2016年专项练习题集-向量加减法的应用
2016年专项练习题集-向量加减法的应用 选择题：
1．已知直线AB 上一点M 满足20AM MB += ，P 是平面内一点，则PM
等于( )
A ．2PA P
B -
B ．2PA PB -+
C.2133
PA PB -
D ．1233
PA PB -+
【分值】5 【答案】A
【易错点】本题中容易忽视向量的方向，如有的学生可能把M A B 、、三点的排列顺序弄错.
【考查方向】本题主要考查了向量加减法运算、考查学生对向量有关概念的认识,向量的加减法运算在近几年的各省高考题出现的频率较高，常常采用三角形法则或平行四边形法则.
【解题思路】本题是要用向量PA 、PB
来表示向量PM ，关键是用向量加法、减法的三角形法则，将向量PM 放到一个三角形中，用有关向量来表示，逐步向PA 、PB
上靠拢.
【解析】由20AM MB += 得：22MB AM MA =-=
,因此A 为线段MB 的中点，则
MA AB =
.由向量加法、减法的三角形法则得
()2PM PA AM PA BA PA PA PB PA PB =+=+=+-=-
.故选A.
2．若P 为ABC 所在平面内一点，则下列说法中错误的是（ ）
A ．若0PA P
B P
C ++=?
P 为ABC 的重心； B ．PA PB PB PC PC PA ??综
P 为ABC 的垂心；
C.向量()(0)||||
AC AB
AB AC l l +?
所在直线过ABC 的内心； D.2220P A P B P C ===
?P 为ABC 的内心；
【分值】5 【答案】D
【考查方向】向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查. 【易错点】部分同学可能不知道三角形四个心得定义，四心乱用，另外在处理四个选项关系式时不知道结合加减法得集合意义.
【解题思路】三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上，三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上，在选项A 的解题的过程中需要将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识结合; 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上, 在选项B 的解题的过程中需要三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识结合; 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上,在选项C 中需要将向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等迁移到一起，就可迎刃而解; 三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上,对于选项D 需要将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识结合. 【解析】
对于选项A ：以PB PC 、为边做平行四边形PBDC ,并设其两对角线PD 与BC 交点
为E ，则2PB PC PD PE +== ,而由0PA PB PC ++= 得PB PC PA +=-
，所以
2PA PE -=
，可得A P D 、、三点共线,且P 三等分AE ,同理可证其它两边,故P 是
A
C
B
E
D F
G ABC 的重心.
对于选项B ：由PA PB PB PC ?? 得PA PB PB PC PB PA PC ???
（
）0PB AC =? ,所以PB AC ^ ，同理可得PA BC ^ ，PC AB ^
,因此P 为ABC 的垂
心.
对于选项C ：因为AB
AB
是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为
1e 和2e ， 又OP OA AP -= ，则原式可化为()
12AP e e =l +
，由菱形的基本性质知AP
平分BAC D，那么在ABC 中，AP 平分BAC D
对于选项D ：2220PA PB PC === 得||||||PA PB PC ==
，由向量模的定义知点P 到ABC 的三顶点距离相等.故P 是ABC 的外心
3.如图，ABC 中，点D 、E 分别是AC 、BD 的中点，过点E 作直线分别交AB 、BC 于
点F 、G ，若1BF BA =λ ，2BG BC =λ
则下列结论成立的有（ ）
A.12λ+λ为定值
B.12
11+λλ为定值 C.12λλ为定值
D.
1
2
λλ为定值 【分值】5 【答案】B
【考查方向】本题主要考查了平面向量的基本定理以及共线定理的应用，考查了学生对基本概念的理解及观察问题、分析问题的能力.
【易错点】本题容易忽略E 、F 、G 三点共线问题，这是最明显的已知条件，可是学生最
容易忽视的问题，所以可设FE FG =λ .
【解题思路】
(1)解题的关键在于能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【解析】
由题意得：设FE FG =λ
，则： 12BE BF FE BF FG BF (BG BF)(1)BF BG (1)BA BC =+=+λ=+λ-=-λ+λ=-λλ+λλ 而1111BE BD (BA BC)BA BC 2444
==+=+
所以121(1)414?
-λλ=????λλ=??
，消去λ化简得12114+=λλ，故选B.
4．C 为直线AB 上一点，P 为直线AB 外一点，a PA ?=， PB b ?
=，，则下列等式中一定
不成立的是( )
A ．2＝－ PC b a
B ．2＝+ P
C a b
C ．3a b PC=22 -
D ．3b a PC=44
+
【分值】5 【答案】B
【考查方向】本题考查用两个不共线向量作为基底来表示其它向量，考查了平面向量基本定理的应用，常用到三角形法则.
【易错点】在处理向量AC 与CB
时，不注意发现利用共线这一已知条件，不会相互转化.
【解题思路】由选项可以看出本题是想用 PA ，
PB 作为基底来表示向量 PC ，把向量 PC 放到三角形PBC 中,用到PB 和向量BC ，而向量BC 可以用向量BA
来表示，可设为λ倍，
而向量BA 可以在三角形PAB 中来表示，从而用 PA 与
PB 表示出 PC .
【解析】
因为BC 与向量BA
共线，所以可设BC BA =l ()
(1) PC PB BC PB BA PB PA PB PB PA =+=+=+-=-+l l l l ，
所以可观察得 PB 、
PA 的系数和一定为1，所以系数和不为1的不正确，故选B.
5.在三角形ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD = DB ，13
CD CA CB l =+
，则
l 等于( )
A.
23 B.13
C ．13-
D ．23
-
【分值】5 【答案】A
【考查方向】本题考查平面向量基本定理的应用，实质是考查向量的加减法几何运算法则的应用，这类题近几年在高考中出现的频率比较大，考查学生对基础知识的掌握能力.
【易错点】个别同学可能在处理13
CD CA CB l =+
式子时只注意代数化简，不注意几何意
义，对式子乱作处理，最后得不出l 的值等于多少.
【解题思路】由已知条件13CD CA CB l =+ 可以看出要用13
CA 与 CB l 来表示向量 CD ，
它们都有共同的起点C ，所以可联想到向量加法的平行四边形法则，进而构造平行四边形
得到13
CA 与 CB l .当然，本题也可以采用三角形法则来解.
【解析】
法一：如图所示，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，分别交BC ，AC 于点F ，E ，
CD CE CF \=+ .
2AD DB = ，13CE CA \= ，23CF CB = ，故1233CD CA CB == ，
23
l \= 法二：1112()3333\=+=+=+-=+ CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB 2
3
l \=
填空题：
6．在平行四边形ABCD 中，1DE DB 3
，直线AE 交CD 于F , AB AD AF +=l ，则l
＝ 【分值】5 【答案】
13
【考查方向】本题是对向量加法的平行四边形法则及共线向量定理的考查，属于对学生基本知识掌握的测试.
【易错点】本题属于基础题，个别同学可能不知F 点把CD 分成的两部分长度的比值.
【解题思路】题中既然出现了了平行四边形及+
AB AD ，那么应该很自然的往向量加法的
几何运算法则上去想，同时注意到三角形DEF 与三角形ABE 相似，相似比为1：3，这样
得到1DF AB 3
=
,再用 AB 与 AD 表示出来即可得出.
【解析】
由向量加法的三角形法则，得
AF AD DF =+. 又1DE DB 3= 且三角形DEF 与三角形ABE 相似，所以1DF AB 3
= ，，
13 AF AD DF AD AB =+=+13
\=l .
7．P 是三角形ABC 内的一点，()
13
AP AB AC =+
，则三角形ABC 的面积与三角形A BP 的面积之比为
【分值】5 【答案】3
【考查方向】本题将向量的加减法运算与三角形的有关性质结合，体现向量在解决三角形有关问题的应用，属于中等难度的题目.
【易错点】个别同学对()
13
AP AB AC =+
不知道怎么处理，另外由0++= PB PC PA 不知道可以得到P 是三角形ABC 的重心.
【解题思路】由()
13
AP AB AC =+
化简可得0PB PC PA ++= ，从而得到P 是三角形ABC 的重心，从而计算两个三角形得面积，同底，高成比例，得到它们得面积得比值.
【解析】
由()
13
AP AB AC =+
，得3AP AB AC =+ ， ()()
0+-+-= AP AP AB AP AC .
所以0PB PC PA ++=
，P 是三角形ABC 的重心． 所以三角形ABC 的面积与三角形A BP 的面积之比为3.
B
D
A
E
F
B D
A
E F 8.如图，在平行四边行ABCD 中，120＝ABC 邪
，A D的平分线交BD 于点D ，交BC 于点F ,若4AB =，且()14 AE AD AB R =+?l l ，则EF
AE
为
【分值】5 【答案】【考查方向】本题考查了平面向量基本定理的应用、向
量加法的平行四边形法则以及解三角形的有关知识，是高考的热点问题，体现学生对定理的理解与应用的考查.
【易错点】部分同学不能利用()14
AE AD AB R =+?l l 求得l 的值，或者是不知道该
结论而多花了好多时间才得到其值;另外，对三角形A BF 的形状认识不够，不能得其为等腰三角形.
【解题思路】由B ，D ，E 共线可得l 的值，要表示
AE 可利用平行四边形法则做以AE
为对角线的平行四边形，而AE 为A D的平分线，可得四边形AMEN 为菱形，进而解得AE 得长，而三角形A BF 为等腰三角形，可得AF 的长，进而解得EF 的长. 【解析】
因为B ，D ，E 三点共线，所以有
114+=l ，解得3
4l =，如图，过点E 分别作AD ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则14 AN AD =，34AM AB = ，
又因为120＝ABC 邪 则60＝BAD 邪
且AE 为A D的平分线，所以四边形AMEN 为菱形 经计算得3AN
AM ==，AE =易得三角形A BF 为等腰三角形，又120
＝ABC 邪
，所以
AF =EF 所以
13
EF AE =. 综合题：
9．在平行四边形ABCD 中，3 AN NC =， BM MC =设1e AB =，2e AD =，试用1e
，2e 表示 MN .
【分值】6
M
N
【答案】121143
MN e e =-+
【易错点】求解
MN 时，部分同学可能不能转化到基底上，部分同学在转化过程中加法或
减法用错.
【考查方向】本题主要考查用基底来表示平面内的向量，综合考查学生灵活正确使用向量的加法、减法进行运算的能力.
【解题思路】在表示
MN 时要从其所在的三角形出发，利用向量加减运算的三角形法则逐
步逼近所给的基底. 【解析】
21212
1124
11()24
1143
MN MC CN
AD AC e e e e e =+=-=-+=-+ 10．设两个非零向量1 e 和2
e 不共线．
(1)如果12AB 2e 3e =-，12BC e e =+，12CD 3e 7e
=-，求证：A 、B 、D 三点共
线；
(2)如果12AB 2e 3e =-，12BC e 3e =-，12CD 2e e
=-l ，且A 、B 、D 三点共线，
求l 的值． 【分值】6
【答案】(1)证明见解析(2)32
l =
. 【考查方向】本题主要考查向量共线在证明几何问题中的应用，证明向量共线需要用共线向量定理，而要用基底表示出来所需向量这就需要进行向量的加法、减法运算，所以实质还是对向量加减法运算的考查，这是学习向量的基础.
【易错点】不会利用向量共线证明三点共线，部分同学可能停留在直线与方程中利用直线斜率相等证明三点共线，与此处的向量结合不到一块.
【解题思路】对于第一问要证A 、B 、D 三点共线，需要利用向量共线，比如说可以利用AB
与AD 共线，这样需要利用向量的加法表示AD
;第二问与第一问是已知与结论的互换，所
采用的方法应该是一样的，利用共线列方程得到参数的值. 【解析】
(1)证明：12AB 2e 3e =-，12BC e e =+，12CD 3e 7e
=-，
121212AD AB BC CD (3e 2e )3e 7e 6e 9e \=++=-+-=-， AD 3AB \= AD \与AB
共线．
又AD 与AB
有公共点A ， A \、B 、D 三点共线． (2)12AD AB BC CD 5e (6)e \=++=-+l ， A 、B 、D 三点共线， AB \与AD 共线，从而存在实数k 使得AB kAD =，
即12122e 3e k[5e (6)e ] -=-+l ， 得25k 3k(6)
ì=?í-=-+l ?? 解得32l =，2
k 5
=.