高中数学 第一章 推理与证明 归纳推理与类比推理异同点比较素材讲解 北师大版选修2-2
归纳推理与类比推理异同点比较
合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.
一.归纳推理和类比推理的联系:
归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.
二.归纳推理和类比推理的区别:
(一) 归纳推理
1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
说明：归纳推理的思维过程大致如下：
2.归纳推理的特点:
（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.
3.归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同本质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．
说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．
(二).类比推理（以下简称类比）
1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2. 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：
类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.
例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n= ．
【答案】 a n=3n2-3n+1.
【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且
关于中间行上下对称, a 3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n 个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n 个,而且关于中间行上下对称,因此
a n =n+(n+1)+…+(2n -1)+…+(n+1) + n=3n 2
-3n+1.
【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.
例2.如图，过四面体V-ABC 的底面上任一点O 分别作OA 1∥VA，
OB 1∥VB，OC 1∥VC，A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面交点． 求证：VC
OC VB OB VA OA 111++为定值． 分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC （底）边 AB 上任一点O
分别作OA 1∥AC，OB 1∥BC，分别交BC 、AC 于A 1、B 1，求证BC
OB AC OA 11+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A 、O 分别作BC
垂线，过B 、O 分别作AC 垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是
类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．
证明：如图，设平面OA 1 VA∩BC＝M ，平面OB 1 VB∩AC＝N ，平面
OC 1 VC∩AB=L，则有△MOA 1∽△MAV，△NOB 1∽△NBV，△LOC 1 ∽△ LCV．得
VC OC VB OB VA OA 111++=CL
OL BN ON AM OM ++。 在底面△ABC 中，由于AM 、BN 、CL 交于一点O ，用面积法易证得：
CL OL BN ON AM OM ++=1。∴VC
OC VB OB VA OA 111++=1。
【知识小结】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
高二数学 归纳推理演绎推理
3月5日 高二理科数学测试题 1．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．传递性推理 2．下列正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是由特殊到一般的推理 C ．归纳推理是由个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤 3．下面几种推理中是演绎推理．．．． 的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=； B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ． 4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5．设 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x)＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命 题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 7.观察下列等式： 1－ ； 1－ ；1－ ...... 据此规律，第n 个等式可为______________________. 8.观察下列等式：,……，根据上述规律， 第五个等式为 ______________________. 1122=1111123434+-=+1111111123456456+-+-=++332123,+=3332 1236,++=33332123410+++=
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结
《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a
２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
高考数学经典常考题型第99专题 归纳推理与类比推理
第99专题训练 归纳推理与类比推理 一、基础知识: (一)归纳推理: 1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路: (1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 (2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律) (3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型: (1)函数的迭代:设 f 是 D D →的函数,对任意 x D ∈,记 ()()()()()()()()()()() ()0121,,, n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +??====??????,则称函数 ()()n f x 为()f x 的n 次迭代； 对于一些特殊的函数解析式,其() ()n f x 通常具备某些特征(特征与n )有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到() ()n f x 的通式 (2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出某项或分组(按周期分组)进行求和。 (3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式) (4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示,其中i 代表行,j 代表列。例如:34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n 行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。 (二)类比推理:
高中数学 数学归纳法
13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳
全国高考数学复习微专题： 归纳推理与类比推理
归纳推理与类比推理 一、基础知识： （一）归纳推理： 1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路： （1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律） （3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型： （1）函数的迭代：设f 是D D →的函数，对任意x D ∈，记 ()()()()()()()()()()()()0121,,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +??====??????L ，则称函数 ( ) ()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其()()n f x 通常具备某些特征 （特征与n ）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到() ()n f x 的通式 （2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。 （3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列。例如：34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二）类比推理：
高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理 教案
类比推理 一、教学目标 1、知识与技能： （1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义； （2）能利用类比进行简单的推理； （3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。 二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。 注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 ①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。 （二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 （三）、例题探析 例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？ 解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 《合情推理—归纳推理》(1)
2.1.1 合情推理—归纳推理 同步检测 一、基础过关 1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________ 2．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>7 2， 推测当n≥2时，有________． 3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝3 2. 通过观察上述两等 式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 4．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 5．数列－3,7，－11,15，…的通项公式是________． 二、能力提升 6．设x ∈R ，且x≠0，若x ＋x － 1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________． 8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________． 9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题． (1)按照要求填表：
n 1 2 3 4 … S n 1 3 6 … (2)S 10＝________.(3)S n 10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1 S n ＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4， 并猜想S n 的表达式． 12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？ (2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 三、探究与拓展 13．在一容器内装有浓度r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液1 4a 升，搅匀后再倒出溶 液1 4a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练
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归纳推理类比推理复习
〖学习目的和要求〗 学习这一章，应当掌握归纳推理的特点，了解归纳推理与演绎推理的联系和区别；掌握完全归纳推理、简单枚举法的内容、公式和特点；掌握穆勒五法的内容和公式；识别用自然语言表述的推理是否为归纳推理；识别具体的归纳推理是完全归纳推理还是枚举法或科学归纳法。 要求： 1.需要记忆的内容 ①归纳推理的定义和归纳推理的特点。 ②完全归纳推理的定义和完全归纳推理的特点。 ③不完全归纳推理的定义、简单枚举法的特点及应用该方法容易犯的逻辑错误、科学归纳法的定义和特点。 2.需要理解的问题 ①演绎和归纳的区别与联系。 ②应用枚举法容易犯的错误－－以偏盖全、轻率概括。 3.需要掌握的应用分析能力 能够分析应用枚举法所犯的逻辑错误。 〖试题例析〗 1.考核本章涉及的主要基本概念 ⑴ 填空题 ① 简单枚举法是以考察一类事物中的部分情况作为主要依据，且又未发现反例而作出一般性结论的。 ② 科学归纳法是根据某类部分对象与某属性之间具有因果联系从而推出一般性结论。 ③ 穆勒五法是求同法、求异法、求同求异并用法、共变法和剩余法。 ④ 归纳推理和演绎推理的关系是 a. 演绎推理的大前提要靠归纳推理来获取； b.归纳推理的结论是否正确有待演绎推理的论证和补充；它们是相互联系相互补充的。 【分析】 以上题目属于考察考生对本章应当记忆的基本内容的掌握情况。这些内容，只要认真学习教材，就能够填写。 ⑵选择题 ① 完全归纳推理是Ｂ。 Ａ.或然性推理Ｂ.必然性推理 Ｃ.既非或然性推理而又非必然性推理；Ｄ.既是或然性推理又是必然推理 ② 运用简单枚举法容易犯的逻辑错误是Ｂ。 Ａ.机械类比Ｂ.以偏概全Ｃ.以相对为绝对Ｄ.预期理由 【分析】 以上考核的仍然是基本概念，需要认真看教材。 2.应用分析能力的考核 ⑴ 选择题 ① 下面这些结论中，不能用完全归纳法得到的是ＡＣ。
高中数学中的类比推理问题
类比推理问题一咼考命题新亮点 类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的 比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创 造性的方法，而且更能体现数学的美感。 （一）不同知识点之间的类比 数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计 展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可 以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理 【例1】若从点0所作的两条射线 0M 、ON 上分别有点Ml 、M2与点Ni 、N 2,则三角形面积之 别有点Pi 、P2与点Qi 、Q2和Ri 、R2，则类似的结论为： ______________________________________ 【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想 OP. OQ. OR. - J J （证明略） 「,」（明略） 评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空 间三棱锥体积比的相应结论。 【例2】在 丄二町 中有余弦定理： 丄N ：：：__/_.拓展到空间，类 比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱亠"-」的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间 的关系式，并予以证明。 【分析】根据类比猜想得出 瞌如=认 +孔的鸟—23_^斗 ■'?「.’ '其中T 为侧面为 -与“〔丁 I 所成的二面角的平面角。 证明：作斜三棱柱-甘- 的直截面DEF,则一-二匕 为面与面"I' 所成角, 比为: _二：若从点0所作的不在同一个平面内的三条射线 Q 舗 了 OP 、0Q 和OR 上分
归纳推理-高中数学知识点讲解
归纳推理 1．归纳推理 【知识点的认识】 1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别 事实概括出一般结论的推理． 推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}， ?1具有属性? 具有属性?} ? ? ??类事物中的每一个对象都可能具有属性? ? 2．特点： （1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容 的范围； （2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具； （3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现 问题和提出问题． 3．作用： （1）获取新知，发现真理； （2）说明和论证问题． 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想． 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论． 1/ 4
（1）考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同． 例 1：下列表述正确的是（） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤ 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正确的 故选D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一 个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到 特殊的推理过程． 例 2：下列推理是归纳推理的是（） A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线 B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式 ?2 ?2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+ ?2 ?2 =1的面积 S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断． 2/ 4
高二数学选择进修2-2第二章推理与证明
高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时
高中数学类比推理综合测试题有答案
高中数学类比推理综合测试题（有答案）选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理 一、选择题 1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的 ．合情推理必须有前提有结论B ．合情推理不能猜想CD．合情推理得出的结论无法判定正误 ] B[答案[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确， 故应选B. 2．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180 ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)180 A．①② 页 1 第 B．①③④ C．①②④．②④D [答案] C[解析] ①是类比推理；②④
都是归纳推理，都是合情推理． 3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到 四面体的体积为() 13abcV＝A．＝13ShB．VC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径) 为四面体的高)＋bc＋ac)h(h13(abD．V＝答案[] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C. 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是() ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都 页 2 第 相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ．①A B．①②C．①②③ D．③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹
高中数学《合情推理—归纳推理》公开课优秀教学设计
《合情推理—归纳推理》教学设计 （人教A版高中课标教材数学选修1—2第二章2.1第一课时） 2016年10月
《归纳推理》教学设计 一、教学内容分析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1—2第二章《推理与证明》2.1《合情推理与演绎推理》的第一课时《归纳推理》，归纳推理为合情推理的一个类型.本课作为本章节的起始课要了解推理的含义，通过实例进一步了解归纳推理的含义，通过对归纳推理过程的感知，了解推理过程，进而能利用归纳进行简单的推理. 归纳推理是合情推理的一个重要类型，数学发现的过程往往包含有归纳推理的成分，在人类文明、创造活动中，归纳推理也扮演了重要的角色.归纳推理是作为一种思维活动存在的，教学的内容不是学习某一具体知识，而是感悟一系列的思维过程，逐步形成一种“思维习惯”，作为起始课形成习惯是困难的，但体验“过程”是相对容易的，“体验之旅”将成为本节课的主线.归纳推理的过程我们概括为“观察—分析—归纳—猜想”，对于“证明”我们暂不做要求，因此重点感悟归纳推理的过程，证明做适当引导. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，这本身就体现了特殊与一般的数学思想，由于猜想结果超出了前提界定的范围，前提与结论之间的联系不是必然的，这又体现了必然与或然的数学思想.本课中的实例在数学史中都是赫赫有名的，“四色猜想”、费马数、哥德巴赫猜想、问题4中的毕达哥拉斯平方数等，这些实例展现了一代代数学家对于数学的好奇心和想象力体现了他们不畏困难，坚持不懈的探索精神，抓住这些内容可以培养学生“勇于探究”的精神，这一精神正是新一轮课程改革强调的学生核心素养中“科学精神”的重要体现。新一轮的课程改革即将到来，作为普通教师也有必要在教学中未雨绸缪，避免大寒索裘.数学思想和数学文化将作为本课的一条暗线穿插于教学内容之中. 本节课的教学重点：了解归纳推理的含义，通过实例，掌握“观察—分析—归纳—猜想”的推理过程. 二、教学目标设置
法律逻辑练习题第八章归纳推理与类比推理.doc
第八章归纳推理与类比推理 练习题 一、名词解释 1．简单枚举归纳推理2．完全归纳推理3．轻率概括4．契合法 5 ．差异法 6．共变法7．类比推理 二、填空题 1．“因为24 不是素数，25 不是素数，26 不是素数，27 不是素数，28 不是素数，所以24 至28 之间没有素数。”这个推理是（）推理。 2．运用简单枚举归纳推理应防止（）的逻辑错误。 3．根据一类事物包含的许多对象都具有某种属性，从而推知该类事物都具有某种属性， 这样的推理叫（）推理。 4．已知“甲是团员，乙是团员，丙是团员，而他们都是 A 班的学生。”据此，运用归 纳推理，可以得出的结论是（）。 5．完全归纳推理可分为（）和（）两种类型。 6．某生物学家对候鸟黄脚鹬初始下蛋的时间，连续进行了十四年的观察记载后，得知这种鸟：第一年的初始下蛋时间是5月28日；第二年的初始下蛋时间是5月26日；第三年的初始下蛋时间是5月29日；第四年的初始下蛋时间是5月26日；……第十三年的初始下蛋时间是5月29日；第十四年的初始下蛋时间是5月27日。根据上述记载，运用归纳推理，可得出结论（ ）。 7．“蛋粉和奶粉都是粉状食品，都不能用高温杀菌，而奶粉可以用充氮的方法杀菌防腐，所以，蛋粉也可以用充氮的方法杀菌防腐。”这个推理属于（）推理。 8．某地在两个月内连续发生三起爆炸案，经侦查发现：三起爆炸案所使用的炸药、引爆方式相同，犯罪分子选择的作案时间大体相同，侵害目标相似。侦查人员据此推测认为:“这三起爆炸案是同一作案人所为”。侦查人员在这里运用的是（）推理。 9．根据两个或两类对象某些属性相同或相似，从而推知它们在另一种属性上也相同或相似的推理，叫（）推理。 三、单项选择题 1．“桦桦中学的教师都是大学毕业的”这一论断（）。 ①只能通过完全归纳推理得出②只能通过简单枚举归纳推理得出 ③不能通过简单枚举归纳推理得出，也不能通过完全归纳推理得出 ④既能通过完全归纳推理得出，又能通过简单枚举归纳推理得出 2．“某甲会英语、某乙会英语、某丙会日语、某丁会法语，而他们都是 A 厂的厂级领 导干部”，根据上述情况，若运用归纳推理，可以推出的结论是（）。 ①A厂有的厂级领导干部会英语②A厂的厂级领导干部都会英语 ③A厂的厂级领导干部都会外语④A厂的厂级领导干部都会英语、日语和法语 3．如果要在甲、乙两块土质不同的地里种玉米，并运用差异法确定玉米品种A 是否比玉米品种B 的产量高，播种时就应这样来安排实验，即（）。 ①在甲地分片种A、B两种玉米，并且在乙地分片种A、B两种玉米 ②在甲地种A 品种玉米，在乙地种B 品种玉米 ③在甲、乙两块地里都种A种玉米④在甲、乙两块地里都种B种玉米 4?根据“ S i是P”，“S2是P”，……“ S n是P”，从而得出结论“所有S是P”。如果这
高考数学推理与证明
第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.
五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;
②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
高考数学复习点拨 归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较 合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理. 一.归纳推理和类比推理的联系: 归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明. 二.归纳推理和类比推理的区别: (一) 归纳推理 1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 说明：归纳推理的思维过程大致如下： 2.归纳推理的特点: （1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围． (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具． (3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法. 3.归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同本质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题． 说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的． (二).类比推理（以下简称类比） 1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2. 类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：
高中数学归纳推理测试题(有答案)
高中数学归纳推理测试题（有答案） 选修2-22.1.1第1课时归纳推理 一、选择题 1．关于归纳推理，下列说法正确的是() A．归纳推理是一般到一般的推理 B．归纳推理是一般到个别的推理 C．归纳推理的结论一定是正确的 D．归纳推理的结论是或然性的 [答案] D [解析]归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D. 2．下列推理是归纳推理的是() A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积r2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝ab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B [解析]由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B. 3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()
A．28 B．32 C．33 D．27 [答案] B [解析]因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜测x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故应选B. 4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是() A．2n－2－12 B．2n－2 C．2n－1＋1 D．2n＋1－4 [答案] B [解析]∵a1＝0＝21－2， a2＝2a1＋2＝2＝22－2， a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2， 猜想an＝2n－2. 故应选B. 5．某人为了观看2019年奥运会，从2019年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2019年