上海松江区2017年高三数学二模试卷及答案

松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.4

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．已知()21x

f x =-，则1

(3)f

-= ▲ ．

2．已知集合{}

{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M

N = ▲ ．

3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ．

4．直线2232x t y t

?=--??=+??（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．

5．若()1

(2),3n

n

n x x ax

bx c n n -*+=++

++∈≥N ，且

4b c =，则a 的值为 ▲ ．

6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．

7．若函数()2()1x

f x x a =+-在区间[]

0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．

9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1

3

，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．

10．已知椭圆()2

2

2101y x b b

+=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆

上存在点P ，使P 到直线1

x c =的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为

▲ ．

11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与

小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ?的取值范围是 ▲ ．

俯视图

12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项

,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．设a b 、

分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14． 将函数sin 12y x π?

?

=-

??

?

图像上的点,4P t π??

???

向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则 (A) 12t =

，s 的最小值为6

π

(B) 32t =

，s 的最小值为6π

(C) 12t =

，s 的最小值为12

π

(D) 32t =

，s 的最小值为12

π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则

(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

sin 2y x

=

16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：

(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； (3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； (4) 若函数()y f x =存在反函数1

()y f

x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数

()y f x x =-也有零点．

其中正确的命题共有 (A) 1个

(B) 2个

(C) 3个

(D) 4个

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，

41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．

(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；

(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．

18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

设函数()2x

f x =，函数()

g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． (1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；

(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．

19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中

120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．

(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB

和AC 的长度分别为多少米？

(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？

20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

设直线l 与抛物线2

4y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(2

22>=+-r r y x

相切于点M ，且M 为线段AB 中点．

(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；

(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．

21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=++

+，*n N ∈．

(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由； (2) 若13a =，61n

n T =-，求数列{}n a 的通项公式；

(3) 令21*

112122,n n n n

T T n b T T T n n N

+--=?=?

+-≥∈?，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是

“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．

松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）

（参考答案）2017.4

一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分

1． 2 2．

{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6．410π 7． 1[,1]2- 8．9 9．2

9

10．32

11 ．[33,33]-+ 12．1009

二、选择题 （每小题5分，共20分） 13． C 14．A 15. B 16．B

三．解答题（共78分）

17．（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分

),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分

由C A BM 1⊥得01=?C A BM ，即0422=-?h 解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M

()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分

设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =

由00

n AB n AM ??=??

?=??得0

x y z =??

+=?

所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则11

410

sin 5220

n BA n BA θ?=

=

=?? ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10

sin

5

arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1

AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM

所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，1122,210AM A B == 所以1112210

sin 5

210A M A BM A B ∠=

==

……………………12分 所以110

arcsin

5

A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10

sin 5

arc ………………14分

18．（1）由()4()3f x g x =+得242

3x

x

-=?+ ……………………2分

223240x x ?-?-=

所以21x =-（舍）或24x

=， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得22

23a x

x +-≥ ……………………8分

2223a x x +≥+2232a x x -?≥+? ……………………10分

而232

23x x

-+?≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=?=∈即时取等号…12分

所以223a

≥，所以21

1log 32

a ≥+．………………………………14分

19．（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分

1

sin1202ABC S x y ?=??y x ??=43 …………………………4分 y x ??=2832

2283??

? ??+≤y x =28125032

m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，

所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由21

33

AD AB AC =

+ …………………………8分 得2

2

2133AD AB AC ??

=+ ???

2291

9494AC AC AB AB +?+=

…………………………10分 224411

7507501500()15009929

=?+???-+?250000= ||500AD ∴=， …………………………12分

1000500500000?=元

所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ?中， 120cos 222AC AB AC AB BC ?-+=

22750150027501500cos120=+-??7750= ………8分

在ABD ?中，AC

AB AC BC AB B ?-+=2cos 222

7

75075021500)7750(750222??-+=

77

2= …………………………10分

在ABD ?中，B BD AB BD AB AD cos 222?-+=

7

7

2)7250(7502)7250(75022?

??-+==500 …………12分 1000500500000?=元

所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B

)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分

由2CD DB =，求得?????==3250250

0y x ， 所以()

250,2503D …………10分

所以，2

2)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分

1000500500000?=元

所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 20． (1)设AOB △的边长为a ，则A 的坐标为31

(

,)22

a a ±………2分 所以2

134,22a a ??

±=? ???

所以83a =

此三角形的边长为83． ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+

当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分

当0k ≠时，224404x ky b

y ky b y x =+??--=?=?

…………………8分

222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ?=+>+=+=+?+

1

1,AB CM AB k k k k

?=-= 22

23225

CM k

k k b k k b ∴=

=-?=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴?=+=->?<<

22

54211b r k k -==

=++

()230,3k ∴=?，舍去

综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,2

4,5r ∈时，共2条；……………………………12分

()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分

21．：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>，

所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分

（2）由61n n T =-，可以得到当*

2,n n N ≥∈时，

1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=?， ……………………6分

又因为1215a a T ==，

所以1*156,n n n a a n N -+=?∈， 进而得到*

1256,n n n a a n N ++=?∈，

两式相除得

*2

6,n n

a n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253

a =

， 所以1

*22

*

236

21,562,3

n n n n k k N a n k k N

--??=-∈?=???=∈?；

………… …………10分

（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，

当*

2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，

因此，对任意*

n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分

必要性(?)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，

由于121n n n n n b a a a a +++=-=22

12()222n n n a a a b n b bc ++-=++， 所以对于*

n N ∈，212n n b b b +-=为常数，

故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(?)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d

当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。…………15分 假设*

3(1,)n k k k N ≤+>∈时{}n a 为等差数列，

即3213,2,k k k k k k a a d a a d a a d +++=+=+=+ …………16分 当*4(1,)n k k k N =+>∈时，由{}n b 为等差数列，得212k k k b b b +++=， 即：34231212312()()2()k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-+-=-， 所以23121

4333k k k k k k k k a a a a a a a a +++++++-+=

…………17分

3(2)(3)3()(2)()

3k k k k k k k a d a d a d a d a a d a d

++-++++=

+

22

71243k k k k a a d d a d a d

++==++，

因此43k k a a d ++-=，

综上所述：数列{}n a 为等差数列． …………18分