新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)(Word

新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合M={0，1}，则满足M∪N={0，1，2}的集合N的个数是（）

A．2B．3C．4D．8

2．（5分）若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）

A．B．C．D．2

3．（5分）在平面直角坐标平面上，，且与在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为（）

A．B．C．D．

4．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，则f （x）的表达式是（）

A．c os（x+）B．﹣cos（x﹣）C．﹣cos（x+）D．cos（x﹣）6．（5分）在如图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是（）

A．2B．4C．128 D．0

7．（5分）由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是（）

A．2ln2 B．2ln2﹣1 C．ln2 D．

8．（5分）若函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，没有极大值，则实数a的取值范围是（）

A．（0，3）B．（﹣∞，3）C．（0，+∞）D．（0，）

9．（5分）在△ABC中，若，，依次成等差数列，则（）

A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列

C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列

10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）

A．4B．C．2D．

11．（5分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，

1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ为实数），则λ﹣μ的最大值为（）

A．4B．3C．﹣1 D．﹣2

12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，

则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）

A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=；

a1+a2+a3+…+a7=．

14．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是．

15．（5分）用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为．

16．（5分）已知S n是数列{a n}前项和，且a n＞0，对?n∈N*，总有S n=（a n+），则a n=．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（ω＞0）相邻两个对称轴之间的距离是号，且满足，f（）=．

（I）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=sinC，a=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

18．（12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得

分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x﹣2），x﹣y），记ξ=||2．

（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，

∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．

（1）求PA的长；

（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

20．（12分）已知为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．

（I）求抛物线方程和N点坐标；

（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

四、选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（10分）已知曲线C1：，（α为参数），C2：，（θ为参数）

（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为α=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．

23．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．

（Ⅰ）若a=1，求A；

（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．

新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合M={0，1}，则满足M∪N={0，1，2}的集合N的个数是（）

A．2B．3C．4D．8

考点：子集与真子集．

专题：计算题．

分析：由M与N的并集得到集合M和集合N都是并集的子集，又根据集合M的元素得到元素2一定属于集合N，找出两并集的子集中含有元素2的集合的个数即可．

解答：解：由M∪N={0，1，2}，

得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，

又M={0，1}，所以元素2∈N，

则集合N可以为{2}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}，共4个．

故选C

点评：此题考查了并集的意义，以及子集和真子集．要求学生掌握并集的意义，即属于M 或属于N的元素组成的集合为M和N的并集，由集合M得到元素2一定属于集合N是本题的突破点．

2．（5分）若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）

A．B．C．D．2

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：计算题．

分析：利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．

解答：解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i，

∴|z|==，

故选B．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．

3．（5分）在平面直角坐标平面上，，且与在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为（）

A．B．C．D．

考点：向量在几何中的应用；平面向量的坐标运算；直线的斜率．

专题：计算题．

分析：根据直线的方向向量公式，可设线l的方向向量为，根据与在直线l上的射影长度相等，得，将其转化为关于k的方程，可以求出斜率k 的值．

解答：解：设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，

再设、与的夹角分别为θ1、θ2，

则，

因为与在直线l上的射影长度相等

所以，即|1+4k|=|﹣3+k|

解之得，

点评：本题考查了平面向量的坐标运算和直线的斜率等知识，属于中档题．深刻理解平面向量的计算公式，将其准确用到解析几何当中，是解决本题的关键．

4．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的性质．

专题：简易逻辑；立体几何．

分析：通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可．

解答：解：由题意可知α⊥β，b⊥m?a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图，

显然平面α与平面β不垂直．所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．

故选A．

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力与作图能力．

5．（5分）若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，则f （x）的表达式是（）

A．c os（x+）B．﹣cos（x﹣）C．﹣cos（x+）D．cos（x﹣）

考点：正弦函数的对称性．

专题：解题思想．

分析：根据若函数y=f（x）的图象和y=g（x）的图象关于点P（a，b）对称，则有

f（a+x）+g（a﹣x）=2b；即f（x）+g（2a﹣x）=2b；从而f（x）=2b﹣g（2a﹣x）．

然后将a=，b=0代入即可求出函数f（x）的解析式．

解答：解：若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，

则f（x）=0﹣sin（﹣x﹣）=﹣cos（x+）．

故选：C．

点评：本题主要考查已知对称性求函数表达式的问题．只要记住根据对称性求函数解析式的方法代入即可得到答案．

6．（5分）在如图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是（）

A．2B．4C．128 D．0

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：分析程序中各变量，各语句的作用，再据流程图所示的顺序，判定出该程序的作用，即可求得答案．

解答：解：分析程序中各变量，各语句的作用，再据流程图所示的顺序，可知，

该程序的作用是由题设知，是辗转相除法求最大公约数，

而（138，22）=2

故选A

点评：据流程图写运算的结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．

7．（5分）由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是（）

A．2ln2 B．2ln2﹣1 C．ln2 D．

考点：定积分．

专题：导数的综合应用．

分析：利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，计算即可．

解答：解：由题意，直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影

部分，

面积为=lny=ln2﹣ln=2ln2；

故选A．

点评：本题考查定积分的运用，利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题．

8．（5分）若函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，没有极大值，则实数a的取值范围是（）

A．（0，3）B．（﹣∞，3）C．（0，+∞）D．（0，）

考点：利用导数研究函数的极值．

专题：导数的概念及应用．

分析：由函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．

解答：解：对于函数y=x3﹣2ax+a，求导可得y′=3x2﹣2a，

∵函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，

∴y′=3x2﹣2a=0，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2﹣2a=0两根为±，

若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜；

a=0时，3x2﹣3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．

a＜0时，3x2﹣3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，

综合可得，0＜a＜，

故选：D．

点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．

9．（5分）在△ABC中，若，，依次成等差数列，则（）

A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列

C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列

考点：等差数列的性质．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：先根据等差数列的性质写出关系式，再将余切化为余弦与正弦的比值，进而根据两角和与差的正弦公式化简，最后根据正余弦定理将角的关系式转化为边的关系即可得解．

解答：解：∵，，依次成等差数列，

∴+=，

∴2cosBsinAsinC=cosAsinBsinC+cosCsinAsinB．

∴由正弦定理，得

2accosB=bccosA+abcosC=b（ccosA+acosC），

由射影定理，得2accosB=b2，

由余弦定理，得a2+c2=2b2．

故选：C．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理的应用．属基础题．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双

曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）

A．4B．C．2D．

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题．

分析：设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面

积公式，代入已知式，化简可得|PF1|﹣|PF2|=，

再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答：解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，

则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，

∴，

，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．

∵

∴=+

两边约去得：|PF1|=|PF2|+

∴|PF1|﹣|PF2|=

根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，=c

∴2a=c?离心率为e=

故选C

点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．

11．（5分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，

1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ为实数），则λ﹣μ的最大值为（）

A．4B．3C．﹣1 D．﹣2

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：根据向量线性运算的坐标公式，得到，由此代入题中的不等式组，可得关于λ、μ的不等式组．作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ∈R），

∴P（x，y）满足，代入不等式组组，

得，

设λ=x，μ=y，则不等式等价为，

作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），

设z=λ﹣μ=x﹣y，

即y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，

则当直线y=x﹣z经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，

由，解得，即B（3，﹣1），

此时z=x﹣y=3﹣（﹣1）=3+1=4，

即λ﹣μ的最大值为4，

故选：A．

点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，将条件转换为关于λ、μ的不等式组是解决本题的关键．

12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，

则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）

A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a

考点：函数的零点．

专题：计算题；压轴题．

分析：函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．

解答：解：当﹣1≤x＜0时?1≥﹣x＞0，x≤﹣1?﹣x≥1，又f（x）为奇函数

∴x＜0时，画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，

如图

共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则

?log2（1﹣x3）=a?x3=1﹣2a，

可得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a，

故选D．

点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=1；

a1+a2+a3+…+a7=1．

考点：二项式定理．

专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于4，求出r的值，根据x4的系数是﹣35，即可求得m的值．求出a0的值，再把x=1和m=1代入二项式及其展开式，可得

a1+a2+a3+…+a7的值．

解答：解：二项展开式的通项为T r+1=x7﹣r（﹣m）r，令7﹣r=4，可得r=3．

故（﹣m）3=﹣35，解得m=1．

故常数项为（﹣1）7=﹣1=a0，

∴（1﹣1）7=a0+a1+a2+…+a7=0，

∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1，

故答案为1；1．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

14．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是．

考点：几何概型．

分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC 上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．

解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，

∵，

∴，

得：，

由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，

点P到BC的距离等于A到BC的距离的．

∴S△PBC=S△ABC．

将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==

故答案为：

点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．

15．（5分）用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托

底面的距离为．

考点：点、线、面间的距离计算．

专题：空间位置关系与距离．

分析：画出图形，判断蛋槽的底面三角形的形状，求出蛋槽的高，判断球心与蛋槽的上底面三棱锥的形状，然后求出棱锥的高即可．

解答：解：由题意可知折叠后的蛋槽的上顶点在底面的射影如图中红线三角形，

蛋槽的底面是正三角形边长为2，∴蛋槽的高为，

且折起三个小三角形顶点构成边长为1的等边三角形A′B′C′，

O﹣A′B′C′是列出为1的正四面体，

∴球心到面A′B′C′的距离，

∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为．

故答案为：．

点评：本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，点到平面距离的求法，考查计算能力．16．（5分）已知S n是数列{a n}前项和，且a n＞0，对?n∈N*，总有S n=（a n+），则

a n=．

考点：数列递推式；数列的求和．

专题：点列、递归数列与数学归纳法．

分析：根据数列的递推关系，求出数列{a n}的前几项，即可得到结论．

解答：解：∵a n＞0，对?n∈N*，总有S n=（a n+），

∴2S n=a n+，

当n=1时，a1=（a1+），即a1=，

∵a n＞0，∴a1=1，

当n=2时，2（1+a2）=a2+，

即2+a2﹣=0，

即（a2）2+2a2﹣1=0，

则a2=，

∵a n＞0，∴a2=．

当n=3时，2（1++a3）=a3+，

即（a3）2+2a3﹣1=0，

则a3==，

∵a n＞0，∴a3=．

则由归纳推理可得a n=，

故答案为：

点评：本题主要考查数列通项公式的求解．根据数列的递推关系，结合归纳推理是解决本题的关键．

（I）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=sinC，a=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法．

专题：解三角形．

分析：（Ⅰ）根据题意求得函数的最小周期，进而利用周期公式求得ω，根据f（）=

求得A，进而可得函数f（x）的解析式，进而利用三角函数的性质求得其单调递减区间．（Ⅱ）利用正弦定理把已知等式的角转化成边，进而求得sin（2A﹣），进而求得A，最

后利用余弦定理求得b和c，利用面积公式求得三角形面积．

解答：解：（Ⅰ）由题意知周期T=π，

∴ω==2，

∵，

∴A=2，

∴，

∵时，函数单调减，

即时，函数单调减，

所以f（x）的单调递减区间为．

（Ⅱ）∵sinB=sinC，

∴由正弦定理知，

∵，

∴，

∵，

∴，

因为△ABC为钝角三角形，所以舍去，故，

∵a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴，

∴，．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角函数图象和性质．考查了基础知识综合运用．

分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x﹣2），x﹣y），记ξ=||2．

（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

专题：概率与统计．

分析：（Ⅰ）x，y可能的取值为1、2、3，仅有x=1，y=3或x=3，y=1时随机变量ξ的最大值为5，可得符合题意的基本事件有2个，而总的基本事有件3×3=9种，由古典概型可得概率；

（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5，同（1）的求法分别可求得概率，列表可得分布列，由期望的定义可得期望值．

解答：解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x﹣2|≤1，|y﹣x|≤2，

∴ξ=（x﹣2）2+（x﹣y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，

因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，

∴P（ξ=5）=；

（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5

∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，

ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，

ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，

∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，

故随机变量ξ的分布列为：

ξ0 1 2 5

因此数学期望Eξ==2

点评：本题考查离散型随机变量及分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，

∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．

（1）求PA的长；

（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．

分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，

从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；

（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）

分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结

合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．

解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O

∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD

以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．

又∵OD=CDsin=，

∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）

由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）

∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），

∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，

∴?=6﹣=0，解之得z=2（舍负）

因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；

（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），

设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵?=0且?=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），

同理，由?=0且?=0，解出=（3，﹣，2），

∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞

===

因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=

点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．

20．（12分）已知为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．

（I）求抛物线方程和N点坐标；

（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．

专题：综合题；压轴题．

分析：（Ⅰ）由题意知：p=1，x0=2，y02=4，y0＞0，得y0=2，由此能求出抛物线方程和N点坐标．

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+b（t∈R），联立方程得y2﹣2ty﹣2b=0，设两个交点，由

，得b=2t+3，由此能求出当t=

﹣2时S有最小值为，此时直线l'的方程为x+2y+1=0．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

∴p=1，

所以抛物线方程为y2=2x．

，

x0=2，y02=4，

∵y0＞0，

∴y0=2，

∴N（2，2）．（4分）

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，

设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）

联立方程得y2﹣2ty﹣2b=0，

设两个交点（y1≠±2，y2≠±2）

∴，…（6分）

，

整理得b=2t+3…（8分）

此时△=4（t2+4t+6）＞0恒成立，

由此直线l的方程可化为x﹣3=t（y+2），

从而直线l过定点E（3，﹣2）…（9分）

因为M（2，﹣2），

所以M、E所在直线平行x轴

三角形MAB面积=，…（11分）

所以当t=﹣2时S有最小值为，

此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．

专题：导数的综合应用．

分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；

（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．