《导数及其应用》单元测试题(理科)
《导数及其应用》单元测试题(理科)
(满分150分 时间:120分钟 )
一、选择题(本大题共8小题,共40分,只有一个答案正确) 1.函数()2
2)(x x f π=的导数是( )
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( )
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3.已知对任意实数x ,有()()()(f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,
()0()f x g x ''>>,,则0x <时( )
A .()0()0f x g x ''>>,
B .()0()0f x g x ''><,
C .()0()0f x g x ''<>,
D .()0()0f x g x ''<<,
4.
=-+?
dx x
x x )1
11(322
1
( ) (A)8
7
2ln +
(B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +
5.曲线1
2
e x y =在点2
(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.
2
9e 2
B.2
4e
C.2
2e
D.2
e
6.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
7.已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有
()0f x ≥,则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A .3 B .
52 C .2 D .32
8.设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
二.填空题(本大题共6小题,共30分)
9.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,则该长方体的长、宽、高各为 时,其体积最大.
10.将抛物线2
2
x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体
的体积等于
11.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=__.
12.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列
1n a n ????+??
的前n 项和的公式是 13.点P 在曲线3
23
+-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值
范围是 14.已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数,则a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .
三.解答题(本大题共6小题,共12+12+14+14+14+14=80分) 15.设函数()e e x
x
f x -=-. (1)证明:()f x 的导数()2f x '≥;
(2)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围.
16.设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的
坐标分别为11()x f x (,)、22()x f x (,)
,该平面上动点P 满足?4PA PB =
,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点,.求 (1)求点A B 、的坐标; (2)求动点Q 的轨迹方程.
17.已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ,其中a,b,c 为常数。 (1)试确定a,b 的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>0,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。
18.已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
(1)当1-=a 时,求函数的单调区间。 (2)当R a ∈时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数a ,使[]0,1-∈x ,函数有最小值-3?
19.已知函数3()3.f x x x =-
(1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程; (2)若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.
20.已知函数()2
a f x x x
=+,()ln g x x x =+,其中0a >.
(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值;
(2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求
实数a 的取值范围.
【理科测试解答】
一、选择题
1.()∴==,42)(222x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
或()()=?='??='ππππ24222)(x x x x f x 28π(理科要求:复合函数求导) 2.∴=?=-.)(x x
e x e
x x f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f , ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x 选(A) 或().1,0.0)1(11)(<∴>>?-=-??+?='----x e e x e x e x f x x x x 3.(B)数形结合
4.(D ) 5.(D ) 6.(D ) 7.(C ) 8.(B ) 二、填空题
9.2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为
??? ?
?
-=-=
230(m )35.44
1218<<x x x
h .
故长方体的体积为
).2
3
0()
(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <
3
2
时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。
从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m.
10.π.==?dy x S 1
02
π ()
.0
1
22
1
0πππ==?y dy y (图略)
11.32 12.()()/112
22,:222(2)n n n x y
n y n x --==-++=-+-切线方程为,令x=0,求出切线
与y 轴交点的纵坐标为()012n
y n =+,所以
21n n a n =+,则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和()12122212
n n n S +-=
=--
13.??
???????????πππ,432,0
14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题
15.解:(1)()f x 的导数()e e x x f x -'=+.
由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (2)令()()g x f x ax =-,则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,
(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x x g x a a -'=+->-≥,
故()g x 在(0)+,∞
上为增函数, 所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.
(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1x =,
此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.
所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,.
16.解:(1)由题意知(1)3f c =--,因此3b c c -=--,从而3b =-. 又对()f x 求导得
3431
()4ln 4f x ax x ax bx x
'=++
3(4ln 4)x a x a b =++.
由题意(1)0f '=,因此40a b +=,解得12a =.
(2)由(I )知3
()48ln f x x x '=(0x >),令()0f x '=,解得1x =.
当01x <<时,()0f x '<,此时()f x 为减函数; 当1x >时,()0f x '>,此时()f x 为增函数.
因此()f x 的单调递减区间为(01),,而()f x 的单调递增区间为(1)+,∞.
(3)由(II )知,()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--,此极小值也是最小值,要使
2()2f x c -≥(0x >)恒成立,只需232c c ---≥.
即2
230c c --≥,从而(23)(1)0c c -+≥, 解得3
2
c ≥
或1c -≤. 所以c 的取值范围为3
(1]2??-∞-+∞????
,,
17.解: (1)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-
所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故
1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f
所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.
(2) 设),(n m p ,),(y x Q ,()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m PB PA
21-=PQ k ,所以21-=--m x n y ,又PQ 的中点在)4(2-=x y 上,所以??
?
??-+=+4222m x n y
消去n m ,得()()9282
2
=++-y x .
另法:点P 的轨迹方程为(),922
2=-+n m 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;
设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由2102-=--a b ,??
?
??-+=+420222a b 得a=8,b=-2
18(1)(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; (2)1、当,0=a (),2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ,,2??? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,??? ? ? ∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )