整数的整除性与同余(教案)

整数的整除性与同余（教案）

教学内容整除与同余

教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;

2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.

教学过程

一、整数的整除性

1、整除的定义：

对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ?=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a.

2、整除的性质

1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am;

2) 若b|a ，c|b ，则c|a

3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ；

4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ；

5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）

6）连续整数之积的性质

任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除

例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。

证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)

例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。

解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3

例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 2

1n 23n 23-++

对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。

证明：)1n 2)(1n (n 2

1n 21n 23n 23++=++ ∵)1n (n +为连续二整数的积,必可被2整除.∴)1n (n 2

1+对任何整数n 均为整数, ∴1n 2

1n 23n 23-++为整数,即原式为整数.

又∵8)2n 2)(1n 2(n 28)1n 2)(1n (n 42)1n 2)(1n (n ++=++=++;

2n 、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质， ∴是能被3整除的整数. 故1n 2

1n 23n 23-++被3除时余2. 例4 一整数a 若不能被2和3整除，则a 2+23必能被24整除.

证明 ∵a 2+23=（a 2-1）+24，只需证a 2-1可以被24整除即可.

∵2|/ .∴a 为奇数.设a=2k+1(k 为整数),则a 2-1=(2k+1)2-1=4k 2+4k=4k(k+1).

二、同余及其性质

1、同余的概念

同余定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为:a ≡b （modm ）. （*）上式可读作：a 同余于b ，模m.

同余式（*）意味着（我们假设a ≥b ）：a-b=mk ，k 是整数，即m ｜（a-b ）.

补充定义：若m （a-b ），就说a 、b 对模m 不同余，用式子表示是：a b （modm ）

2、同余的性质

同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a 、b 、c 、d 是整数，而m 是自然数）

性质1：a ≡a （mod m ），（反身性）这个性质很显然.因为a-a=0=m ·0。

性质2：若a ≡b （mod m ），那么b ≡a （mod m ），（对称性）。

性质3：若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），那么a ≡c （mod m ），（传递性）。

性质4：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么a ±c ≡b ±d （mod m ），（可加减性）。性质5：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么ac ≡bd （mod m ）（可乘性）。性质6：若a ≡b （mod m ），那么a n ≡b n （mod m ），（其中n 为自然数）。

性质7：若ac ≡bc （mod m ），（c ，m ）=1，那么a ≡b （mod m ），（记号（c ，m ）表示c 与m 的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c ，m ）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37），∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。例2 求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。解：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7）

∵89＝64+16+8+1 而32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。

答：14389除以7的余数是5。

例3 证明方程2x 2-5y 2=7无整数解.

证明 ∵2x 2=5y 2+7，显然y 为奇数.

① 若x 为偶数，则1)1n (n 4)1n 2(y ),8(mod 0x 2222++=+=≡

∴)8(mod 47y 5),8(mod 1y 22≡+≡=

∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x 不能为偶数.

② 若x 为奇数，则)8(mod 07y 5),4(mod 2x 222≡+≡而∴x 不能为奇数.因则原方程无整数解. 说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.

例4 求证31980+41981能被5整除.

证明 ∵)5(mod 1,4)5(mod 13),5(mod 232-≡-≡-≡

∴)5(mod )1(4),5(mod )1(93198119819909901980-≡-≡=

∴)5(mod 0)1()1(43198199019811980≡-+-≡+

∴5|1981198043+

点评：证明整除问题常用同余的知识，当然二项式定理也是常用知识.

三、课后作业

1、一个五位数358a a 能被3整除，它的末三位数字组成的数58a 能被7整除，?求这个五位数．

2、证明对于任何整数0≥k ,153261616+++++k k k 能被7整除

3、能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为4321S S S S ，，，，且满足；＝，＝，，＝101010342312S S S S S S ---

专题02 数的整除性

专题02 数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

数的整除复习设计_教学设计

数的整除复习设计_教学设计 ◆您现在正在阅读的数的整除复习设计文章内容由收集!数的整除复习设计概念的教学相对其他知识要枯燥得多，而概念的复习就更显得无味。为了克服这一缺陷，在进行第十册第四单元的复习时，我注意让学生在充分发挥自主性的同时，增强复习课的趣味性，从而提高了复习课的效率。一、引言揭题，并板书课题二、复习相关的概念 1.复习整除的概念。谈话:老师今年36岁，同学们今年大都是12岁，看着36和12这两个数你能想到些什么?(学生可能说到有关整除、除尽、倍数、约数、质数、合数等内容。) 追问:谁能分别举例说一说整除和除尽有什么不同? 2.复习能被2、3、5整除的数的特征。让学生用卡片0、1、2、4、5按要求分别摆出下列各数: （1）能被2整除的数; （2）有约数5的数; (3)能被3整除的两位数; (4)能同时被2、3、5整除的五位数。 (学生摆出相应的数的同时追问能被2、3、5整除的数各有什么特征。) 3.复习整除中的其他概念。给出1、2、4、5、9、11、15、30、51、81十个数，要求学生把它们按不同的标准分成两大类。(小组讨论后进行交流，在交流中进一步明确相关的概念，如奇数、偶数等。) 4.讨论"1"的有关特征。提问:1是一个很特殊的数，关于1的知识，你了解多少?小组内的同学先相互说一说。(学生分小组讨论后再进行交流。) 三、练习

1.脑筋急转弯。(以竞赛形式抢答)按要求找数: （1）在0、1、7.5、20、58中不是整数的。（2）在1、4、8、9、17、563中是偶数的。 (3)在11、21、51、61、81、111中不能被3整除的。 (4)在30、50、60、90、120中不能同时被2、3、5整除的。 (5)在25、39、42、160、555中能同时被2、5整除的。 2.快乐大转盘。学生从下列各项中任选一项说一句话: 3.综合练习。(按要求填写电话号码) 四、全课小结通过今天的复习，你还想对同学说些什么?

整数的整除性

整数的整除性竞赛讲座02 －．的有关概念、性质整除的定义：对于两个整数a、d，若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。若d不能整除a，则记作da，如2|6，46。性质）若b|a，则b|，且对任意的非零整数有b|a ）若a|b，b|a，则|a|=|b|; ）若b|a，c|b，则c|a ）若b|ac，而=1=1表示a、b互质，则b|c；）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；）若c|a，c|b，则c|，其中、n为任意整数例1x，y，z均为整数，若11｜，求证：11｜。证明∵4+3=11 而11｜11, 且11｜, ∴11｜4 又=1 ∴11｜.

整除性问题的证明方法利用数的整除性特征例2设72｜的值。解72=8×9，且=1，所以只需讨论8、9都整除的值。若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。若9｜，则9｜，得a=3。利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数. 又∵ n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质， ∴是能被3整除的整数.

故被3除时余2. 例4一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除. 证明∵a2+23=+24，只需证a2-1可以被24整除即可. ∵2.∴a为奇数.设a=2+1, 则a2-1=2-1=42+4=4. ∵、+1为二个连续整数，故必能被2整除， ∴8|4，即8|. 又∵，a，为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a=a，∵3a，∴3|.3与8互质,∴24|,即a2+23能被24整除. 利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题. 例5求证:不存在这样的整数a、b、c、d使： a?b?c?d-a=① a?b?c?d-b=② a?b?c?d-c=③ a?b?c?d-d=④ 证明由①，a=. ∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数. 同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a必为偶数，与①式右端为奇数

数的整除特征(一)教案

数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。如312。新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。能被 2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。做练习题。例2．五位数2A10B能被72整除，这样的五位数有几个？解题思路：因为72=8×9，且8和9互质，这个数必须同时能被8和9整除。要能被8整除得看末三位，B必须是4；当个位是4时，千位上必须是2（因为2+2+1+0+4=9），所以符合条件的只有1个，即22104。解：要使2A10B能被72整除，B=4，因为2+2+1+0+4=9，所以A=2。

小学五年级数学教案：数的整除

小学五年级数学教案：数的整除 1、使学生理解自然数与整数的意义． 2、使学生掌握整除、约数与倍数的概念． 3、培养学生抽象概括与观察物的能力．教学过程一、建议自然数与整数的概念 1、谈话引入：今天这节课，我们学习数的整除．（板书课题） 2、教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？（教师板书：整数、小数、分数）同学们会数数吧？（学生数数）（教师板书：1、2、3、4、5、）继续数下去，能数到头吗？数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？（教师板书：） 2 / 7

3、教师小结：用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数．（板书：自然数）提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？当一个物体也没有时，我们用几来表示？（板书：0）二、建立整除的概念 1、教师明确：数的整除，不仅与数有关，还与除有关，一说到除，在家就会想到两个数相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是两个数相除，但是在小学阶段，我们研究整除不包括0． 2、出示卡片 1.24 提问：在数的整除中研究这样的两个数相除吗？为什么？ 3、再出示卡片：1020，165，153，369，242 提问：这几个式子中的被除数和除数都是什么数？教师明确：被除数和除数都是自然数，这是我们研究数的整除的一个非常重要的条件． 3 / 7

4、教师说明：被除数和除数都是自然数，如：1020，我们能不能说10能被20整除呢？还不能，还要看它的商．组织学生口算出5张卡片的商．（其中165指定回答商几余几）提问：被除数和除数都是自然数，商可能有哪几种情况？排除没有整除关系的卡片，指153=5一类的卡片，说明：只有这样的，我们才能说15能被3整除． 5、学生举例 6、提问：用字母a表示这样的被除数，用b表示这样的除数，商怎么样，我们就说a能被b整除呢？这样看来，整除除了被除数和除数都是自然数外，还得有一个什么条件？教师明确：商是自然数，没有余数是整除的又一个重要的条件． 7、出示卡片（区别整除和除尽） 43=1.3 1818=1 75=1.4 40.2=20 426=7 4 / 7

整数(整除)性问题

整数（整除）性问题【探究拓展】探究1：（1）已知二项式) 1 n x ，其中n ∈N ，且20123≤≤n ，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式．．．系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？解：连续三项的二项式系数分别为1-k n C 、k n C 、1+k n C （11-≤≤n k ），由题意 112+-+=k n k n k n C C C ，依组合数的定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ，故 2 9 8142,1+±+= k k n ，则 2)12(98+=+m k 2 22-+=?m m k ，代入整理得 2)1(21-+=m n ，222-=m n ，1936442=Θ，2025452=，故n 的取值为2442-， 2432-，…，232-，共42个（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）（2）已知)1 31 1(3 1+- =n T n ，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得 T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？解：∴31)1311(3 1<+- =n T n 1 3+= n n n T ∴1 3,411+= =m m T T m ，31n n T n =+ ∵n m T T T ,,1成等比数列．∴ 1211341)13( 2<+=+n n m m ，所以?? ? ??+∈2321,232-1m 又∵m 为正整数且2≥m ，∴2=m ，n ＝16，且1

整数与整除的基本性质一

第一讲整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+?,四位数1254可以写成41051021012 3+?+?+?,同样地用字母表示的两位数ab b a +?=10,三位数f e d def +?+?=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.1010 1211121a a a a a a a n n n n n n n ++?+?=----- 经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401 解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B 例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（） )A 26 )B 28 )C 36 )D 38 解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3， 227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排

数的整除参考教案

数的整除参考教案数的整除参考教案教学内容：数的整除复习(小学数学九年制义务教材第十册)．教学目标： 1．掌握自然数的分类和关系，沟通知识间的联系，形成网络．2．理解概念并能正确运用概念． 3．培养学生分析、判断、抽象概括的能力．教学重点：区别整除和除尽、互质和质数、分解质因数和求最大公约数、最小公倍数的不同．教学方法：边总结边练习(讲练结合)．教学过程：一、揭示课题，确定研究对象——自然数师：前面我们学习了数的'整除知识(板书：数的整除) 你知道的数有哪些我们研究数的整除时，这里的数是指什么数(板书：自然数) 二、研究自然数的分类 1．提问：自然数可以怎样分类？生：按照能否被2整除，可以把自然数分成奇数和偶数；按照约

数的个数，可以把自然数分成：1、质数和合数．(板书：奇数偶数 1 质数合数) 2．提问：你能说说什么叫奇数、偶数什么叫质数、合数质数和合数有什么关系 (板书：分解质因数质因数) 3．练习：判断对错 (1)自然数可以分成质数和合数．( ) (2)质数都是奇数，合数都是偶数．( ) (3)两个质数的乘积一定是奇数．( ) (4)把15分解质因数是3×5=15，3和5叫质因数．( ) 三、研究自然数的关系 (一)整除关系 1．提问：两个自然数之间会存在哪些关系( 板书：整除互质) 2．什么叫整除( 引出约数、倍数)(板书：约数倍数) 它和除尽有什么区别( 板书：除尽) 约数、倍数表示的是数吗( 板书：关系) 公约数、公倍数表示什么(板书：数)它们各有什么特点

(板书：最大公约数最小公倍数) 3．练习：下面说法是否正确？ (1)1.2÷4=3，1.2能整除4．( ) (2)6是倍数，3是约数．( ) (3)约数的个数有限，倍数的个数无限．( ) (二)互质关系 1．什么叫互质它和质数有什么区别考虑下面各组中什么样的两个数间存在互质关系 2．判断练习： (1)两个数互质，这两个数一定是质数．( ) (2)两个质数一定互质．( ) (3)两个奇数一定不互质．( ) (4)两个偶数一定不互质．( ) (5)奇数和偶数一定不互质．( ) (三)既不互质，又不整除的关系 1．出示一组数：根据自然数间的关系，将下列一组数分类 (1)13和26 (2)2和7 (3)4和21 (4)45和3 (5)8和5 (6)14和42 (7)12和15 (8)9和10 (9)30和48 (10)12、18和24 整除关系??????互质关系 (1)13和26 (2)2和7 (7)12和15

数的整除性讲解(一)(通用)

第4讲数的整除性（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

数的整除教案

数的整除一教学目标 1、通过对数的整除的整理与复习，使同学们进一步理解、掌握数的整除的有关概念，并能做出明确的判断与区分，进一步完善知识间的联系，形成知识网络，培养学生抽象概括与观察事物的能力. 2、通过师生互动，自主探究等方法，掌握知识的特点，合理解决问题 3、培养学生严肃认真的学习态度，养成良好的学习习惯。二教学重点通过对主要概念进行整理和复习，深化理解形成知识网络。三教学难点弄清概念间的联系与区别理解易混淆的概念四教学步骤（一）创设情境引入课题师：同学们，我们从相识到相知已有半年多的时间老师已经深深喜欢上了你们，再有一个月的时间，我们就要分别,各自踏上理想中学的大门, 再像今天这样聚在一起 ,很不容易了, 所以我们要珍惜今天的美好时光，那么你们今天课上打算怎样做呢？用上“认真和积极”两个词语，如果老师再出2个数“3和12”,你能用3和12说几句话么？生：3能整除12，12能被3整除 , 12是3的倍数……. 师：刚才同学们运用了什么知识为3和12造句呢?刚才提到的这些知识实际上属于整除这部分知识，这些知识之间有怎么样的联系呢？今天我们就来复习数的整除（板书课题）（二）整理知识形成网络 1、整除与除尽师：看到题目,你认为数的整除与什么有关? 下面就有三个除法算式（1） 4 ÷ 8＝ 0.5 （2） 12÷ 3＝ 4 （3）2÷ 0.1＝ 20 （4）3.2 ÷ 0.8＝ 4 你认为哪个算式是整除？什么是整除? 师：根据概念,你怎样判断一个算式是否能整除?(出示幻灯片:先出示三要素,再出示整除三要素几个字被除数是整数，除数是不为0的整数，商是整数而没有余数。）,你能再举出几个整除的例子吗? 12÷3=4 是整除, 那么那几个算式是什么呢？（除尽）什么样的式子是除尽？师：根据刚才的分析,你认为在这四个算式中,除尽的有几个?整除的有几个?出示图小结:整除一定是除尽,但除尽不一定是整除 2、因数倍数 ⑴师：如果12能被3整除,那么12和3之间还有什么关系? 板书因数倍数 ⑵说一说什么叫因数 ? 倍数? ⑶出示判断：18÷2=9 所以18是倍数,2是因数（） 1.2÷2=0.6 所以1.2是2的倍数 2是1.2的因数（） ⑷通过上面的练习，你得到什么结论？生： 1、因数与倍数是相互依存的2、因数与倍数必须以整除为前提 ⑸任何一个非0自然数都能找出它所含的因数，我们知道2是18的因数,你能找出18的其他因数吗??动笔写订正后问:怎样快速找准一个数的因数呢？（从1开始，一对一地找，不会漏掉或重复因数）幻灯片出示写的过程.

竞赛讲座 02整数的整除性

竞赛讲座02 －整数的整除性 1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。（2）性质 1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2）若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3）若b|a，c|b，则c|a 4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而 11｜11(3x-2y+3z), 且 11｜(7x+2y-5z), ∴ 11｜4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z). 2.整除性问题的证明方法

(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。（2）利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数.

(初中数学)数的整除性精选题练习及答案

（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明． ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题) 【例3】已知整数13456 ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456 求出a，b的值．【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？

数的整除教学设计

《数的整除》总复习公开课教案执教：卢河小学朱孔玲教学内容：教科书第130页第1——6题。教学目标： 1、弄清概念之间的联系、区别，使知识进一步系统化。 2、培养学生分析比较、抽象概括和判断能力。 3、通过合作交流等学习方式，培养学生的学习能力。教学过程：一、导入新课今天这节课我们复习《数的整除》的有关知识。板书课题：数的整除（复习）学生齐读课题。师：学习了数的整除这一单元的知识，你有什么体会或想法？（概念很多，容易混淆）你认为我们复习这部分内容的关键是什么呢？（弄清概念之间的联系与区别）二、梳理知识 1、回忆一下，在这一单元我们主要学习了哪些知识？学生回答后，投影出示概念、知识点。 2、确实概念很多，为了弄清这些知识之间的联系和区别，请大家根据下面的问题，分组思考、讨论，理清知识联系。（1）约数和倍数是在什么情况下产生的？它们之间是什么关系？（2）一个数倍数的个数有多少？两个、三个数的公倍数、最小公倍数如何确定？（3）一个数约数的个数有多少？两个数的公约数、最大公约数如何确定？（4）能被2、5、3整除的数的特征各是什么？（5）偶数和奇数是怎样产生的？质数和合数又是怎样区分的？（6）把一个合数分解质因数的表达形式是什么？（7）质数、质因数、互质数之间的区别是什么？构成互质数的两个数有几种情况？ 3、小组讨论。 4、全班交流。 5、完善知识结构。在这一单元里，我们首先学习了哪个概念？（整除）这是为什么呢？（短暂交流）明确因为其他概念都是在整除的基础上得到。的。举例说说看例如：由整除的概念得到约数和倍数，由约数得到公约数、最大公约数。师：说得真好！看来这些概念之间都是有联系的。你能画一张图，表示出概念与概念之间得联系吗？如果有困难可以向老师求助。教师巡视后展示部分学生画的图，并让学生说说是怎样想的。

能被2,5整除的数(参考教案二)

能被 2 ， 5 整除的数（参考教案二）教学目标 (一)掌握能被2，5整除的数的特征。 (二)理解并掌握奇数和偶数的概念。 (三)能运用这些特征进行判断。 (四)培养学生的概括能力。教学重点和难点 (一)能被2，5整除的数的特征。 (二)奇数和偶数的概念，0也是偶数。教学用具投影片。教学过程设计 (一)复习准备 1.提问。 ①说出20的全部约数。 ②说出5个8的倍数。 ③26的最小约数是几?最大约数是几?最小的倍数是几?2.板书。按要求在集合圈里填上数。教师：在计算中，经常需要先判断一个数能否被另一个数整除。如果掌握了数的一些特征，就可以帮助我们进行判断。今天我们就学习最常见的，能被2，5整除的数的特

征。板书课题。 (二)学习新课 1.能被2整除数的特征。 (1)教师：(指板书练习2)右边集合圈里的数与左边圈里的数是什么关系? 教师：请观察右边圈里的数、它们的个位数有什么特点?(个位上是0，2，4，6，8。) 教师：请再举出几个2的倍数，看看符不符合这个特点? 学生随口举例。教师：谁能说一说能被2整除的数的特征? 学生口答后老师板书：个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除。 (2)口答练习(投影片) 请把下面的数按要求填在圈内： 1，3，4，11，14，20，23，24，28，31，401，826，740，1000，6431。学生口答完后，老师介绍：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。(奇读j9)板书，上面两个集合圈上补写出“偶数”，“奇数”。教师：上面两个集合圈里该不该打省略号?为什么?

学生讨论后老师说明：在本题所列的有限个数里的奇数、偶数都是有限的，但是自然数是无限的，奇数、偶数也是无限的，所以集合圈里要写上省略号。教师：奇数、偶数在我们日常生活中遇到过吗?习惯上称它们为什么数?(单数、双数。) 教师板书：0÷2=0。问：0算不算偶数?请说一说是怎样想的。学生讨论后老师总结：商是0，0是整数，说明0也能被2整除，所以0也算偶数。 (3)练习：(先分小组小说，再全班统一回答。) ①说出5个能被2整除的两位数。 ②说出3个不能被2整除的三位数。 ③说出15～35以内的偶数。 ④50以内的偶数有多少个?奇数有多少个? 2.能被5整除的数的特征。 (1)教师先在黑板上画出两个集合圈，然后提出要求：你们能不能用与研究能被2整除的数的特征相同的方法，找出能被5整除的数的特征? 学生自己动手填数、观察、讨论。老师巡视过程中选一位同学板书填空。教师：说一说能被5整除的数的特征?

人教版初中数学《整数的整除性》竞赛专题复习含答案

人教版初中数学《整数的整除性》竞赛专题复习含答案 §19．1整除 19.1.1★证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．解析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为21n -、21n +、23n +（其中n 是整数），于是 () ()()()2 2 2 22121231121n n n n n -+++++=++．所以 ()()()222 12|212123n n n ??-++++?? ．又()2111n n n n ++=++，而n 、1n +是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以()1n n +是偶数，从而21n n ++是奇数，故 ()()()22224212123n n n ??-++++?? ?． 19．1．2★★若x 、y 为整数，且23x y +，95x y +之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．解析设23u x y =+，95x y =+．若17|u ，从上面两式中消去y ，得 3517v u x -=． ① 所以 17|3v ．因为（17，3）=1，所以17|v 即17|95x y +．若17|v ，同样从①式可知17|5u ．因为（17，5）=1，所以17|u ，即17|23x y +． 19.1.3★★设n 是奇数，求证： 60|6321n n n ---．解析因为260235=??，22、3、5是两两互质的，所以只需证明22、3、5能整除6321n n n ---即可．由于n 是奇数，有 22|62n n -，22|31n +，所以22|6231n n n ---；又有3|63n n -，3|21n +，所以3|6321n n n ---；又有5|61n -，5|32n n +，所以5|6321n n n ---．所以60|6321n n n ---．评注我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k 表示，奇数常用21k +表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a 被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k 、31k +、32k +这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理． 19．1．4★★设n 为任意奇正整数，证明：15961000270320n n n n +--能被2006整除．解析因为200621759=??，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除．应用公式，n 为奇数时， ()()121n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++， ()()121n n n n n a b a b a a b b ----=-++ +. 由于159610005944+=?，2703205910+=?，所以15961000270320n n n n +--能被59整除. 又159627013261778-==?，10003206801740-==?，所以15961000270320n n n n +--能被17整除．

数的整除性规律

数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5 整除【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和9整除时，这个数便能被3或9整除。例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。

六年级数学下册数的整除教案人教版

1 / 4 数的整除教学目标: 1.使同学们理解自然数与整数的意义，掌握整除、约数与倍数的概念。 2.通过复习，让同学们掌握抓重点内容进行复习的方法，最好能根据知识间的联系建立知识网络。 3.培养同学们抽象概括与观察物的能力。教学过程: 一、自然数与整数 1.引入：今天这节课，我们学习数的整除。（板书课题） 2.教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？（教师板书：整数、小数、分数）同学们会数数吧？（学生数数）（教师板书：1、2、3、4、5、）继续数下去，能数到头吗？数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？（教师板书：“??”） 3.小结：用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数。（板书：自然数）提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？

当一个物体也没有时，我们用几来表示？（板书：0） 2 / 4 二、整除的概念 1.教师明确：数的整除，不仅与数有关，还与除有关，一说到除，在家就会想到两个数相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是两个数相除，但是在小学阶段，我们研究整除不包括“0”。 2.出示1.2÷4 提问：在数的整除中研究这样的两个数相除吗？为什么？ 3.再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2 提问：这几个式子中的被除数和除数都是什么数？教师明确：被除数和除数都是自然数，这是我们研究数的整除的一个非常重要的条件。 4.教师说明：被除数和除数都是自然数，如：10÷20，我们能不能说10能被20整除呢？还不能，还要看它的商。组织学生口算出5张卡片的商。（其中16÷5指定回答“商几余几”）提问：被除数和除数都是自然数，商可能有哪几种情况？排除没有整除关系的卡片，指15÷3=5一类的卡片，说明：只有这样的，我们才能说15能被3整除。 5.学生举例。 6.提问：用字母a表示这样的被除数，用b表示这样的除数，商怎么样，我们就说a能被b整除呢？这样看来，整除除了被除数

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。 ①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除； ②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； ③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。【推理过程】： 2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。

2019数的整除性讲解(一)

2019数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。（8x99因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。