湖南省五市十校2015届高三5月联考理科数学试题及答案(2015年5月)

2015届高三5月份仿真模拟考试试卷

数学（理科）

时量：120分钟 分值：150分 命题：浏阳一中 审校：宁乡一中

考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。

2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、 已知集合},,4|{2

R x x x A ∈≤=},4|{Z x x x B ∈≤=,则=?B A （ ） A.)2,0(

B.]2,0[

C.

}2,1,0{

D. }2,0{

2．设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=?21z z （ ） A ．5- B.5 C ．i +-4 D ．i --4 3．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是3

2

， 则正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.

92 C.3

2

D.3 4．下列函数中最小正周期是π的函数是( )

A.sin cos y x x =+

B.sin cos y x x =-

C.sin cos y x x =-

D.sin cos y x x =+ 5．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6. 设不等式组220x y x y y ?+≤??-≥-??≥??

所表示的区域为M ，函数21y x =-的图象

与x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的

概率为( ) A.

2π B. 4π C.8π D. 16

π 7．设{a n }是等比数列，则“a 1

D ．既不充分也不必要条件

8．已知双曲线22

21(0)9x y b b

-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点分别记作C 、

D ,双曲线的右顶点为

E ,

150=∠CED ，其双曲线的离心率为( )

A ．

239 B ．3

2 C ．

3 D ．233

9.如图，过原点的直线l 与圆2

2

1x y +=交于,P Q 两点，点P 在第 一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成 直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，则 函数()y f x =的图像大致是

( )

10.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()

x f x agx =

(0a >，且1)a ≠，

(1)(1)5

(1)(1)2

f f

g g -+=-．若数列(){}()f n g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．）

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分．） 11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为45

35x a t y a t

?=+????=--??

(t 为参数).在极坐标系 （与直

角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ． 12. 如图,PAB 、PCD 为圆O 的两条割线,若5PA =，

7AB =，11CD =，2AC =，则BD = .

13. 若正实数,,a b c 满足232a b c ++=，则当2

2

2

23a b c ++取最小

值时，249a b c ++的值为________.

（二）必做题（14-16题）

14.10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种．

15．已知,a b

是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，

1||c ta b t

++

的最小值是

16..若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作

同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,

0k x x f x x x +

取值范围是__ _．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某

机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；

（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80

年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

O

频率组距

20

30

40

50

60 80

70 0.01 0.03 0.02 年龄

18.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ，

且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B 。 （1）求C 的大小；

（2）求2

2

b a +的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值。

19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,

//,AD BC AD CD ⊥,且22,42,2AD CD BC PA ====,

点M 在PD 上.

（1）求证:AB PC ⊥;

（2）若二面角M AC D --的大小为45 ,求BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.

20.(本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ?

????

n S n n ,都在函数

x

a x x f n

2)(+

=的图象上 （1）求,,,321a a a 归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）；

（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），(),32a a ，(),,654a a a ， (),,,10987a a a a ；()11a ，()1312,a a ，(),,161514a a a ，(),,,20191817a a a a ；()21a ，…..， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求

1005b b +的值；

（3）设n A 为数列?

????

?-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n n

n 23

)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围

A

B

C

D M

P

21.(本小题满分13分)已知12,F F 分另为椭圆

的上、下焦点,1F 是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点, 且15||.3

MF = （1）求椭圆1C 的方程;

（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭圆1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点

P 满足OA OB OP λ+=

,求实数λ的取值范围.

22．(本小题满分13分) 已知函数()e 1x f x ax =--（a ∈R ）．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）函数()()ln F x f x x x =-在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；

（3）若()ln(e 1)ln x g x x =--，当(0,)x ∈+∞时，不等式(())()f g x f x <恒成立，求α的取值范围．

2015届高三第三次仿真考试（理科数学）参考答案

一、选择题

CACDD BBDBA 二、填空题

11.-3 12.6 13.5

14.77 15. 22 16.222k >+. 三、解答题

17．解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：

250.1350.2450.3550.2650.1750.148?+?+?+?+?+?=（岁）….…..4分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为

1

5

. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15

. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.

00331464

(0)()()55125

P X C ===

12

31448(1)()()55125P X C ===

2231412

(2)()()55125

P X C ===

330

3141(3)()()55125

P X C ===

所以，随机变量X 的分布列如下表：

X 0

1

2

3

P

64125 48

125

12

125

1125

因此，随机变量X 的数学期望

64481213()01231251251251255

E X =?

+?+?+?=. ……………..12分 18．解：（I ）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ，

可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，

即C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =， 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，（4分）

因为π<A sin 0，从而C C cos sin =，即4

π

=C 。……………6分

（II ）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得122

2=-+ab b a ，

又22

2b a ab +≤，所以()122122≤+???? ??-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π8

3

=

=B A 时，22b a +取到最大值22+。……………………………12分 19．解：(Ⅰ)如图,设E 为BC 的中点,连结AE , 则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 为平行四边形, 故AE BC ⊥,又22AE BE EC ===,

所以45ABC ACB ∠=∠= ,故AB AC ⊥, 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥,

且PA AC A = ,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥…………………………………5分 (Ⅱ)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP

为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.

则(0,0,0),(22,0,0),(22,22,0),(22,22,0),(0,22,0),(0,0,2)A E B C D P -,

设(0,22,2)(01)PM PD λλλλ==-≤≤

,易得(0,22,22)M λλ-,

设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则1122220

22(22)0

AC x y AM y z λλ??=+=???=+-=??n n

, 令2,y =得22,1t x z t =-=

-,即12(2,2,)1

t

t =--n . 又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ,

由题知12122

122|

|

||1|cos ,|cos45||||24()

1

λ

λλλ?-<>=

==?+-n n n n n n ,解得12λ=, 即(0,2,1),(22,32,1)M BM =- ,而(22,22,0)AB =-

是平面PAC 的一个法向量,

设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,则|812|53

sin |cos ,|9433

BM AB θ--=<>==? . 故直线BM 与平面PAC 所成的角的正弦值为53

9

.…………………………………12分 20．解：（1）因为点(,

)n S n n 在函数()2n a

f x x x

=+的图象上， 故2n n S a n n n =+，所以2

12

n n S n a =+．

令1n =，得111

12

a a =+，所以12a =；

y

A

x

B C z

D

M

P

E

令2n =，得1221

42

a a a +=+

，所以24a =； 令3n =，得12331

92

a a a a ++=+，所以36a =．

由此猜想：2n a n =……………………………………………………4分

（2）因为2n a n =（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以 1006824801988b =+?=．又5b =22，所以5100b b +=2010.………………8分 （3）因为

111n n n a a a -=-，故12111

(1)(1)(1)n n

A a a a =--??- ， 所以12111

1(1)(1)(1)21n n n

A a n a a a +=--??-+ ．

又333

()2222n n n a a a f a a a a a a a

++-=+-=-， 故31()2n n n a A a f a a

++<-对一切*

N n ∈都成立，就是

121113(1)(1)(1)212n n a a a a a

--??-+<-

对一切*

N n ∈都成立．……………9分 设12111

()(1)(1)(1)21n

g n n a a a =--??-+ ，则只需max 3[()]2g n a a <-即可．

由于1(1)1232123

(1)()222121n g n n n n g n a n n n +++++=-?=?

+++224831484

n n n n ++=<++， 所以(1)()g n g n +<，故()g n 是单调递减，于是max 3

[()](1)2

g n g ==．

令3322a a

<-，………………………………………………………………………12分 即 (3)(23)0a a a -+>，解得302

a -<<，或3a >．

综上所述，使得所给不等式对一切*

N n ∈都成立的实数a 的取值范围是3(,0)(3,)2

-+∞ ．………………………………………………………………13分

21．解：(Ⅰ)由题知1(0,1)F ,所以221a b -=, 又由抛物线定义可知15

13

M MF y =+=

,得23M y =,

于是易知262

(,)33M -

,从而2222627()(1)333

MF =++=,

由椭圆定义知1224a MF MF =+=,得2a =,故23b =,

从而椭圆的方程为22

134

x y +=……………………………………………………………6分

(Ⅱ)设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=

知, 120120,x x x y y y λλ+=+=,且22

00134

x y +=,……①

又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,所以有

2

|1|11kt k

+=+,

由0k ≠,可得2

2(1,0)1t

k t t t =

≠±≠-……② 又联立22

(),4312,y k x t x y =+??+=?消去y 得22222

(43)63120k x k tx k t +++-= 且0?>恒成立,且222121222

6312

,4343k t k t x x x x k k

-+=-=++, 所以12122

8()243kt

y y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++…………8分 代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++,所以222

2

443k t k λ=+

又将②式代入得,22224,0,11

()1t t t t

λ=

≠≠±1++,……………………………………10分

易知222222

1111()11,()13

t

t t t +

+>++≠且,所以2

44(0,)(,4)33λ∈ , 所以λ的取值范围为23

{|22,0,}3

λλλλ-<<≠≠±且且…………………………13分 22．解： （Ⅰ）由()e 1x f x ax =--，则()e x f x a '=-．

当0a ≤时，对x ?∈R ，有'()0f x >，所以函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由'()0f x >，得ln x a >；由'()0f x <，得ln x a <， 此时函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；

当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞． ··· 4分 （Ⅱ）函数()()ln F x f x x x =-的定义域为(0,)+∞，

由()0F x =，得e 1

ln x a x x

-=-（0x >） ·················· 5分

令()h x =e 1ln x x x --（0x >），则()h x '=2

(e 1)(1)

x x x

--， ··········· 6分 由于0x >，e 10x ->，可知当1x >，'()0h x >；当01x <<时，'()0h x <，

故函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)e 1h x h ≥=-． ·· 7分

又由（Ⅰ）知当1a =时，对0x ?>，有()(ln )0f x f a >=，即1

11x

x

e e x x

-->?>，

（随着0x >的增长，e 1x y =-的增长速度越来越快，会超过并远远大于y x =的增长速度，而ln y x =的增长速度则会越来越慢．则当0x >且x 无限接近于0时，()h x 趋向于正无穷大.）

当e 1a >-时，函数()F x 有两个不同的零点； 当e 1a =-时，函数()F x 有且仅有一个零点；

当e 1a <-时，函数()F x 没有零点． ···················· 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当0x >时，1x e x ->，故对0,()0x g x ?>>， 先分析法证明：0x ?>，()g x x <． 要证0x ?>，()g x x <，只需证10,

x x

e x e x

-?><，即证0,10x x x xe e ?>-+>， 构造函数()H x =1(0)x x xe e x -+>，则'()0x H x xe =>，

故函数()H x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0H x H >=，则0,10x x x xe e ?>-+>成立． 当1a ≤时，由（Ⅰ），()f x 在(0,)+∞单调递增，则(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立； 当1a >时，由（Ⅰ），函数()f x 在(ln ,)a +∞单调递增，在(0,ln )a 单调递减， 故当0ln x a <<时，0()ln g x x a <<<，所以(())()f g x f x >，则不满足题意． 所以满足题意的a 的取值范围是(,1]-∞． …………13分