3．D 是BC 边上一点，直线DE ⊥BC 于D ，交AB 于点E ，CF //AB 交直线DE 于F ．设CD =x ．

(1) 当x 取何值时，四边形EACF 是菱形？请说明理由； (2) 当x 取何值时，四边形EACD 的面积等于2 ？

5.如图①，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得结论：①AF =DE ，②AF ⊥DE 。(不需要证明)

F E

D

C

B

A

(1)如图②，若点E 、F 不是正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，但满足CE =DF ，则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如图③，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE 和EF ，若点M 、N 、P 、Q 分别为AE 、EF 、FD 、AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程。

6.如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝900，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以每秒1厘米的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以每秒3厘米的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随机停止运动。设运动的时间为t 秒。

（1） 当t 等于多少时，四边形PQCD 为平行四边形？

（2） 当t 等于多少时，四边形PQCD 变为等腰梯形？

Q P D

C

B A

15

A

B C

D

P Q