高二数学同步测试(5)

高二数学同步测试（5）- 球
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；
② 过球面上两点只能作一个球大圆； ③ 过空间四点总能作一个球；
④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的 （ ）
A．3倍 B．27倍 C．3倍 D．倍
3．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4Л，那么这个球的半径为 （ ）
A．4 B．2 C．2 D．
4．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球
的表面积是 （ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
5．在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，
该直线被球面截在球内的线段长为 （ ）
A． B． C． D．
6．半径为R的两个球，一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线圆的周长为（ ）
A． B． C． D．2
7．过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，
则它的侧面三角形的顶角为（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．arccos

8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，则三
棱柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
9．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北
纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，
用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边
紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA＝5cm，
则球的表面积为 （ ）
A．100πcm2 B．100(3＋2)πcm2
C．100(3－2)πcm2 D．200πcm2

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．
11．一个

平面和一个球相切于A点，从球面上一点B作该平面的垂线BC，垂足是C，若AC＝4，BC＝3，则此球的半径是 ．
12．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，那么这两个切点A、B在球面上的最短距离是 ．
13．已知球内接正方体的表面积为S，则球体积等于 .
14．用底面半径2R的圆柱形铁罐做一种半径为R的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应为 ．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分） 如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．










16．（12分）A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，且球心为O，求：
①∠AOB，∠BOC的大小；
②球心到截面ABC的距离；
③球的内接正方体的表面积与球面积之比．





17．（12分）圆锥的内切半球的大圆在圆锥底面上，已知圆锥的全面积与半球的面积之比为18：5，如图，求圆锥的底面半径与母线长之比．









　
　
18．（12分）如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
求这个球的表面积．










19．（14分）如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积．












20．（14分）设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如图，△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．



















参考答案（五）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C C B D D B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13． 14． 2R
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：设球的半径为R、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r, 且它们的体积都为V,
则：, ．
, ．
16．(12分) 解：①∵球面距离（θ为劣弧所对圆心角）, 故易得∠AOB=，∠BOC=，∠AOC=
　②∵OA=OB=OC=1 ∴AB=AC=，BC=1,∴S⊿OBC = ， S⊿ABC=
V0-ABC=·1=·d ∴ d=
③设球的内接正方体棱长为a则a=2 ∴a=, S正方体∶S球面=6·∶4Л=2∶Л
17．(12分) 解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，球半径为R，作圆锥的轴截面SAB，E、F为切点，

18．(12分) 解:设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距
离为d。在三棱锥P

-ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.
由正弦定理，得 =2r,∴r=a. 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。
又PO′===a，∴OO′=R － a=d=,(R－a)2
=R2 - (a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2.
19．（14分）解:设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为，另一边长为·=2，
∴r2=()2+()2=9，∴r=3，故S半球=2πr2+πr2=27π，
V半球=πr3=18π，
即半球的表面积为27π，体积为18π.
20．(14分) 解：如图，∵ AB⊥AD，AB⊥MA
∴ AB⊥平面MAD,设E、F分别为AD、BC的中点，
则EF∥AB ∴ EF⊥平面MAD, ∴ EF⊥ME
设球O是与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球，
由对称性可设O为△MEF的内心，
则球O的半径r满足：r ＝
设AD＝EF＝a，∵ S△MAD＝1,∴ ME＝，MF＝
∴ r＝ ≤ ＝－1,
且当a＝，即a＝时，上式等号成立
∴ 当AD＝ME＝时，与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球的最大半径为－1．
再作OG⊥ME于G，过G作GH⊥MA于H，易证OG∥平面MAB
∴ G到平面MAB的距离就是球心O到平面MAB的距离,∵ △MGH∽△MAE，∴ ＝ ，
其中MG＝－(－1)＝1，AE＝，MA＝＝
∴ HG＝ ＝ , ∵ ＞－1
∴ 点O到平面MAB的距离大于球O的半径,同样，点O到平面MCD的距离大于球O的半径
∴ 球O在棱锥M－ABCD中，且不可能再大，因而所求的最大球的半径为－1．







- 1 -