2013中考数学冲刺专题6 综合型问题 人教新课标版

2013中考冲刺数学专题6——综合型问题

【备考点睛】

综合型问题是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法、知识以解决问题，涉及的主要知识点有代数中的方程、函数、不等式，几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆；涉及的主要思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等；要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力、在新情境下解决新问题的创新能力．

学生做好以下两项工作，解决综合型问题的水平将有较大提高：①全面掌握初中数学的基础知识、方法、技能，熟练掌握重点、热点知识及重要的数学思想、方法，注重归纳整理形成整体，防止知识出现断链。②适度进行综合性训练并善于总结解题体会，对知识形成发散、迁移及应用能力，提高解题技能，体会数学思想与方法的运用，形成解题策略，如运用转化思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题，借助几何直观去分析、推理等．

【经典例题】

类型一、以几何图形为背景的综合题

例题1 （2010四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=23,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。

（1）求∠CPQ的度数。

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？

（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。

解答：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=23,∠C=90°∴CD=6,BC=23∴tan∠CBD＝

CB

CD=3∴∠CBD=60°

∵PQ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°

（2）如题图（1）由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ

∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60°∴∠RPB=60°,∴RP=2BP

∵CP=x ∴RP=x ,PB=23-x.

∴在△RPB中，有2（23-x）= x ∴x=

33

4

（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图），

33

4﹤x﹤23

在Rt △PBF 中，由（2）知PF=2BP=2（23-x ） ∴RP=∴ER=RF-PF=3x-43

在Rt △ERF 中 ∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF 2tan30°=3x-4

∴Ｓ△ERF=2

1ER 3FR=21(3x-4)( 3x-43)=

23

3x 2-12x+83 又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=21

x 33x=23x 2

∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF ∴当3

34﹤x ﹤23时， 函数的解析式为y=2

3x 2

-（233x 2-12x+83） =-3x 2+12x-83 （33

4﹤x ﹤23）

∵y=-3

x

2

+12x-83 =-3(x-23)2

+43

∴当334﹤x ﹤23时，y 随x 的增大而增大

∴函数值y 的取值范围是3

38﹤y ﹤43

例题2 （2010 山东东营） 如图，在锐角三角形ABC 中，12=BC ，△ABC 的面积为48，

D ，

E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1） 当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；

（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.

解答：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图（1）， 过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为M .

∵S △ABC =48，BC =12，∴AM =8. ∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ,

∴

AM

AN

BC DE =， 而AN=AM －MN=AM －DE ，∴

8

812DE

DE -=. 解之得8.4=DE .

∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8. （2）分两种情况：

①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2），△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积，

∵DE =x ，∴2

x y =，此时x 的范围是x <0≤4.8

B

A D E F

G C

B

A D E

F G C

M N

②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时，

如图（2），设DG 与BC 交于点Q ，EF 与BC 交于点P ， △ABC 的高AM 交DE 于N ，

∵DE =x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ,分

即

AM AN

BC DE =，而AN =AM －MN =AM －EP, ∴8812EP x -=，解得x EP 3

28-=. 所以)328(x x y -=, 即x x y 83

22

+-=.

由题意，x >4.8，x <12,所以128.4<

因此△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为

???

??<<+-=)128.4(83

22

2

x x x x y 当x <0≤4.8时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82

=23.04

当128.4<

22

+-=，所以当6)

32(28=-?-

=x 时， △ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24)

3

2(480)32

(42

=-?-?-?.

因为24>23.04，

所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24.

例题3 （2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .

（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．

解答： （1）=∠EBF 30° QFC ∠= 60

不妨设BP

, 如图1所示

M B

A

D E

F

C

N

P Q

(0< x ≤4.8) 图1

A

C

B

E

Q

F P 图2

A

E Q

P

F C

图1

A

C

B

E

Q

F P

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ

在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ∴△ABP ≌△AEQ ∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =?-∠-∠=?-?-?=? ∴QFC ∠=EBF BEF ∠+∠=3030?+?=60°

(3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G

∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=32，由（1）得=∠EBF 30°

在Rt △BGF 中，2BE BG =

=∴BF=2cos30BG

=?

∴EF =2 ∵△ABP ≌△AEQ

∴QE=BP=x ∴QF =QE ＋EF 2x =+

过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H

在Rt △QHF 中，sin 602)y QH QF x ==?=+ （x ＞0）

即y 关于x 的函数关系式是：2

y x =

例题4 （2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy 中，边长为2的等边△OAB 的

顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上. 另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC AC =， 120=∠C ．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A O B →→运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时 间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；

（3）如图(2)，现有

60=∠MCN ，其两边分别与OB ， AB 交于点M ，N ，连接MN ．将M CN ∠绕着 点C 旋转（< 0旋转角 60<），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

解答：（1）过点C 作CD OA ⊥于点D ．（如图①）

∵OC AC =，120ACO ∠=?， ∴30AOC OAC ∠=∠=?．

∵OC AC =，CD OA ⊥， ∴1OD DA ==．

在Rt ODC ?

中，1cos cos30OD OC AOC ===∠?

（ⅰ）当2

03

t <<时，OQ t =,3AP t =,23OP OA AP t =-=-；

过点Q 作QE OA ⊥于点E ．（如图①）

在Rt OEQ ?中，∵30AOC ∠=?，∴122

t QE OQ ==，

∴21131(23)22242OPQ t S OP EQ t t t ?=?=-?=-+．

即231

4

S t t =-+ ．

（ⅱ）当23t <≤时，（如图②） OQ t =，32OP t =-．

∵60BOA ∠=?，30AOC ∠=?，∴90POQ ∠=?．

∴2113(32)222

OPQ S OQ OP t t t t ?=?=?-=-． 即2

32S t t =-．

故当203t <<

时，23142S t t =-+，当23t <≤

时，

S =（2）,1)D 或,0)或2

(,0)3

或4(,3． （3）BMN ?的周长不发生变化．

延长BA 至点F ，使AF OM =，连结CF ．（如图③） ∵90,MOC FAC OC AC ∠=∠=?=，

∴MOC ?≌FAC ?．

∴MC CF =，MCO FCA ∠=∠．

∴FCN FCA NCA MCO NCA ∠=∠+∠=∠+∠60OCA MCN =∠-∠= ． ∴FCN MCN ∠=∠．

又∵,MC CF CN CN ==．

∴MCN ?≌FCN ?．∴MN NF =．

∴BM MN BN BM NF BN ++=++AF BA OM BO ++-=BA BO =+4=． ∴BMN ?的周长不变，其周长为4． 类型二、以函数图像为背景的综合题

例题5 （2010甘肃兰州） 如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x

轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2

经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）

（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒

x

x

（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当11

4

t =

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 图2

解答： （1）因抛物线

c bx x y ++-=2

经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0） 故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为x x y 42

+-= 由x x y 42+-=()2

24y x =--+

得当x =2时，该抛物线的最大值是4.

（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .

于是得???=+=+4204b k b k ，解得???=-=82b k 所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. 由已知条件易得，当114t =

时，OA=AP=114，1111

(,)44

P ∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8. ∴ 当11

4

t =

时，点P 不在直线ME 上. ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .

∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2

+4t )

∴ AN=-t 2

+4t (0≤t ≤3) ,

∴ AN -AP=(-t 2

+4 t )- t=-t 2

+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2

+3 t （ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形

的高为AD ，∴ S=

12DC 2AD=1

2

3332=3. （ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形

∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，

∴ S=

12 (CD+PN )2AD=12

[3+(-t 2+3 t )]32=-t 2

+3 t +3 当-t 2

+3 t +3=5时，解得t=1、2

而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N 点的坐标（1,3） 当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.

例题6 （2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式； （2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

解答：

（1）设抛物线为2(4)1y a x =--. ∵抛物线经过点A （0，3）， ∴23(04)1a =--

.∴1

4

a =.

∴抛物线为2

211(4)12344

y x x x =--=-+.

(2) 答：l 与⊙C 相交.

证明：当2

1(4)104

x --=时，12x =，26x =.

∴B 为（2，0），C 为（6，0

）.∴AB =设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠. ∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?.

∴

CE BC OB AB =

.∴2CE =

.∴2CE =>. ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交.

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .

可求出AC 的解析式为1

32y x =-+.分

设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，1

32

m -+）.

∴221113

3(23)2442

PQ m m m m m =-+--+=-+.

∵22

113327()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+,

x

∴当3m =时，PAC ?的面积最大为274

. 此时，P 点的坐标为（3，3

4

-

）. 例题7 （2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且

:2:3ABP BPC S S ??=，求点P 的坐标；

（3）设⊙Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？ 解答：（1）∵y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，

∴3b =，(0 3)C ，

。 将A (30)-，

代入3y kx =+，得330k -+=。解得1k =。 ∴直线AC 的函数表达式为3y x =+。 ∵抛物线的对称轴是直线2x =-

∴930

2

23

a b c b a

c -+=???

-=-??=??解得143a b c =??=??=? ∴抛物线的函数表达式为2

43y x x =++。 （2）如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D 。

∵:2:3ABP BPC S S ??=，

∴11

():()2:322AP BD PC BD ????=

∴:2:3AP PC =。

过点P 作PE ⊥x 轴于点E ， ∵PE ∥CO ，∴△APE ∽△ACO ，

∴

25

PE

AP

CO AC =

=

，

∴26

55

PE OC ==

∴6

35

x =+，解得95-

∴点P 的坐标为96

()55

-，

（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在Q 与坐标轴相切的情况。 设点Q 的坐标为00()x y ，。

x

① 当⊙Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±。 当01x =-时，得20(1)4(1)30y =-+?-+=，∴1(1 0)Q -， 当01x =时，得2014138y =+?+=，∴2(1 8)Q ，

② 当⊙Q 与x 轴相切时，有01y =，即01y =±

当01y =-时，得200143x x -=++，即200440x x ++=，解得02x =-，∴3(2 1)Q --， 当01y =时，得200143x x =++，即200420x x ++=，解

得02x =-，

∴

4(2 1)Q -

，5(2)Q -。

综上所述，存在符合条件的⊙Q ，其圆心Q 的坐标分别为1(1 0)Q -，，2(1 8)Q ，，3(2 1)Q --，

，

4(2 1)Q -

，5(2)Q -。 （Ⅱ）设点Q 的坐标为00()x y ，。

当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有00y x =±。

由00y x =，得200043x x x ++=，即200330x x ++=， ∵△=2

34130-??=-< ∴此方程无解。

由00y x =-，得200043x x x ++=-，即200530x x ++=，

解得0x =

∴当⊙Q

的半径0r x ==

=Q 与两坐标轴同时相切。 例题8 （2010湖南常德）如图, 已知抛物线2

12

y x bx c =

++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面

积的2倍时，求E 点的坐标;

（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点

运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标． 解答：（1）由二次函数2

12

y x bx c =

++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得： 2

21(4)402

1102

b c b c ?--+=?????++=??，． 解得： 322b c ?=???=-?，．

故所求二次函数的解析式为213

222

y x x =+-．

（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1

.3

BF BC =

∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,

∴△BEF ～△BAC ,

∴

1,3BE BF BA BC ==得5

,3

BE =

故E 点的坐标为(23

-,0).

（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线

AC 的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+??=-+?． 解得：1,22k b ?=-?

??=-?．

故直线AC 的解析式为1

22y x =-－．

若设P 点的坐标为213,222a a a ??

+- ???

，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线

AC 的交点，则Q 点的坐标为（1

,2)2

a a --．则有：

2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝21

22a a --

＝()2

1222

a -++

即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3） 解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC

的面积取大值时即可.

设P 点坐标为（),00y x ，则有:

ACO DPCO S APC ADP S S S =+- 梯形 ＝111

()222AD PD PD OC OD OA OC ?++?-? ＝()()00000111

2242222x y y y x --+-+?--??

＝0024y x ---

＝20001322422x x x ??

-+--- ???

＝2004x x -- ＝－()

2

202

4x ++

即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标为（－2，－3）

【技巧提炼】

解数学综合题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、 利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、 综合多个知识点，运用等价转换思想

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。 【体验中考】

1．（2010 福建德化）已知：如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点(A 、C 除外)，作AB PE ⊥于点E ，作BC PF ⊥于点F ，设正方形ABCD 的边长为x ，矩形PEBF 的周长为y ，在下列图象中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）.

2．（2010 四川南充）如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（ ）． （A

）MN =

（B ）若MN 与⊙O

相切，则AM =（C ）若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切 （D ）l 1和l 2的距离为2

3．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 点Ｄ在OA 上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P 是OB 上的一个动点，试求PD +PA 和的最小值是（ ）

A ．102

B ．10

C ．4

D ．

6

2

N

A

D

B

C

F

4．（2010湖北宜昌）如图,在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN →⌒NK

→KM 运动，最后回到点M 的位置。设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其

图象可能是（ ）。

5．（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2

)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=

4

5

,若存在，求出P 点的 坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此 图象有两个公共点时，b 的取值范围.

6．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．

（1）求点C 的坐标．

（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．

（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．

7．（2010湖北荆州）如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ∥BC ，D 是BC 上一点，BD=

4

1

OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持∠DEF=45°． （1）直接写出．．．．D 点的坐标；

（2）设OE=x ，AF=y ，试确定y 与x 之间的函数关系；

（3）当△AEF 是等腰三角形时，将△AEF 沿EF 折叠，得到△EF A '，求△EF A '与五边形OEFBC 重叠部分的面积．

8．（2010湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=?，24AD DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．

（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；

（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；

（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ

RQ 是否为定值，若是，试求这个

定值；若不是，请说明理由．

9．（2010江苏扬州）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由． 答案

1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B

5．【答案】(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2

)(的顶点坐标，

A

B

C

D

（备用图1）

A

B

C

D

（备用图2）

Q A B

C

D

l M

P

E

所以324)1(22--=--=x x x y 令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x . ∴A，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ??=4

5

设),,(y x p 则y y AB S PAB 22

1

=?=?， 又8421

=-?=

?AB S MAB , ∴.5,84

5

2±=?=y y 即

∵二次函数的最小值为-4，∴5=y . 当5=y 时，4,2=-=x x 或.

故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）

（3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b 当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b

由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b

6．【答案】

（1）点C 的坐标是（4，0）；

（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2

+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：

020164a b c c a b c

=-+??

=?

?=++?解得12322

a b c ?=-??

?=??=???

，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． （3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．

①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC

=t

②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD

t =，解得t

③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE

=5PC ，∴12t

=

5

（t ），解得t

（4）当CQ =PC 时，由（3）知t P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：

y =

12x ，因而有12x =1

2

-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =1OP 与抛物线的

交点坐标为（12+）和（12

-）．

7．【答案】（1）D 点的坐标是)22

3,223(. （2）连结OD,如图（1），

由结论（1）知：D 在∠COA 的平分线上，则

∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB 中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2, ∴△ODE ∽△AEF ∴

AE OD AF OE =，即：x

y x -=243

∴y 与x 的解析式为：

x x y 3

24312+-=（3）当△AEF 为等腰三角形时，存在EF=AF 或EF=AE 或AF=AE 共3种

情况.

① 当EF=AF 时，如图（2）.

∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,

∴△AEF 为等腰直角三角形.D 在A ’E 上（A ’E ⊥OA ）, B 在A ’F 上（A ’F ⊥EF ）

∴△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠的面积为 四边形EFBD 的面积.

∵22

522324=-=-=-=CD OA OE OA AE ∴2

5

2222545sin 0

=?=

?=AE AF 8

25)25(21AF EF 21S 2AEF

=?=?=?

∴

4

21

2

2

3

)2

2

5

2

(

2

1

DE

AE)

(BD

2

1

AEDB

=

?

+

?

=

?

+

=

梯形

S

∴

8

17

8

25

-

4

21

S-

S

S

AEF

AEDB

BDEF

=

=

=

?

梯形

四边形

（也可用

BD

A'

EF

A'

S-

S

S

?

?

=

阴影

）②当EF=AE时，如图（3），

此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.

∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ，又DB∥EA

∴四边形DEAB是平行四边形

∴AE=DB=2

∴EF

AE

2

1

S

S

AEF

EF

A'

?

=

=

?

?

1

)2

(

2

1

S2

EF

A/

=

?

=

?

③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内. ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.

由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3

∴AE=AF=OA-OE=3

2

4-

过F作FH⊥AE于H,则

()

2

2

3

4

2

2

3

2

4

45

sin-

=

?

-

=

?

?

=AF

FH

∴()448

-

2

41

2

2

3

-

4

3

-

2

4

2

1

FH

AE

2

1

S

S

AEF

EF

A'

=

?

?

?

?

?

?

?

?

=

?

=

=

?

?

综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为

8

17

或1或

4

48

-

2

41

8．【答案】（1）过点C作CF AB

⊥于F，则四边形AFCD为矩形．∴4

CF=，2

AF=．

此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．

∴

QM CF

AM AF

=．

Q

C

D P

E

即

4

0.52

QM =，∴1QM =． （2）∵DCA ∠为锐角，故有两种情况： ①当90CPQ ∠=?时，点P 与点E 重合． 此时DE CP CD +=，即2t t +=，∴1t =． ②当90PQC ∠=?时，如备用图1，

此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ，∴EQ MA

PE QM

=． 由（1）知，42EQ EM QM t =-=-，

而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-， ∴421222t t -=-． ∴53

t =． 综上所述，1t =或5

3

．

（3）CQ RQ

为定值．

当t ＞2时，如备用图2，

4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．

由（1）得，4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=?． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ． ∴△CRQ ∽△CAB ．

∴CQ BC RQ AB ===． 9．【答案】（1）∵AC =3，BC =4

∴AB =5

∵

21AC 2BC =2

1

AB 2CD ， ∴CD =512

，AD =59

（2）①当0＜x ≤5

9

时

∵EF ∥CD

∴△AEF ∽△ADC

∴

AD

AE

CD EF = 即EF=34x

∴y =212x 234x =2

32x

当5

9

＜x ≤5时

A

B C

D （备用图1）

Q

P E l

M A

B

C D （备用图

2）

M Q

R

F P

易得△BEF ∽△BDC ，同理可求EF =

4

3

（5—x ） ∴y =212x 243（5—x ）=x x 815

832+-≤2554

②当0＜x ≤5

9

时，y 随x 的增大而增大.

y=232x ≤2554

,即当x =59时，y 最大值为2554

当59＜x≤5时，32

75

)25(838158322+--=+-=x x x y

∵083

<-

∴当25=x 时，y 的最大值为3275

∵2554＜32

75

∴当25=x 时，y 的最大值为32

75

（3）假设存在

当0＜x ≤5时，AF=6—x ∴0＜6—x ＜3 ∴3＜x ＜6 ∴3＜x ≤5

作FG ⊥AB 与点G 由△AFG ∽△ACD 可得

∴

CD

FG

AC AF =，即FG =)6(54x -

∴·21AEF =△S x2)6(54x -=x x 5

12

522+

- ∴x x 5

12

522+

-=3，即2x 2-12x +5=0 解之得x 1=266+，x 2=2

6

6-

∵3＜x 1≤5

∴x 1=

26

6+符合题意 ∵x 2=2

6

3266-=-＜3 ∴x 2不合题意，应舍去 ∴存在这样的直线EF ，此时，x =

2

6

6+