高考数学知识点总结

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高考知识重点概括 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.

(3)集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法

①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).

【1.1.2】集合间的基本关系

(6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,

它有2

2n

-非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

(8)交集、并集、补集

B

{x A A = ?=? B A ? B B ? B

{x A A = A ?= B A ? B B ?

{|x x ()U A =?

e ()U A U =e

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

(1)含绝对值的不等式的解法

(2)一元二次不等式的解法

0)

〖1.2〗函数及其表示

()()()U U A B A B =痧?()()()

U U A B A B =痧?

【1.2.1】函数的概念

(1)函数的概念

①设

A 、

B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f

,对于集合

A 中任何一个数x ,在集合B

中都有唯一确定的数()f x 和它对应,

那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )

叫做集合

A 到

B 的一个函数,记作:f A B →.

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法

①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤

≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足

a x

b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的

集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集

合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <

<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须

a b <.

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:

①()f x 是整式时,定义域是全体实数.

②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤

tan y x =中,()2

x k k Z π

π≠+

∈.

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若

()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数

的定义域的交集.

⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]

f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤

≤解出.

⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个

最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:

①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.

②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数

()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程

2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ?=-?≥,从而确定函数的值域或最值.

④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.

⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为

三角函数的最值问题.

⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.

【1.2.2】函数的表示法

(5)函数的表示方法

表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间

的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念

①设

A 、

B 是两个集合,如果按照某种对应法则f

,对于集合

A 中任何一个元素,在集合

B 中都

有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合

A

到B 的映射,记作:f A B →.

②给定一个集合

A 到集合

B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素

b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大(小)值

(1)函数的单调性

①定义及判定方法

y

x

o

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

[()]y f g x =,令()

u g x =,若

()

y f u =为增,

()

u g x =为增,则

[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为

增,()u

g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.

(2)打“√”函数

()(0)a

f x x a x

=+>的图象与性质

()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数,分别在[0)、上为减函数.

(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数

()y f x =的定义域为I

,如果存在实数M 满足:(1)

对于任意的x I ∈,都有()f x M

≤;

(2)存在

0x I ∈,使得0()f x M

=.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作

max ()f x M

=.

②一般地,设函数

()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有

()f x m ≥;

(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.

【1.3.2】奇偶性

(4)函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数

()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象

(1)作图

利用描点法作图:

①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换

0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=???????→=+左移个单位

右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=???????→=+上移个单位下移|个单位

②伸缩变换

01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=????→=伸

01,1,()()A A y f x y Af x <<>=????→=缩

③对称变换

()()x y f x y f x =???→=-轴

()()y y f x y f x =??

?→=-轴

()()y f x y f x =???→=--原点

1()()y x y f x y f x -==????→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =???????????????→=去掉轴左边图象

保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象

()|()|x x y f x y f x =?????????→=保留轴上方图象

将轴下方图象翻折上去

(2)识图

对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图

函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,

获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

(1)根式的概念

①如果,,,1n

x

a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,

a 的n n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方

根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.

n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当

n 为偶数时,0a ≥.

③根式的性质:

n a

=;当

n

为奇数时,

a

=;当

n

为偶数时,

(0)

|| (0)

a a a a a ≥?==?

-

①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n

a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数

幂等于0.

②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n

n a

a m n N a -+==>∈且1)n >.0

的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质

①(0,,)r

s r s a

a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

③()

(0,0,)r

r r ab a b a b r R =>>∈

【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义 ①若(0,1)x

a

N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x

N =,其中a 叫做底数,

N 叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>.

(2)几个重要的对数恒等式

log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.

(3)常用对数与自然对数

常用对数:lg N ,即10

log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).

(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a

a M N >≠>>,那么

①加法:log log log ()a

a a M N MN += ②减法:log log log a a a

M M N N

-=

③数乘:log log ()n a

a n M M n R =∈ ④log a N a N =

⑤log

log (0,)b

n a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =

>≠且

【2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数

(6)反函数的概念

设函数

()y f x =的定义域为A ,

值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ?=.如

果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ?=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式

子()x

y ?=表示x 是y 的函数,函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,

习惯上改写成

1()y f x -=.

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;

③将1()x

f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数

()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.

②函数

()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.

③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.

④一般地,函数

()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义 一般地,函数

y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α

是常数.

一、二象限(图象关于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶

函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α

>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数

的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与

y 轴.

④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q

p

α

=

(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p

y x

=是奇函数,若

p 为奇数q 为偶数时,则q p

y x

=是偶函数,若

p 为偶数q 为奇数时,则q

p

y x

=是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数

,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若

1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,

其图象在直线

y x =下方.

〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:

12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求

()f x 更方便.

(3)二次函数图象的性质 ①二次函数

2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2b

x a

=-

顶点坐标是24(,)24b ac b a a

--. ②当0a

>时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-

上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b

x a

=-

时,2

min 4()4ac b f x a

-=

;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-

上递增,在[,)2b

a

-+∞上递减,当2b

x a

=-时,2max 4()4ac b f x a -=

③二次函数

2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ?=->时,图象与x

轴有两个交点

11221212(,0),(,0),||||||

M x M x M M x x a =-=

. (4)一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令

2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2b

x a

=-

③判别式:? ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ?

②x 1≤x 2<k ?

③x

1<k <x 2 ? af (k )<0

④k 1<x 1≤x 2<k 2 ?

⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2

? f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合

⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ? 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值

()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01

()2

x p q =

+. (Ⅰ)当0a

>时(开口向上)

①若2b p a -

<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a

->,则()m f q =

02a )q

()f p

x

x

x

x

x x

(q)0x

(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -

<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a

->,则()M f q =

①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a

->,则()m f p =.

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数

))(

(D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即:

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点.

3、函数零点的求法:

求函数

)(x f y =的零点:

1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利

用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数

)0(2≠++=a c bx ax y .

1)△>0,方程02

=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次

函数有两个零点.

2)△=0,方程02

=++c bx ax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程02

=++c bx ax

无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.

x

<

O

-=f (p)

f

(q)

()

2b

f a

-x

<

O

-=f (p)

f

(q)

()

2b f a

-x

<

O

-=f (p)

f

(q)

()2b

f a

-

x x

<

O

-

=f

(p)

f (q)

()2b f a

-

x

<

O

-

=f

(p) f (q)

()2b f a

-

x

高中数学 必修2知识点

第一章 空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图:

正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则:

长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤:

(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;

(2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

(一 )空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=

4 圆台的表面积22R Rl r rl S

ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=

(二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=

底31

3台体的体积

h S S S S V ?++=)3

1

下下

上上( 4球体的体积 33

4

R V π=

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义:平面是无限延展的

2 平面的画法及表示

(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450

,且横边画成邻边的2倍长(如图)

(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理:

(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用:判断直线是否在平面内

222r rl S ππ+= D C

B

A

α L

A ·

α

(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3

:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β

=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系:

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;

平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线

a ∥

b

c ∥b

强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

4 注意点:

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上;

② 两条异面直线所成的角θ

∈(0, );

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系:

(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点

指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示

a α a ∩α=A a ∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:

C ·

B

·

A · α P

· α

L

β 共面直线

=>a ∥c

2

a α

b β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种:

(1)用定义;

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表示:

a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示:

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

p

α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l

β

B

α

2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念:当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α

⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.

12PP =

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那

么它们平行,即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下

才成立的,

缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那

么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程:直线l 经过点),

(000y x P ,且斜率为k )(00x x k y y -=-

2、、直线的斜截式方程:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=

3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程:已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中

),(2121y y x x ≠≠

y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程:已知直线l 与

x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b ,其中

0,0≠≠b a

3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程:关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax (A ,B 不同时为0)

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题:两直线交点坐标

L 1

3x +4y -2=0 L 1:2x +y +2=0 方程组

342

222

0x y x y +-=??

++=? 解:解得 x=-2,y=2

所以L1与L2的交点坐标为M (-2,2)

3.3.2 两点间距离

两点间的距离公式

3.3.3

点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式: 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l

的距离为:2

2

00B

A C

By Ax d +++=

2、两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :

01=++C By Ax ,

2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

第四章

圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程:2

22()

()x a y b r -+-=

圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程

2、点00(,)M x y 与圆2

22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:

(1)2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外 (2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 (3)220

0()()x a y b -+-<2r ,点在圆内

4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程:022

=++++F Ey Dx y x

2、圆的一般方程的特点:

(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线l :0=++c by ax ,圆C :02

2

=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2

,2(E

D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:

(1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;(2)当r d =时,直线l 与圆C 相切; (3)当r d <时,直线l 与圆C 相交;

4.2.2 圆与圆的位置关系

高三数学必背公式总结

高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)

tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa

高考数学高考必备知识点总结精华版

高考前重点知识 第一章?集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性.无序性. 工集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集,记为。包A ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交:A,且x e B} 2、集合运算:交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜:或A o {% £ (/, 且x任A} (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p或q (记作〃pvq〃); p且q (记作〃p 八q〃);mEp(i己作、q〃) o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题:若P则q;逆命题:若q则p; 否命题:若1 P则1 q ;逆否命题:若1 q则]Po ④、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。

@、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说,P是q的充分条件,q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件,记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域:(2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:/(—x) = /(x),②奇函数:/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点 对称;c.求/(-X);&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时,都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数; (2语当X1f(X)则说f(X)在这个区间上是减函数? 二.指数函数与对数函数 指数函数> = /(〃>。且"。1)的图象和性质

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、常见集合:正整数集合: 或 ,整数集合: ,有理数集合: ,实数集合: . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ,但存在元素 ,且 ,则称集合A是集合B的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有 个子集, 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作: . 2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作: . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有惟一确定的数 和它对应,那么就称 为集合A到集合B的一个函数,记作: . 2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 那么 上是增函数; 上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设

高考数学必背公式总结

高考公式大总结 根式 当n 为奇数时,a a n n =; 当n 为偶数时,???<-≥==0,0,a a a a a a n n . 正数的正(负)分数指数幂: 1.n m n m a a =1,,0(*>∈>n N n m a ,且) 2.n m n m a a 1 = -1,,0(*>∈>n N n m a ,且). 整数指数幂的运算性质: (1)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=+ (2)() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0; (3)()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. (4)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=÷- 对数 (1)对数的性质: ① N a N a =log ; ② N a N a =log ; ③ a N N b b a log log log = (换底公式); (2)对数的运算法则: ① ();log log log N M MN a a a += ② ;log log log N M N M a a a -= ③ M n M a n a log log =; 错误! M m n M a n a m log log = ① 常用对数:以10为底的对数叫做常用对 数,并把log 10N 记作_lg 10; ② 自然对数:以_e_为底的对数称为自然对 数,并把loge N 记作ln N . 1.同角三角函数的基本关系 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin =(Z k k ∈+≠,2 ππ α) 2.诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看 象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2 的 奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则正、余弦互变;若是偶数倍,则函数名称不变.“符号看象限”是把α当锐角时,原三角函数式中的2πα?? + ??? 所在象限的原三角函数值的符号. 二倍角公式: αααcos sin 22sin =; ααα22sin cos 2cos -==1cos 22-α =α2sin 21-; α α α2 tan 1tan 22tan -= 三角恒等变换 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±; 解三角形 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === 正弦定理的三种变式:

高考数学必备知识点总结

高考重点知识回顾 第一章-集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n -1个. n 个元素的非空真子集有2n -2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算:交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交:且并:或补:且C (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:)()(x f x f =-,②奇函数:)()(x f x f -=- ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点对称;c.求 )(x f -;d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 (4)函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

高中数学知识点总结超全

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ (1)A A A = (2)A?=? (3)A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ (1)A A A = (2)A A ?= (3)A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体,化成||x a<, ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = (其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=,顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422,。用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(一般式)c bx ax x f ++=2)(,(零点式))()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( (顶点式)。 2、 幂函数n m x y = ,当n 为正奇数,m 为正偶数, m

),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α= r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=x r ,csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是:1cos sin 2 2 =+αα,αα22sec 1=+tg ,αα22csc 1=+ctg ; 倒数关系是:1=?ααctg tg ,1csc sin =?αα,1sec cos =?αα; 相除关系是:αααcos sin = tg ,α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如:=-)23sin( απαcos -,)2 15(απ -ctg =αtg ,=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω),(其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ω π 2= T ,频 率是πω2= f ,相位是?ω+x ,初相是?;其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间: x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ,)(Z k ∈,递减区间是????? ? ++23222ππππk k ,)(Z k ∈;x y cos =的递增区间是[]πππk k 22,-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22,)(Z k ∈,tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ,)(Z k ∈,ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ,)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是:sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

文科高考数学必背公式

文科高考数学必背公式

文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集: 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三:

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα

高考数学必考知识点总结归纳

高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧

若为真,当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真,当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如:函数的定义域是,,,则函数的定 ())()() [] - a a (答:,) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗?

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时,若[]q p a b x ,2∈- =,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; []q p a b x ,2?- =,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =.

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结(最全集) 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。

高考数学必背公式大全

高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多,同学们复习的时候不方便查阅,下面是我给大家带来的高考必背数学公式,希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积

1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为: an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

高三数学必考知识点汇总

高三数学必考知识点汇总 一 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+n-1d. 3.等差中项 如果A=a+b/2,那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 1通项公式的推广:an=am+n-mdn,m∈N_. 2若{an}为等差数列,且m+n=p+q, 则am+an=ap+aqm,n,p,q∈N_. 3若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…k,m∈N_是公差为md的等差数列. 4数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. 5S2n-1=2n-1an. 6若n为偶数,则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数,则S奇-S偶=a中中间项. 注意: 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式: Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,② ①+②得:Sn=na1+an/2

两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. 1若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. 2若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 1定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数; 2等差中项法:验证2an-1=an+an-2n≥3,n∈N_都成立; 3通项公式法:验证an=pn+q; 4前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn. 注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列. 二 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的, 有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?. 另外,若b>0,则有>1?;=1?;<1?. 概括为:作差法,作商法,中间量法等. 3.不等式的性质 1对称性:a>b?; 2传递性:a>b,b>c?; 3可加性:a>b?a+cb+c,a>b,c>d?a+cb+d;

[全国通用]高中数学高考知识点总结

高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。 真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

高考数学必背公式80以及易错点总结

高考必背数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有 个;非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式 (3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为 时,设为此式 4切线式:。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 .

7.方程在内有且只有一个实根,等价于 或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在 处及区间的两端点处取得,具体如下: (1)当a>0时,若,则; ,,. (2)当a<0时,若,则, 若,则,. 9.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如,,不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有 解充要条件是。

(4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。 对于参数及函数.若恒成立,则;若 恒成立,则;若有解,则;若有解,则 ;若有解,则.若函数无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论 10.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也 是减函数; 如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数 也是增函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是 减函数,则复合函数是增函数;如果函数和在其对 应的定义域上都是增函数,则复合函数是增函数;如果函数 和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数 是减函数. 11.常见函数的图像: 12.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.

2019高考数学必考知识点总结归纳

2019高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示 什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴 和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-? ?? ???1013 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨

若为真,当且仅当为假 ?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? [] 0义域是_。 >->=+- 如:函数的定义域是,,,则函数的定 ())()() f x a b b a F(x f x f x [] a a - (答:,) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域)

(完整版)高考数学高考必备知识点总结精华版

高考前重点知识回顾 第一章-集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n -1个. n 个元素的非空真子集有2n -2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算:交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交:且并:或补:且C (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。

③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:)()(x f x f =-,②奇函数:)()(x f x f -=- ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点对称;c.求)(x f -;d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 (4)函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

高考精华总结---高考数学(理科)知识点总结

2013高考数学(理科)知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??==I Y (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y = =, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 50 1539252 2∈--

2020高考数学知识点归纳分享

2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点,高三一轮复习从零开始,完整涵盖高中所有的知识点,第一轮复习是高考复习的关键,是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结,希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于

0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域。 性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义

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