数学分析(2)期末试题A

山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题

（时间：120分钟 共100分）

课程编号：4081102 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适用专业：应用数学\信息计算 试题类别：(A)

一、

单项选择题：（本题共5

小题，每小题2分，共10分）

1. 若

1

()(0),d f t dt x dx

=> 则()f x '等于 ( )

A. 4x -

B. 4x

C.

D. 2. 使得瑕积分

1

1

p dx x

?

收敛的p 的值为 （ ） A. 0p > B. 1p < C. 1p = D. 1p >

3. 已知级数

1

2111

(1)

2,5,n n n n n a a ∞

∞--==-==∑∑ 则级数1

n n a ∞

=∑等于 （ ）

A. 3

B. 7

C. 8

D. 9 4. 若级数

1

(2)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛, 则此级数在4x =处 ( )

A. 条件收敛

B. 绝对收敛

C. 发散

D. 敛散性不确定

5. 设01

1,0,2

()()cos ,1222,1,2

n n x x a f x S x a n x x x x π∞=?

≤≤??==+-∞<<+∞?

?-<

02()cos (0,1,),n a f x n xdx n π==? 则5

()2S -等于 ( )

A. 12

B. 12-

C. 34-

D. 34

二、

填空题：（本题共8小题10个空格，每空2分，共20分）

1. 实数完备性的六个基本定理为: 单调有界定理, ______________, 聚点定理, 区间套定理, 有限覆

盖定理, ______________;

2. 数列{}

1(1)n

+-的上﹑下极限分别为_______, ________;

3. 计算不定积分2

sin xdx =?

______________ ;

4. 设

21,1A

dx x +∞

-∞=+? 则A = ;

5. 级数

11

(2)(12)

n n n ∞

=+++∑的和为________; 6. 级数

ln(1)

(1)1n n n x n ∞

=+-+∑的收敛域为________; 7. 函数2

()x f x e -=展成x 的幂级数为 ;

8. 使得级数21(1)(1)

n

x

n n n ∞

=-++∑条件收敛的x 的值为______________ . 三、

判断下列反常积分的敛散性, 若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共4小题，共20分）

1．

1

sin x

dx x

+∞

?

； 2. 20

+∞

?

;

3. 1

?； 4. 1

?

四、

（本题共2小题，每小题10分，共20分）

1. 级数

11

(1)n p n n

n

∞

+=-∑

当p 为何值时是绝对收敛, 条件收敛或发散的?

2. 设 22

31()ln(1),1,2,

.n u x n x n n

=+= 证明函数项级数1

()n n u x ∞

=∑在[0,1]上一致收敛, 并讨

论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 五、

(本题共两小题，每小题7分，共14分)

1. 求函数0

sin ()x

t

f x dt t

=

?

在0x =处的幂级数展开式, 并确定它收敛于该函数的区间. 2. 把函数2

()(1)f x x =-在(0,1)上展开成余弦级数, 并推出 2

2116n n

π∞

==∑.

六、

(本题共两小题，每小题8分，共16分)

1. 设 12,,,,n a a a 为等比数列(1(0,a ≠公比q 满足02q <<), 试求:

(1) 幂级数

n

n a x ∑的收敛半径; (2) 数项级数1

2n

n

n n a ∞

=+∑

的和. 2. 求幂级数

1

1

2

2

(1)

1

n n n x n +∞

-=--∑的和函数.