二阶倒立摆实验报告材料

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研究生课程实验报告

课程名称：线性系统

实验名称：平面二级倒立摆实验

班级： 12S0441

学号：12S104057

姓名：白俊林

实验时间： 2012 年12 月 21 日

控制科学与工程教学实验中心

1.实验目的

1)熟悉Matlab/Simulink仿真；

2)掌握LQR控制器设计和调节；

3)理解控制理论在实际中的应用。

倒立摆研究的意义是，作为一个实验装置，它形象直观，简单，而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。

2.实验内容

1）建立直线二级倒立摆数学模型

对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。

由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。

2）系统的MATLAB仿真

依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得出系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。控制系统设计过程中需要分析内容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能观

性，能控性。

3）LQR 控制器设计与调节实验

利用线性二次型最优（LQR ）调节器MATLAB 仿真设计的参数结果对平面二阶倒立摆进行实际控制实验，参数微调得到较好的控制效果，记录实验曲线。

4）改变控制对象的模型参数实验

调整摆杆位置，将摆杆1朝下，摆杆2朝上修改模型参数、起摆条件和控制参数，重复3的内容。

3. 实验步骤

1）倒立摆系统模型

在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统，如图1所示。

图1 直线两级倒立摆物理模型

下面利用拉格朗日方程推导运动学方程 。 拉格朗日方程为： ()()(),,,L q q T q q V q q =-

(1)

i d L L

f dt q q

δδδδ-= (2)

123M m m m T T T T T =+++

(3)

111m m

m T T T '''=+ (4) 222m m

m T T T '''=+ (5)

21

2

M T Mx =

(6)

()()22

11111122211111111sin sin 1211

cos 22

m d x l d l T m dt dt m x m l x m l θθθθθ??-???? ?

'=+ ? ? ???????=-+ (7)

222221111111111112236m

p T J m l m l ωθθ??

''=== ???

(8)

则

'''2

2211111111

11112cos 23

m m m T T T m x m l x m l θθθ=+=-+ (9)

同样可以求出

()()

22

'112211222

222221112222111222(2sin sin (2cos cos )112211

2cos cos 2sin sin 22

m d x l l d l l T m m dt dt m x l l m l l θθθθθθθθθθθθ--+????

=+ ? ?????

=--++

(10)

''

22222

22222222211112236m T J m l m l ωωθ??=

== ???

(11)

(

)(

)

()'''222221112222222211221212211

22cos cos 2

1444cos 23m m m T T T m x x l l m l l l l θθθθθθθθθθ=+=

-+??+++- ???

(12)

22

11113322233111311(2sin )(2cos )121

2cos 22

m d x l d l T m dt dt m x m l x m l θθθθθ??-????=+ ? ? ? ???????

=-+ (13)

因此，可以得到系统的总动能为：

(

)(

)

()123

22221111111122111222

22222112212122122233111311112

cos 2231

22cos cos 21444cos 231

2cos 22M m m m T T T T T Mx m x m l x m l m x x l l m l l l l m x m l x m l θθθθθθθθθθθθθθθθ=+++=

+-++-+??+++- ???+-+ (14)

系统的总势能为：

()

123

11131121122cos 2cos 2cos cos m m m V V V V m gl m gl m g l l θθθθ=++=+++ (15)

从而拉格朗日算子：

(

)(

)

()2222111111112211122222222112212122122233111311111311211112

cos 2231

22cos cos 2

1444cos 231

2cos 2cos 2

2cos 2cos L T V

Mx m x m l x m l m x x l l m l l l l m x m l x m l m gl m gl m g l θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-=

+-++-+??+++- ???+-+---()22cos l θ+

(16)

由于因为在广义坐标 21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：

11

0d L L

dt θθ????-

= ????? (17)

22

0d L L

dt θθ????-

= ????? (18)

展开（17），（18）式，分别得到（19），（20）式

2222121231122221123116sin()4(3())3(2cos()(2())(sin cos ))0

m l m m m l m l m m m g x θθθθθθθθθ-+++---++++=(19)

22111222112123sin 6sin()46cos()3cos 0g l l l x θθθθθθθθθ---++--=(20)

将（19），（20）式对2

1,θθ 求解代数方程，得到以下两式

11121312212

2221121212212211213121222112321(3(2sin 4sin 4sin 3cos()sin 6cos()sin()4sin()2cos 4cos 4cos 3cos()cos ))/(2(412129cos (gm gm m g m g m l m l m x m x m x m x l m m m m θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=---+-+--+----+----+-2)))

θ(21)

22221231221112222212122221212311222222212312212124((3())(3sin 6sin()3cos )

9

2

cos()(6sin()3(2())(sin cos )))/316((3())4cos ())9

m m m m l l g l x m l l m l m m m g x m m m m l l m l l θθθθθθθθθθθθθθθ=--++----+---+++-+++-

(22)

表示成以下形式：

111212(,,,,,,)f x x x θθθθθ= (23)

221212(,,,,,,)f x x x θθθθθ=

(24)

取平衡位置时各变量的初值为零，

1212(,,,,,,)(0,0,0,0,0,0,0)0A x x x θθθθ===

(25)

将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:

1110

0A f K x

=?=

=? (26)

1231120

112313(244)

2(4312)A gm gm gm f K m m m l θ=---?=

=

?---

(27)

12130

2

1231

92(4312)A f m g

K m m m l θ=?=

=?---

(28)

1140

0A f K x

=?=

=? (29)

1150

10A f K θ=?=

=? (30)

1160

2

0A f K θ=?=

=? (31)

1231170

1231

3(24)

2(4312)A m m m f K x

m m m l =---?=

=

?---

(32)

带入（21）式，得到线性化之后的公式

112113217K K K x θθθ=++

(33)

将（24）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令

2210

0A f K x

=?=

=? (34)

1232220

1

221232

2(2())

16

4(3())9

A g m m m f K m l m m m l θ=++?=

=

?-++ (35)

12322302

2212324(3())163(4(3()))

9

A g m m m f

K m l m m m l θ=++?==-?-++

(36)

2240

0A f K x

=?=

=? (37)

2250

10A f K θ=?=

=? (38)

2260

2

0A f K θ=?=

=? (39)

12312322702212324

2(2())(3()

3164(3())9

A m m m m m m f K x m l m m m l =++-++?==?-++ (40)

带入（22）式，得到

222123227K K K x θθθ=++

(41)

即：

112113217K K K x θθθ=++ (42)

222123227K K K x θθθ=++

(43)

现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程

u x = (44) 取状态变量如下：

12

132

4

5162

x x x x x x x x θ

θθθ=??=??=??=??=?=?? (45)

由（33），（41），（42）式得到状态空间方程如下：

1122334451213517622

23

6270001000000

01000000010000000100000000x x x x x x u x x x K K x K x K K x K ????????

???????????

?????

????????

=+???

?????????????????????

????????

????????????????

(46)

其中直线两级倒立摆系统参数为：

M

小车质量 2.32kg 1m 摆杆1质量 0.04kg 2m

摆杆2质量 0.132kg 3m

质量块质量 0.208kg

1θ 摆杆1与垂直向上方向的夹角 2θ

摆杆2与垂直向上方向的夹角 1l 摆杆1到转动中心质心的距离 0.09m 2l

摆杆1到转动中心质心的距离 0.27m F

作用在系统上的外力

由以上方程，将以下参数代入

1

2312

1.320.040.1320.2089.80.090.27M m m m g l l =??=??=?

=??=?

=??=? (47)

求出各个K 值：

12221323172777.0642

-38.5321

-21.192737.81865.7012

-0.0728

K K K K K K ====== (48)

得到状态矩阵为： A =

0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 86.6907 -21.6172 0 0 0 0 -40.3112 39.4500 0 0 0 B = 0 0 0 1.0000 6.6402 -0.0877 C =

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

D=[0 0 0 0 0 0]'

2）根据建模结果仔细计算并寻找合适的理论控制器参数。

设R=1，Q=diag([200 300 300 0 0 0])，利用matlab提供的lqr函数，可求得：

K =

14.1421 103.1881 -174.1691 15.2682 3.0199 -28.2451

3）进入matlab command窗口，键入仿真文件，进行仿真实验利用固高公司提供的Simulink方框图，输入控制参数k，进行实物仿真，并通过调整Q的值来调整k的值，以达到控制系统的设计要求。

通过调节参数请仔细观察思考控制器参数对系统瞬态响应和稳态响应的影响。找到几组合适的控制器参数作为实际控制的参数。

4）倒立摆系统实物调试具体步骤如下：

将小车推到导轨的中央，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态，给小车的驱动器的电源接通电源，进入MATLAB的SIUMLINK中，调出实物仿真文件，填入设计的控制器参数(0,pi,pi)，编译，连接实物，双手将倒立摆竖直的缓慢的立起，倒立摆进入到与竖直方向夹角小于10度的范围内，控制器启动，观察控制器的控制效果。成功后，从新设计控制器，并使参考位置为设为(0,0,pi)，重复(0,pi,pi)试验过程。

5）将保存的实验数据画出图形，分析实际控制效果与仿真曲线的区别。

4.实验数据和曲线

实验一中，实验数据为：

Q=diag([200 300 300 0 0 0])

K =

14.1421 103.1881 -174.1691 15.2682 3.0199 -28.2451 实验仿真曲线为：

图2 参考位置为设为（0，pi，pi）仿真图

实验实物曲线为：

图3 参考位置为设为（0，pi，pi）实验曲线

实验二数据为：

k =

-14.1421 -55.3918 121.8639 -13.4838 -5.8227 20.6980 Q=diag([200 300 100 0 0 0])

实验二数据为：

Q=diag([200 300 300 0 0 0])

K =

-14.1421 -56.2117 124.5101 -13.6940 -5.8802 21.0735 实验仿真曲线为：

图4 参考位置为设为（0，0，pi）仿真图实物仿真曲线为：

图5 参考位置为设为（0，0，pi）实验曲线

5.实验结果分析

从仿真和实验曲线来看两个实验都达到了预期目标。两实验的仿真曲线都约在2.5S左右达到平衡位置，而实际结果来看，第一个实验在12S左右才达到平衡，第二个实验相对较好，摆杆在5S 左右达到平衡，但是小车位置确一直在滑动。设备实际运行结果没有仿真结果好，这说明模型与实际系统是存在差别的。

6.实验收获和新实验内容设想

相比其他实验而言，这个实验有很多特别的地方：首先，本实验有一定的危险性，在手动立起来时小车带着二阶倒立摆快速的移动，容易伤人；因此实验时需要特别小心，同时也要注意队员之间的默契配合；其次，本实验为二阶摆，摆杆不能自己立起来，需要手动扶起来，在摆杆快到目标角度时，手需要特别的轻并且要稳，否则小车速度过高系统停止工作，导致实验失败。

通过本实验，从新复习了Matlab/Simulink环境下的控制系统设计，了解了控制系统设计的过程，加深了线性系统理论知识的理解，体会了现代控制的魅力。