第1节 向量的内积和正交矩阵

第五章相似矩阵

§1 向量的内积和正交矩阵

§2 方阵的特征值与特征向量、相似矩阵§3 方阵的对角化

§1向量的内积和正交矩阵

2

(,)(,)(,)(,)

X X X X X X X X λλλλλλλ===定义5.1.2:令称|| X || 为n 维向量X 的长度(或模).当|| X || = 1时,称X 为单位向量.向量的长度具有下列性质:

?

非负性:当X = 0(零向量)时,|| X || = 0;

当X ≠0(零向量)时,|| X || >0.

?

齐次性:|| λX || =| λ |·|| X || .

2221

2

||||(,)0

n

X X x x X x ==

++

+≥2

||||(,)(,)||(,)|||||

|X X X X X X X X λλλλλλ====?

定义5.1.2:令称|| X || 为n 维向量X 的长度(或模).当|| X || = 1时,称X 为单位向量.向量的长度具有下列性质:

?

非负性:当X = 0(零向量)时,|| X || = 0;

当X ≠ 0(零向量)时,|| X || >0.

?齐次性:|| λX || =| λ |·|| X ||.?

三角不等式:|| X + Y || ≤|| X || + || Y ||.

2221

2

(||,|)|n

X X x X x x

==

++

+x y x + y

y

向量的正交性

施瓦兹(Schwarz )不等式

(X , Y )2 ≤ (X , X ) (Y , Y ) = || X || ·|| Y ||

当X ≠ 0 且Y ≠ 0 时,

定义5.1.3:当X ≠ 0 且Y ≠ 0 时,把

称为n 维向量X 和Y 的夹角.

当(X , Y ) = 0,称向量X 和Y 正交.

结论:若X = 0,则X 与任何向量都正交.(,)

arccos

||||||||

X Y X Y θ=?(,)

1||||||||X Y X Y ≤?x

y θ

定义:一组两两正交的非零向量,称为正交向量组.

定理5.1.1:若n 维向量a

, a2, …, a s 是两两正交的非零向量,

1

, a2, …, a s 线性无关.

则a

1

证明:设k

a1 + k2a2 + … + k r a r =0(零向量),那么

1

0 =[a1, 0]= [a1, k1a1 + k2a2 + … + k r a r]

= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + k r[a1, a r]

= k1 [a1, a1]+0+… + 0

= k1 ||a1||2

=0.

从而k

1

= k3= … = k r=0.

同理可证,k

2

, a2, …, a r 线性无关.

综上所述,a

1

定义5.1.4:设向量组a 1, a 2, …, a r 是向量空间中的向量,满足

?a 1, a 2, …, a r 是向量空间V 中的一个基(最大无关组);?a 1, a 2, …, a r 两两正交;

?a 1, a 2, …, a r 都是单位向量,

则称a 1, a 2, …, a r 是V 的一个标准正交基.

例:是R 4 的一个标准正交基.

n

V R ?1234110000221111,,,222200110022a a a a ???????? ? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?-====

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ??

??????

?

设a

1, a 2, …, a r 是向量空间V 中的一个正交基,则V 中任意一个向量可唯一表示为X = λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λr a r 于是

特别地,若a 1, a 2, …, a r 是V 的一个标准正交基,则

问题:向量空间V 中的一个基b 1, b 2, …,b r

向量空间V 中的一个规范正交基a 1, a 2, …,a r

2

(,)(,), 1,2,,(,)||||

i i i i i i X a X a i r

a a a λ===(,), 1,2,

,i i X a i r

λ==

求规范正交基的方法

第一步:正交化——施密特(Schimidt )正交化过程设a 1, a 2, …, a r 是向量空间V 中的一个基,那么令

11

b a

=a 1

b 1

a 2

a 3

c 2b 2

c 3

c 31

c 32

b 3

1222221

11(,)

(,)

b a b a

c a b b b =-=-333

33132

1323312

1122(,)(,)(,)(,)

b a

c a c c b a b a a b b b b b b =-=--=--基正交基标准正交基

第一步:正交化——施密特(Schimidt )正交化过程设a 1, a 2, …, a r 是向量空间V 中的一个基,那么令

于是b 1, b 2, …, b r 两两正交,并且与a 1, a 2, …, a r 等价,即b 1, b 2, …, b r 是向量空间V 中的一个正交基.特别地,b 1, …, b k 与a 1, …, a k 等价(1 ≤ k ≤r ).

121112212111(,)(,)

(,)

(,)(,)

(,)

r r r r r r r r r b a b a b a b b b b b a b b b b b ----=---

-11

b a =1222221

11(,)

(,)

b a b a

c a b b b =-=-

第二步:单位化

设b 1, b 2, …, b r 是向量空间V 中的一个正交基,那么令

因为

从而e 1, e 2, …, e r 是向量空间V 中的一个标准正交基.

112212111

, ,

, ||||||||||||

r r

r e b e b e b b b b ===()2

111111122

1111||||111

(,),,1||||||||||||

||||b e e b b b b b b b b ??==== ???111||||(,)1

e e e ==

例5.1.2:设,试用施密特正

交化过程把这组向量标准正交化.解:第一步正交化,取

1231, 0, 1011a a a ? ? ?

=-==- ? ? ? ? ? ???????

11

1222111132333121122111(,)11011(,)221021111(,)(,)21211111(,)(,)32231201b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b =??????

? ? ?

=-=--= ? ? ?

? ? ?

??????

-????????

? ? ? ?

=--=--?--=- ? ? ? ?

? ? ? ?

????????

例5.1.2:设,试用施密特正

交化过程把这组向量标准正交化.解:第二步单位化,令

1231, 0, 1011a a a ? ? ?

=-==- ? ? ? ? ? ???????

1112223331111||||201111||||621111||||31e b b e b b e b b ??

?==- ? ?

????

?== ? ?

??-??

?==- ? ?

??

定义5.1.5:若n 阶矩阵A 满足A T A = E ,则称矩阵A 为正交矩阵,简称正交阵.

即A ?1= A T ,于是

从而可得

方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量,且两两正交.1,(,) (,1,2,

,)

0,T i j i

j i j

a a a a i j n i j

=?===?≠?即A 的列向量组构成R n 的标准正交基.

()1111212212

2

2

121

2

10

001

0,,,00

1T T T T n T T T T T n n T T T T n n n n n a a a a a a a a a a a a a a A A a a a a a a a a a a ?????? ? ?

? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ???

??

??

则称矩阵A 为正交矩阵,简称正交阵.

方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量,且两两正交.即A 的列向量组构成R n 的规范正交基.(定理5.1.2)

因为A T A = E 与AA T = E 等价,所以

1,(,) (,1,2,

,)

0,T i j i

j i j

b b b b i j n i j

=?===?≠?()11112122122

2121

2

10

001

0,,,00

1T T T T n T T T T T n

n T T T T n n n n n b b b b b b b b b b b b b b AA b b b b b b b b

b b ?????? ? ?

? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ???

??

??

则称矩阵A为正交矩阵,简称正交阵.

?方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向

量,且两两正交.即A的列向量组构成R n的规范正交基.

?方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量都是单位向

量,且两两正交.即A的行向量组构成R n的规范正交基.

||||()()||||

T

T

T T

T

y y y Px Px x P Px x x x =

==

=

=正交矩阵具有下列性质:(定理5.1.3)

?若A 是正交阵,则A ?1也是正交阵,且|A | = 1 或-1;

A T 也是正交阵,且A ?1= A T .

?若A 和B 是正交阵,则AB 也是正交阵.

定义:若P 是正交阵,则线性变换y = Px 称为正交变换.

经过正交变换,线段的长度保持不变(从而三角形的形状保

持不变),这就是正交变换的优良特性.(定理5.1.4)

人教版高中数学必修42.4.2 平面向量数量积的坐标表示、夹角

1.a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a·b 等于( ) A .23 B .57 C .63 D .83 解析:选D.∵|a |=(-4)2+32=5,a·b =-4×5+3×6=-2,∴3|a |2-4a·b =3×52-4×(-2)=83.故选D. 2.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为( ) A.13 B.135 C.655 D.65 解析:选C.|a |cos θ= a · b |b |=-8+2165=655. 3.已知a =(-3,2),b =(-1,0)向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) A .-17 B.17 C .-16 D.16 解析:选A.向量λa +b =(-3λ-1,2λ),a -2b =(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3λ -1,2λ)·(-1,2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得:λ=-17 ,故选A. 4.(2012·高考重庆卷)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4)且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |=( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 解析:选B.由a ⊥c 得2x +1×(-4)=0,所以x =2;由b ∥c 得1×(-4)=2y ,所以y =-2.从而a =(2,1),b =(1,-2) ∴a +b =(3,-1),∴|a +b |= 32+(-1)2=10. 5.已知平面向量a =(2,4),b =(-1,2),若c =a -(a ·b )b ,则|c |等于( ) A .4 2 B .2 5 C .8 D .8 2 解析:选D.易得a ·b =2×(-1)+4×2=6,所以c =(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c |= 82+(-8)2=8 2. 6.设向量a 与b 的夹角为θ,且a =(3,3),2b -a =(-1,-1),则cos θ=________.

平面向量内积的坐标运算

课 题:平面向量数量积的坐标表示 教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ,作=a ,OB =b ,则∠A OB =θ(0≤θ≤ π)叫a 与b 的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是 θ,则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积,记作a ?b ,即有a ?b = |a ||b |c os θ, (0≤θ≤π).并规定0 与任何向量的数量积为0 3.向量的数量积的几何意义: 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4.两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ;2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时,a ?b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||

4?c os θ =| |||b a b a ? ;5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5. 平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律:(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课: ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ,),(22y x b = ,试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量,j 是y 轴上的单位向量,那么 j y i x a 11+=,j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ,1=?j j ,0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 (1)设),(y x a = ,则222||y x a += 或 ||a = (2)如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ,),(22y x b = ,则b a ⊥ ?02121=+y y x x

向量正交化

Gram-Schmidt 正交化方法 正射影 设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令 ;11αβ= 11 11 22,,ββββααβ-=; (1) 22 2231111333,,,,ββββ αββββααβ-- =; (11) 11 22221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ . 则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1 i i i ββγ= s i ,.2,1 = 则},,,{21s γγγ 为规范正交组. 将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k k k i ik t βββα,,= ,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k {}, ,,2,1,s j i ∈? 有 ∑∑-=-=++= 1 1 1 1 ,,j k j k jk i k i k ik j i t t ββββαα()???? ? ?? ? ?? ??? ????????? ? ? =-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令??????? ? ? ?=---10 001001011,2,2,11,1,121 s s s s s s t t t t t t T

则 T T s s s s s s s s s s s s s s ??????? ? ??=????? ? ?? ? ?-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0 00 0,0000,0 000,,,,,,,,,,,,,1 12211/2 1 1211122 21 212111 上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵,记为:()s G ααα,,,21 ,上式右端中 间 的 对 角 阵 是 s βββ,,,21 的Gram 矩阵.即 有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 = 因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 == 注意:对任意一个向量组,无论它是线性相关,还是线性无关,它总有Gram 矩阵(或者事先给出定义). 例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量,则 (1)()?≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; (2)()?=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证(2) )?设s ααα,,,21 线性相关,则存在一个向量,不妨设为1α,可由其余向量线性 表示: s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到 第1行,s i ,,3,2 =得 ( )s s s s s s i s i i s s i i i s i i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 21 22 21 22 12 2 212 1 1121 ∑∑∑===---= 0= )?法一:由上页证明推理过程立即得证。 法二:当()0,,,det 21=s G ααα 时,()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关,因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ,使

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教材分析 本课的地位及作用:平面向量数量积的坐标表示,就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算,为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来,是全章重点之一。 二.教学目标 1.学会用平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2.(1)通出问题,把问题的求解与探究贯穿整堂课,学生在自主探究中发现了结论(2)通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比,教给了学生类比联想的记忆方法。 3.经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点:平面向量数量积的坐标表示. 难点:向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算,但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的,应用起来不太方便,如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积,使之应用更方便,就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此,本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以,本节课采取 以学生自主完成为主,教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为:1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1.实验法:多媒体、实物投影仪。 2.学案导学:见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1.学生的学习准备:预习学案。 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。

平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点) 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容,完成下列问题.1.平面向量数量积的坐标表示: 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a| 3.两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB →= 4.向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与b夹角为θ,则 cos θ= a·b |a|·|b|= x1x2+y1y2 x21+y21x22+y22 . 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0度.()

(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.( ) 解:(1)×.因为当x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a ,b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确. (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a =(1,2),b =(2,x ), 且a·b =-1,则x 的值等于( ) A .1 2 B .-12 C .32 D .-32 (2)已知向量a =(-1,2),b =(3,2),则a·b =________,a ·(a -b )=________. (3)已知a =(2,-1),b =(3,2),若存在向量c ,满足a·c =2,b ·c =5,则向量c =________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解. 解:(1)因为a =(1,2),b =(2,x ),

线性代数第六章向量空间及向量的正交性讲义

一、n 维向量的定义及运算 一、n 维向量的定义及运算二、向量空间 二、向量空间第一节向量空间 第二节向量的正交性

一、向量空间及其维数和基 一、向量空间及其维数和基 二、向量在基下的坐标 二、向量在基下的坐标

例1 设V 是一些n 维实向量的组成的非空集合,如果V 关 于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭),即 (1) ?a , b ∈V , 有a +b ∈V . (2) ?a ∈V , k ∈R , 有k a ∈V . 则称V 是一个实向量空间. 一、向量空间及其维数和基 定义1全体n 维向量的集合{(x 1, x 2, …, x n )T | x i ∈R ,i=1, 2, …, n }是一个向量空间,记为R n . 特别的 n = 1 时全体实数R 是一个向量空间; n = 3 时全体三维向量{(x 1, x 2, x 3)T |x i ∈R ,i= 1, 2, 3 } 是一个向量 空间,记为R 3. n = 2 时全体平面中的向量{(x 1, x 2 )T | x i ∈R ,i=1, 2} 是一个向量空 间,记为R 2. 注:向量空间中必含有零向量。

例3 例2而W = {(a 1, a 2, …, a n )T |}01∑==n i i a 是一向量空间. }1|),,,{(1 21∑==…=n i i T n a a a a S 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭,也不含零向量.仅含一个n 维零向量0=(0, 0, …, 0)T 的集合{0}构成一 个向量空间,称为零空间.除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。 设V 是一个向量空间,W V , W ≠?. 如果W 关于向量的加法与数乘也封闭,则称W 是V 的子空间. 定义2若W V ,并且V W , 则称两个向量空间相等,记为W=V. ???

高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题: 1、 教材的地位和作用是什么? 2、 学生在学习中会遇到什么困难? 3、 如何根据新课程理念,设计教学过程? 4、 如何结合教学内容,指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力? 二、教材分析: 1、 向量是近代数学中最重要的概念之一; 2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”; 3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便; 4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法; 5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备; 三、教学目标分析: ⒈知识目标:(1)掌握数量积和模的坐标; (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式. ⒉能力目标:(1)领悟数形结合的思想方法; (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力. ⒊情感目标:体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化. 四、教学的重点、难点分析: 重点:数量积坐标表示的推理过程. 难点:公式的建立与应用. 五、学生分析: 知识上:学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等; 方法上:研究过向量加减法坐标运算的推理过程; 思维上:由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维; 能力上:主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析: 1、建构主义学习理论认为:学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展,学习不是对教师所授予的 知识被动接受,而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化,是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构,使其成为整个认知结构的有机组成部分,所以在教学中,以向量为载体,按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境,不断引导学生观察、实验、思考、探索,通过自己的亲身实践,充分发挥学生学习的主动性,培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段,加强直观性和启发性,提高课堂效益; 2、 运用“导学探究式” 教学方法; 3、 本节课的基调定为,自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价; 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导: 1、根据本节课特点及学生的认知心理,把重点放在如何让学生“会学习”这一方面,学生在教师营 造的“可探索”环境里,积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑,从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力,设计转化、分析问题及解决问题的能力; 2、 紧紧围绕数形结合这条主线; 认知主体

施密特正交化)

施密特正交化 在中,如果上的一组向量能够张成一个,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个,并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名,然而比他们更早的(Laplace)和(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为()。 在数值计算中,Gram-Schmidt正交化是的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ?:为n的内积空间 ?:中的元素,可以是向量、,等等 ?:与的 ?:、……张成的 ?:在上的 基本思想 图1v在V2上投影,构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间,其标准正交基为,且v不在V k上。由投影原理知,v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的,亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化,即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正交 基。

根据上述分析,对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n,只要从其中一个向量(不 妨设为v 1)所张成的一维子空间span{v 1 }开始(注意到{v 1 }就是span{v 1 }的正交 基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下: 这样就得到上的一组正交基,以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的,欧氏空间上内积的定义为=b T a: 下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量: 下面验证向量β1与β2的正交性: 将这些向量单位化: 于是{η1,η2}就是span{v1,v2}的一组标准正交基。 不同的形式 随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。 例如,在实向量空间上,内积定义为: 在复向量空间上,内积定义为:

第五节振型向量正交性

第五节振型向量正交性 对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此,在研究多自由度系统振动问题时,应找出一种便于分析的方法,这就是模态分析法(振型叠加法)。为此,首先讨论有关耦合与解耦的方法。 一、耦合与解耦(教材6.7和6.8) 举例说明什么是耦合与解耦。 D y 如图所示是一刚性杆AD,用刚度分别为 1 k和 2 k的弹簧支承与A、D两端。

(1) 取质心C 点的垂直位移C y 和刚性杆绕C 点的转角θ为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系,得 12112212D A C A C D C D A l y l y y y y l l l y y l y y l l θ θ θ+?=?=-+?? ?? ? =+-??=?+? 由牛顿运动定律,的系统的振动微分方程为 121122 C A D A D my k y k y J k y l k y l θ=--?? =-? (a ) 式中m 是刚性杆AD 的质量,J 是刚性杆AD 绕质心C 的转动惯量。整理式(a ),得 ()()()()12221122 221111220 C C C my k k y k l k l J k l k l y k l k l θθθ+++-=???+-++=?? (b ) 写成矩阵的形式 12221122221111220000C C y k k k l k l y m J k l k l k l k l θθ+-???????? ??+=??????????-+????? ????? (c ) 在上式中,质量矩阵是一个对角矩阵,反映在方程组中,就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数(加速度)C y ,第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数θ,这种加速度(惯性力)之间没有耦合的情况,称之为惯性解耦。 刚度矩阵是非对角矩阵,反映在

北师大版《平面向量数量积的坐标表示》word教案

2.6平面向量数量积的坐标表示 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (2)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (3)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段,通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式,然后和同学一起总结方法,最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识;提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入: 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示:【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢? 1. 推导坐标公式:设a = (x 1, y 1),b = (x 2, y 2),x 轴上单位向量i ,y 轴上单位向量j ,则:i ?i = 1,j ?j = 1,i ?j = j ?i = 0. ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式:a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | = 22y x + ②若A = (x 1, y 1),B = (x 2, y 2),则?→ ?AB =2 212 21)()(y y x x -+- ③co s θ = | |||b a b a ??2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x +++= ④∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0(注意与向量共线的坐标表示) 【巩固深化,发展思维】 1.设a = (5, -7),b = (-6, -4),求a ?b

平面向量数量积的坐标表示

§5.7平面向量数量积的坐标表示 教学目的:要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 教学重点:平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式 教学难点:向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用 教学方法; 启发式 教学过程: 一、复习引入 1.两平面向量垂直的充要条件。2.两向量共线的坐标表示: 二、新课讲解: 1.x 轴上单位向量i ,y 轴上单位向量j ,则:i ?i = 1,j ?j = 1,i ?j = j ?i = 0 2.设a = (x 1, y 1),b = (x 2, y 2) 则 ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2.从而获得公式:a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 3.长度、夹角、垂直的坐标表示 1?长度:a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?两点间的距离公式:若A = (x 1, y 1),B = (x 2, y 2),则=221221)()(y y x x -+- 3? 夹角:co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++= 4?垂直的充要条件:∵a ⊥b ? a ?b =0即x 1x 2 + y 1y 2 = 0(注意与向量共线的坐标表示的区别) 4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。 三、例与练习 例1、如图,以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ,使∠B = 90?, 求点B 和向量的坐标。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教学分析 平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分. 前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了

平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法: 通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算,揭示几何图形与代数运算之间的内在联系,明确数学是研究数与形有机结合的学科。 3、情感态度与价值观: 能用所学知识解决有关综合问题。 三、重点难点 教学重点:平面向量数量积的坐标表示. 教学难点:向量数量积的坐标表示的应用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题. 思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,

必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 [学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 思考 已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ?上述结论是怎样推导的? 答案 推导:∵a =x 1i +y 1 j ,b =x 2i +y 2 j , ∴a ·b =(x 1i +y 1 j )·(x 2i +y 2 j ) =x 1x 2i 2+x 1y 2i ·j +x 2y 1 j ·i +y 1y 2 j 2. 又∵i ·i =1,j ·j =1,i ·j =j ·i =0, ∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2. 知识点二 平面向量的模 (1)向量模公式:设a =(x 1,y 1),则|a |=x 21+y 21. (2)两点间距离公式:若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 思考 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为平面内任意两点,试推导平面内两点间的距离公式. 答案 推导:∵AB →=OB →-OA → =(x 2,y 2)-(x 1,y 1) =(x 2-x 1,y 2-y 1), ∴|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 知识点三 平面向量夹角的坐标表示 设a ,b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得: cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22 . 特别地,若a ⊥b ,则有x 1x 2+y 1y 2=0; 反之,若x 1x 2+y 1y 2=0,则a ⊥b .

内积的坐标表示

课题:内积的坐标表示 授课教师: 授课班级: 教学目标:会利用坐标表示向量的内积,向量的模,向量的夹角 教学重点:向量的内积、向量的模及其向量的夹角公式的应用 教学难点:能灵活应用所学知识解决相关的数学问题 教学过程: 一、课前复习 1、向量a 与向量b 的内积公式:a ?b = a b cos a ,b 2、向量a 与向量b 的夹角公式:cos a ,b = a ? b a b 3、向量a 的模公式: a = 2 二、新课讲解 1、向量a 与向量b 的内积坐标公式: 已知a = x 1,y 1 ,b = x 2,y 2 则a ?b =x 1x 2+y 1y 2 2、向量模的坐标公式: (1)已知a =(x ,y )则 a = x 2+y 2 (2)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 则 AB = (x 2?x 1)2+(y 2?y 1)2 3、向量a 与向量b 的夹角坐标公式: 已知a = x 1,y 1 ,b = x 2,y 2 则cos a ,b =121212122222 三、例题讲解 例1、求下列向量的内积 ①a =(2,?3),b =(1,3) ②a =(2,?1),b =(1,2) ③a =(4,2),b =(?2,?3) 练习:P 40T 1 例2、已知a =(3,4),b =(?1,2),c =(?2,3),求(a +b )?c 分析:可以先求a +b ,再求(a +b )?c ;也可以利用向量的分配律来做 练习:P 40T 3 例3、已知a =(?1,2),b =(?3,1)求a ?b , a , b , a ,b

分析:套公式即可 练习:P40T2 例4、已知A(3+1,1),B(1,1)和C(1,2)且向量a=CB,b=AB,c=CA,求: (1)a,b,c的坐标 (2)a?2b (3)已知d=a+b,e=c+b,求d,e 四、课堂小结 1、向量a与向量b的内积坐标公式 2、向量模的坐标公式 3、向量a与向量b的夹角坐标公式 五、作业 P40A组第2、3 六、板书(略)

平面向量数量积的坐标表示教学设计

5.6平面向量的数量积及运算律 一、内容及其解析 1、内容:平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2、解析:平面向量的数量积是两向量之间的一种运算,前面我们已经做了充分研究,这次课通过建立直角坐标系,给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后,这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。 本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上,介绍了平面向量数量积的坐标表示,平面两点间的距离公式,和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系,特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中,还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题,三角形边角的有关问题提供了很好的办法,本节内容也是全章重要内容之一。 二、目标及解析 1、目标 1)、掌握平面向量数量积的坐标表示 2)、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3)、掌握向量垂直的条件 2、解析:

1)、通过建立直角坐标系,用坐标表示出平面向量的数量积; 2)、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题. 3)、两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2-x2y1=0) 三、教学问题诊断 本节课是在学生充分理解向量的概念,掌握向量的坐标表示,并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的,应该说,从知识的接受上学生并不困难,也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示,并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题,难点是向量垂直的条件的理解与掌握,解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上,通过建立直角坐标系,将向量的数量积运算转化为坐标的运算,即数之间的运算。 四、教学支持条件分析 本节内容是全章重点内容之一,学生学习时容易混淆,在指导学生认真预习的前提下,教学中从向量的几何意义上突破难点,在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片,提高课堂效率。 五、教学设计过程 (一)、教学基本流程 (二)情景创设 平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?

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