导数的概念教案
导数的概念
适用学科 高中数学 适用年级 高中二年级 适用区域
陕西
课时时长（分钟）
60分钟
知识点
变化率与导数的概念；
导数的几何意义与物理意义；
教学目标
1. 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度，理解导数概念
2. 理解曲线的切线的概念，通过函数的图像理解导数的几何意义
3. 掌握初等函数的求导公式，会用定义推导常见函数的导数公式；理解两个函数的和、差、积、商的求导法则，能够综合运用各种法则求函数的导数
4.掌握简单复合函数的导数的推导，简单复合函数的导数的应用
教学重点 导数的概念、几何意义、求导公式和求导法则.
教学难点
导数概念的理解，利用导数概念求函数的导数，简单复合函数的导数.
教学过程
一、复习预习
上节课我们学习了证明方法－－数学归纳法，利用数学归纳法证明有关正整数的命题与整除性问题，不等式问题，本节课我们学习新的内容－－导数。
物体在做自由落体运动时，在某时刻的瞬时速度该怎么计算？
二、知识讲解
考点1变化率
函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率 函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为
1
212)
()(x x x f x f --.
若)()(,1212x f x f y x x x -=?-=?，则平均变化率可表示为
x
y ??.
考点2 导数的概念
(1)．函数)(x f y =在k x x =处的导数 称函数)(x f 在k x x =处的瞬时变化率 0
0()()lim lim
x x f x x f x y
x x
?→?→+?-?=??为函数)(x f y =在k x x =处的导数，记作)('
k x f 或
k
x x y ='
，即
)(0x f '＝00()()lim
lim
x x f x x f x y
x x
?→?→+?-?=??. （2）函数)(x f 的导函数 称函数)(x f '＝0
0()()lim
lim
x x f x x f x y
x x
?→?→+?-?=??为)(x f 的导函数，导函数有时也记作y '. 考点3 导数的几何意义
函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'
x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点())(,00x f x 处切线的斜率．相应地，切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-
．
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知函数2
2x x f =）
（，则在3=x 时的瞬时变化率为（ ）. A ．12 B.18 C.54 D.81 【答案】A 【解析】
x
f x f x y ?-?+=
??)3()3(x x ?-?+=]
3)3[(222x ?+=212； 当0→?x 时，
x
y
??趋近于12，故选A 【例题2】
【题干】 设）（x f 在0x 处可导，下列式子中与）（0x f '相等的是（ ）
;2)
2()(lim )1(00o
x x x x f x f ??--→?
;)
()(lim )2(00o
x x x x f x x f ??--?+→?
;)
()2(lim
)3(00o
x x
x x f x x f ??+-?+→?
;)
2()(lim
)4(00o
x x
x x f x x f ??--?+→?
A ．（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）（4）
【答案】B 【解析】
x x x f x f ??--→?)2()(lim
)1(00o
x x
x x f x x x f o Δx ??--?+?-=→2)
2()22(lim 00)(0x f '= x x x f x x f ??--?+→?)()(lim
)2(000o
x x
x x f x x x f ??--?+?-=→?2)()2(lim 200o x
)(20x f '=
x x x f x x f ??+-?+→?)()2(lim
)3(000o
x x
x x f x x x f ??+-?+?+=→?)()(lim 00o x )(0x f '=
x x x f x x f ??--?+→?)2()(lim
)4(000o
x x x x f x x x f ??--?+?-=→?3)2()32(3lim 00o
x
)(30x f '= 故正确答案为B
【例题3】
【题干】在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线310:3
+-=x x y C 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点
P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .
【答案】（-2，15） 【解析】231022y x x '=-=?=±，又点P 在第二象限内，2-=∴x 点P 的坐标为（-2，15）.
四、课堂运用
【基础】
1.已知函数x x x f +=2
2)(，则在2=x 时的瞬时变化率为（ ） A.4 B.8 C.9 D.10 【答 案】C
【规范解答】x f x f x y ?-?+=
??)
2()2(x x x ?-?-?++?+=222)2()2(222
x x
x x ??+?+?=2)(28x
?+=29
9,
0→??→?x y
x 当
所以)(x f y =在2=x 时的瞬时变化率为9.
2. 已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.1- D.2- 【答 案】 B
【规范解答】解:设切点),(00y x p ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+, 又0'
01
|1x x y
x a
==
=+
00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案 选B
3. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意2)(,>'∈x f R x ，则42)(+>'x x f 的 解集为（ ）
A ． )11(，-
B ． )1(∞+-，
C ． )1(--∞，
D ． )(∞+-∞，
【答 案】B
【规范解答】解：设)42()()(+-=x x f x F ， 则022)42()1()1(=-=+---=-f F ，
又对任意2)(,>'∈x f R x ，所以02)()(>-'='x f x F ， 即)(x F 在R 上单调递增， 则0)(>x F 的解集为),1(+∞-， 即42)(+>x x f 的解集为),1(+∞-．
4. 曲线21x
y xe x =++在点)10(，
处的切线方程为 . 【答 案】31y
x =+
【规范解答】解： 2'++=x
x
xe e y ，斜率3200
=++=e k ，所以x y 31=-，即31y x =+.
5. 已知函数x
e x x x
f x
+=ln )(2
，则=')(x f .
【答 案】2
)
1()1ln 2()(x
x e x x x f x -++=' 【规范解答】解：2
2
2
)()()(ln ln )()(x x e x e x x x x x f x x '-'+'+'='2ln 22x e x e x x x x
x -++=
2
)
1()1ln 2(x x e x x x -++=
【巩固】.
１．已知函数3)2()(2
+'-=x f x x f ，则)(x f 的解析式为 ． 【答 案】32)(2+-=x x x f
【规范解答】解: 3])2([)()(2
'+''-'='x f x x f )
2(2f x '-= 令2=x ，代入)2(22)2(f f '-?='，得2)2(='f ， 所以)(x f 的解析式为32)(2
+-=x x x f 2. 1
()ln (0),3
f x x x x =
->则()y f x = ( ) A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。 B. 在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。
C. 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D. 在区间1
(,1)e
内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
【答 案】D
【规范解答】解: 得x
x x x f 33131)(-=-=
，令0)(>'x f 得3>x ；令0)(<'x f 得30< =+ 。因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()1 2f x ax x ' =+ 存在零点。 再将之转化为()2g x ax =-与()1 h x x = 存在交点.当0=a 不符合题意，当0a >时，数形结合可得显然没有交点，当0a <时，此时正好有一个交点，故有0a <, 即(),0-∞。 4. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值. 【答 案】24,4==b a 【规范解答】()'233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切， ∴()()()'203404,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=???????? =-+==????? 5. 已知曲线1C ：2 ax y =上点A 处的切线为1l ，曲线2C ：3 bx y =上点),1(b B 处的切线为2l ，且21l l ⊥， 垂足为)2,2(M ，求b a ,的值及A 点的坐标. 【答 案】)3 10,10(,21,301-=- =A b a 【规范解答】解:设),(2at a A ，所以1l 的斜率at k 21=，1l 的方程为)(22 t x at at y -=-，又2l 的斜率为 b bx k x 3|3122===，所以2l 的方程为)1(3-=-x b b y ，因为21l l ⊥，垂足为)2,2(M ，所以 ?????-=?=-=--=-1 32)12(32)2(222 12b at k k b b t at at ，所以21,301,10= -==b a t A 的坐标为)310,10(- 【拔高】 1.记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为)(x f '．如果存在],[0b a x ∈，使得 ))(()()(0a b x f a f b f -'=-成立，则称0x 为函数)(x f y =在区间],[b a 上的“中值点”．那么函数x x x f 3)(3-=在区间]2,2[-上“中值点”的个数为 . 【答 案】2 【规范解答】解：∵函数x x x f 3)(3 -=，∴33)(2 -='x x f ． 又4)]2(3)2[(232)2()2(3 3=-?---?-=--f f ， 设]2,2[0-∈x 为函数)(x f y =在区间]2,2[-上的“中值点”． 则4)(40=x f ，得1)(0='x f ． ∴1332 0=-x ，解得3 3 20± =x ． ∴函数x x x f 3)(3 -=在区间]2,2[-上“中值点”为3 3 2± ，其个数为2． 故答案为2． 课程小结 1、平均变化率 一般的，函数()f x 在区间][21x x ，上的平均变化率=??x y 2121 ()() f x f x x x -- 2、导数的概念 函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??即()y f x =在0x x =处的导数,记作0000 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?(也可记为0 x x =' y ) 从求函数()f x 在0x x =处求导的过程可以看到)(0x f '是一个确定的数，那么当x 变化时，)(x f '便是的一个函数，我们称它为()f x 的导函数，记作y x f ''或)(，x x f x x f y x f x ?-?+==→?)()(lim )(0''即 课后作业 【基础】 1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零 【答案】 D 【解析】Δx 可正，可负，但不为0，故应选D. 2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 【答案】 D 【解析】由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2 ＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9 【答案】 D 【解析】f (－1)＝－(－1)2 ＋(－1)＝－2. f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. ∴平均变化率为 f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1) ＝ －1.71－(－2) 0.1 ＝2.9，故应选D. 4．已知函数f (x )＝x 2 ＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09 D ．2.1 【答案】 B 【解析】 f (1)＝5，f (1.3)＝5.69. ∴k AB ＝ f (1.3)－f (1)1.3－1 ＝ 5.69－5 0.3 ＝2.3，故应选B. 5．已知函数f (x )＝－x 2 ＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋Δx D ．(Δx )2 －2·Δx 【答案】 B 【解析】 ∵f (2)＝－22 ＋2×2＝0， ∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2 ＋2(2＋Δx ) ＝－2Δx －(Δx )2 ， ∴ f (2＋Δx )－f (2) 2＋Δx －2 ＝－2－Δx ，故应选B. 6．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝1 2 时的平均变化率为________． 【答案】 6－2 【解析】 Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1 ＝6－2. 7．已知曲线y ＝x 2 －1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________． 【答案】 5 4.1 【解析】当Δx ＝1时，割线AB 的斜率 k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2 －1－22 ＋1Δx ＝(2＋1)2 －2 2 1＝5. 当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2 －1－22 ＋10.1＝4.1. 【巩固】 1．已知函数y ＝x 2 ＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 等于( ) A ．2 B ．2x C ．2＋Δx D ．2＋(Δx )2 【答案】 C 【解析】Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1) Δx ＝[(1＋Δx )2 ＋1]－2 Δx ＝2＋Δx .故应选C. 2．质点运动规律S (t )＝t 2 ＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】 A 【解析】S (3)＝12，S (3.3)＝13.89， ∴平均速度v ＝ S (3.3)－S (3)3.3－3 ＝1.89 0.3 ＝6.3，故应选A. 3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3 、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① 【答案】B 【解析】Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2 在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2 ＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2 ＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化 率k 4＝－11＋Δx ＝－10 13 .∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 4．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( ) A ．v 0 B.Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0) C. s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt D. s (t ) t 【答案】 C 【解析】由平均变化率的概念知C 正确，故应选C. 5．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ? ?? ??1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( ) A.? ?? ??1＋Δx ，14(Δx )2 B.? ?? ??Δx ，14(Δx )2 C.? ????1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.? ?? ??Δx ，14(1＋Δx )2 【答案】 C 【解析】点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(Δx ＋1)2 ，故应选C. 6．已知函数y ＝x 3 －2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________. 【答案】(Δx )2 ＋6Δx ＋12 【解析】 Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23 －2) Δx ＝(Δx )3 ＋6(Δx )2 ＋12Δx Δx ＝(Δx )2 ＋6Δx ＋12. 7．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1 x 的平均变化率为________． 【答案】 －2 9 【解析】Δy Δx ＝12＋Δx － 1 2Δx ＝－14＋2Δx ＝－2 9 . 8．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率． 【答案】 22-； 【解析】函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为 f (－1)－f (－3)－1－(－3) ＝ [2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1] 2 ＝2. 函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为 f (5)－f (0) 5－0 ＝2. 函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为 g (－1)－g (－3) －1－(－3) ＝－2. 函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为 g (5)－g (0) 5－0 ＝－2. 【拔高】 1．过曲线f (x )＝2x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝1 4 时割线的斜率． 【答案】 25 72 - 【解析】割线AB 的斜率k ＝ (2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy Δx ＝2 (1＋Δx )2－2 Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－ 7225 . 2．求函数y ＝x 2 在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ 【答案】 在x ＝3附近的平均变化率最大． 【解析】在x ＝2附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为 k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22 Δx ＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为 k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32 Δx ＝6＋Δx . 对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大． 3．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯． (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率． 【答案】 x y 41)1( ；4 1 )2(. 【解析】(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥ BE ， 则AB AC ＝BE CD ， 即 y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝1 4 x . (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为 x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14 ×14－14 ×0＝72 . 所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7 214＝14 . 即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为1 4. 例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?， 即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 导数的概念（第1课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度 我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述． 教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处： 教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t 《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想． 教学目的 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤； 4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程． 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 教学准备 1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训； 3．制作《数学实验记录单》及上课课件． 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下： 导数的概念（第1课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度 我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述． 1.1.2 导数的概念 教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 教学重难点： 重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 难点：导数概念的理解. 教学过程： 情境导入： 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度. 合作探究： 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知： 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度. 导数的概念 （教案?讲稿?PPT） 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解． 3.使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念 00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ?→?→+?-?==?? 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==?? 对一般函数： ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =?→?→+?-?'==?? x x f x x f x y y x x ?-?+=??='→?→?) ()(lim lim 00 导数 一、导数的相关概念 1、导数的定义： 例1、用导数的定义求下列函数的导数 （1 （2 2、单侧导数（左、右导数）： （1） （2） 例2 3、函 可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即 例3 不可导数，请说明理由。 4、导数的几何意义： 处的切线的斜率。因此， 例3 注意： 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值， 例5、 5、可导与连续的关系 成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。 例4 6 （1） （2） （3） 例5 例6、 二、几种常见函数的导数 1 为常数) 例如：求下列函数的导数： （1（2 2 例如：求下列函数的导数：（1 2 3 3 4 56 例如：求下列函数的导数：（1 7 8 （1 （2三、函数的和、差、积、商的导数 1、法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) ，即 2、法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数3、法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 例7、求下列函数的导数 （1 （2 （3 （4 （5（6 （7 （8 （9（10 （ 11 四、复合函数的导数 1、复合函数： u 称为中间变量。 2、复合函数的导数：设函数u x )在点x 处有导数u ′x (x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (x ))在点x 处也有导数， 或f ′x (x ))=f ′(u ) (x )。 例 例9、写出由下列函数复合而成的函数 《导数的概念》教学设计 胡雪东 一、【教材分析】 1. 本节内容： 《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成. 2. 导数在高中数学中的地位与作用： “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 二、【学情分析】 1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． 2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度． 三、【目标分析】 1. 教学目标 （1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. （2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力． （3）情感、态度与价值观目标： ①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度． ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观． 导数的概念（中级版） 许建芳 一、教学目标 1、知识与技能目标 （1）通过实例的分析，理解平均变化率、瞬时变化率的概念；了解平均变化率与瞬时变化率之间的关系； （2）通过导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及内涵； （3）通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳的能力，并感悟到极限思想. 2、过程与方法目标 （1）通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法； （2）通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法. 3、情感、态度与价值观目标 （1）通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法； （2）通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣. 二、教学重点 导数概念的形成过程及导数概念的内涵. 三、教学难点 对导数概念的理解. 四、教学准备 计算器、多媒体课件等. 五、教学方法 引导探究法：设疑——点拨——引导——探究。 六、教学流程 教 学环节教学内容设计思想师生活动 时 间 创设情景 【展示课件1】 1、播放女子双人10m跳台跳水录像 片段 【展示课件2】 2、奇怪的平均速度： 在10米高台跳水运动中，运动员相 对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时 间t（单位：s）存在函数关系： h（t）=－4.9t 2 ＋6.5t＋10. 计算运动员在 65 49 t ≤≤这段时间 里的平均速度. 【展示课件3】 3、思考下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的 吗？ （2）运动员在 65 49 t=时，速度为0吗？ （3）用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗？ 【展示课件4】 引入新课. 以新开题，扣人 心弦. 新问题：平均速 度为“0”？ 引起学生的好 奇. 让学生带着问 题走进课堂，激发学 生求知欲. 1、师引导学生 观看跳水的轨迹及 速度变化. 2、全体学生计算 平均速度，之后，一 学生回答计算结果. 3、教师抛出三个 思考题. 一学生答题，其 他学生补充; 教师总结. 引 入新课. 8 分 引导探究 任务一：感受平均速度的变化. 【展示课件5-10】 1、函数图像h（t）当t=2，Δt取不 同值时的斜率变化. 2、当Δt取不同值时,尝试计算 (2)(2) 4.9 13.1 h t h t t +?- ==-?- ? v 的值？ Δt vΔt v -0.1 0.1 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 ………. … . ……. … 3、计算 Δt=0.0000001，Δt=-0.0000001时 的值. 【展示课件11】 感受变化，动手 探究. 借助直观的图 像和数据，归纳、探 求导数的概念. 培养学生的探 究意识和探究方法， 培养学生的动手操 作能力. 1、教师讲解图 像的变化. 2、全体同学笔 练，一学生板演. 教师讲解学生 的板演. 3、学生看教材 第四页表. 学生计算. 展示课件. 10 分 第二节 导数的概念及其几何意义 2.2.1 导数的概念 教学设计 教学目标 1．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数。 2．能解释具体函数在一点的导数的实际意义。 3．会求一些简单函数在某一点处的导数。 教学指导 导数概念的建立比较困难，所以学习中可先回顾上一节的概念，体会从平均变化率到瞬时变化率（即导数）的变化过程，从而产生从更一般的角度研究函数瞬时变化率即导数的心理需求。学习中可以相对淡化概念，注重用定义求导数的方法与过程。 知识点归纳 设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为0101)()(x x x f x f x y --=??x x f x x f ?-?+=)()(00当1x 趋于0x 时，即0→?x ，如果 平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数()x f y =在0x 点的瞬时变化率。在数学中，称 为函数()x f y =在0x 点的 ，通常用符号 表示。 重难点剖析 重点：了解导数的概念，会用定义法求导数； 难点：导数概念的理解； 剖析： 1．导数的概念 设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为： 0 101)()(x x x f x f x y --=??x x f x x f ?-?+=)()(00 当1x 趋于0x 时，即0→?x ，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们就说()x f y =在0 x 处可导，并把这个值叫做()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，即 课 题 导数的概念 课 型 新授 时 间 09/ 9 / 课程标准 1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义； 2、先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 一、自主学习 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。（即导数的几何意义） 4.自学检测： （1）见课本（文P66，理P14）练习 第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。 （2）见课本（文P67，理P16）习题 第2题：=)5(f ；=)5(' f ； 第4题：斜率为 ；切线方程为 。 二次备课： 导数的概念 课前预习学案 预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。 预习内容： 1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是3 3()4V r V π = ，求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率. 2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度. 3：求2中当t=1时的瞬时速度。 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。 2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 学习重难点： 1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用 二、学习过程 合作探究 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知： 1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度 t s ??当t ?趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3) x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率， 它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度. 【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时） 【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背 景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确 一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。 【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】： 一） 导数的思想的历史回顾 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。 二）两个来自物理学与几何学的问题的解决 问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2 s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。 问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为 00 ()()s t s t v t t -= - 若0t t →时平均速度的极限存在，则极限 000 ()()lim t t s t s t v t t →-=- 为质点在时刻0t 的瞬时速度。 问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极 导数的概念 樊加虎 导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正. 一、教材分析 1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表： 表1. 知识主体结构比较 表2. 知识迁移类比（导数像速度） 通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法. 1.4 重、难点剖析 重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解. 为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x 0可导→f(x)在开区间（a ，b ）内可导→f(x)在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率 x y ??的极限，是一个常数，区别于导函数. （2） 1 导数的概念 课前预习学案 预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。 预习内容： 1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是33()4V r V π =，求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率. 2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度. 3：求2中当t=1时的瞬时速度。 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。 2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 学习重难点： 1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用 二、学习过程 合作探究 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知： 1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3) x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度. §1.1.2导数的概念 教学目标 1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：计算运动员在49 65 0≤ ≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49 65 ( h h =， 所以)/(0049 65) 0()49 65 ( m s h h v =--=， 虽然运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际 情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况： h t o 思考：当t ?趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ?间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2) lim 13.1t h t h t ?→+?-=-? 表示“当2t =，t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近 似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0' |x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ?=-，当0x ?→时，0x x →，所以000 ()() ()lim x f x f x f x x x ?→-'=- 三．典例分析 例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数. 分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2 再求 6f x x ?=+??再求0lim 6x f x ?→?=? 解：法一（略） 法二：222211113313(1) |lim lim lim3(1)611 x x x x x x y x x x =→→→-?-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2 在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32)1()1(2 200(1)(1)2 (1)lim lim (3)3x x y x x f x x x ?→?→?--+?+-+?-'-===-?=?? 个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：林老师授课时间： .B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2．()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 问题3．求下列函数的导数： ()1()2 1sin y x =+； ()41 1 x x e y e +=-； ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +； ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4．()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - （三）课后作业： 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '= 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值； ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主 元为辅元，变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为 助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析： 问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导，其图象如图所示，记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+ ()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内，则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围.高等数学-导数的概念-教案
高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
《导数的概念》(第1课时)教案1
高等数学导数的概念学习教案.docx
《导数的概念》说课稿与教学说明
《导数的概念》(第1课时)教案1只是分享
高中数学选修2-2教学设计9：1.1.2 导数的概念教案
导数概念 教案
导数定义附可导条件教案
导数的概念教学设计
导数的概念教案
数学高二-选修2教案 第二节导数的概念及其几何意义2.2导数的概念
导数的概念(教案)
3.1.2导数的概念教案
导数的概念教案
导数的概念(教学设计)
3.1.2导数的概念教案(学、教案)
数学：1.1.2导数的概念教案
高中数学导数教案