人教版九年级数学上学期第22章学案:实际问题与一元二次方程2
§22.2.1《实际问题与一元二次方程》学案
学前准备:
自学课本第50 页———第51 页内容,尝试自主解决以下问题:
1、阅读探究三尝试回答下列问题:
(1)你读取到了哪些信息?
(2)题目中哪些量是已知的,哪些量是未知的?
(3)你认为哪些是解决问题关键字句?
(4)由这些关键字句找到未知量之间的关系了吗?
(5)你认为怎样设未知数比较合理?
解:设______________________________________________.
列方程:_______________________________
整理,得_______________________________
解方程,得_____________________________.
x1≈_______,x2≈______
所以:9x1=________(舍去),9x2=________,
7x2=________。
答:上、下边衬的宽均为_______cm,左、右边衬的宽均为________cm.
2、如果换一种设的方法是否可以更简单的解决上面问题?请简要说明。
3、通过预学,你还有哪些疑惑?
自主探究:
有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)
合作探究:
问题某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,?上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
巩固练习:
1.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为().
A B.5 C D.7
2.有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是().A.第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长16m,宽27m;
B.第一块木板长12m,宽6m,第二块木板长10m,宽18m;
C.第一块木板长9m,宽4.5m,第二块木板长7m,宽13.5m;
D.以上都不对
3.从正方形铁片,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是().
A.8cm B.64cm C.8cm2D.64cm2
课堂小结:你掌握了今天的重点内容了吗?这节课你有那些收获?
课堂检测:
1.矩形的周长为1,则矩形的长和宽分别为________.
2.长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________.
3.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______.
布置作业:
必做题:P53 习题22.3第1题(3)、(4);第3、5、10题
选作题:教科书第53页习题22.3第8题
人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习(供参考)
一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项 系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1.降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 3、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是:①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法:公式法是用求根公式,解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: 当ac b 42->0时,方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时,方程有两个相等实数根。 当ac b 42-<0时,方程没有实数根。
5、因式分解法:先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解叫因式分解法。这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式:一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21,a c x x =21。 练习 一、选择题。(每小题5分,共30分) 1、方程2x -9=0的解是 ( ) A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是( ) A、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中,有两个不等实数根的是( ) A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???,若设2y x x =+,则原方程可化为( ) A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --= 5、设a b ,是方程220090x x +-=的两个实数根,则22a a b ++的值为( ) A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 6、某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2007年投入3 000万元,
九年级数学专训1一元二次方程的解法归类
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金:解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等.在具体的解题过程中,结合方程的特点选择合适的方法,往往会达到事半功倍的效果. 限定方法解一元二次方程 形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.方程4x2-25=0的解为( ) A.x=B.x= C.x=±D.x=± 2.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为( ) A.x2-5=5 B.-3x2=0 C.x2+4=0 D.(x+1)2=0 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解 3.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程变为( ) A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=1 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=2 4.解方程:x2+4x-2=0. 5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求的值. 能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解
6.(中考·宁夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( ) A.-1 B.0 C.1和2 D.-1和2 7.解下列一元二次方程: (1)x2-2x=0; (2)16x2-9=0; (3)4x2=4x-1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式,则用公式法求解8.用公式法解一元二次方程x2-=2x,方程的解应是( ) A.x=B.x= C.x=D.x= 9.用公式法解下列方程. (1)3(x2+1)-7x=0; (2)4x2-3x-5=x-2. 选择合适的方法解一元二次方程 10.方程4x2-49=0的解为( ) A.x=B.x=
(完整word版)初中数学一元二次方程复习专题
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ,则 12b x x a +=-,12c x x a ?= 适用题型:(1)已知一根求另一根及未知系数; (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程; (4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根); (6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意:(1)222 121212()2x x x x x x +=+-? (2)22121212()()4x x x x x x -=+-?; 12x x -= (3)①方程有两正根,则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?; ②方程有两负根,则1212 000x x x x ?≥?? +??>? ; ③方程有一正一负两根,则12 0x x ?>?? ?; ④方程一根大于1,另一根小于1,则120 (1)(1)0 x x ?>?? -- (4)应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把所求作得方程的二次项系数设为1,即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++?=;求字母系数的值时,需使二次项系数0a ≠,同时满足?≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +,?两根之积12x x ?的代数式的形式,整体代入。 4.用配方法解一元二次方程的配方步骤: 例:用配方法解2 4610x x -+= 第一步,将二次项系数化为1:231 024 x x -+=, (两边同除以4) 第二步,移项: 231 24 x x - =- 第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:2223313 ()()2444 x x -+=-+ 第四步,完全平方:2 35()4 16 x -= 第五步,直接开平方:344x - =±,即 :1344x =++ ,2344 x =-+
初中数学一元二次方程知识点总结与练习
知识点总结:一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程; (4)将方程化为一般形式:ax 2 +bx+c=0时,应满足(a ≠0); 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0(a ≠0)后,其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是 b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2 =q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p ±√q ;如果q <0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a b x x - =+21,a c x x =21。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (1)去分母,方程两边都乘以最简公分母 (2)解所得的整式方程 (3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数,并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题: 1、判别下列方程是不是一元二次方程,是的打“√”,不是的打“×”,并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结
一元二次方程知识点复习 知识点1.一元二次方程的判断标准: (1)方程是_____方程(2)只有___个未知数(一元)(3)未知数的最高次数是____(二次) 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习A :1、下面关于x 的方程中:①ax 2+bx+c=0;②3x 2-2x=1;③x+3= 1x ;④x 2-y=0; ④(x+1)2=x 2-1.一元二次方程的个数是. 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程,则k 的取值范围是_________. 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程,则k 的取值范围是_________. 4、若方程(m-1)x |m|+1-2x=4是一元二次方程,则m=______. 知识点2.一元二次方程一般形式及有关概念 一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项,______为二次项系数,_______是一次项,_______为一次项系数,______为常数项。 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________,其中二次项系数 a=________,一次项系数b=__________,常数项c=__________ 知识点3.完全平方式 练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知1a a +=求1a a -的值. 3、若x 2+mx+9是一个完全平方式,则m=, 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是。 若942++kx x 是完全平方式,则k =。 知识点4.整体运算 练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11,则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5.方程的解 练习E :1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1,则k=_______________. 2、求以12x 1x 3=-=-,为两根的关于x 的一元二次方程。
实际问题与一元二次方程(单、双循环)
实际问题与一元二次方程—比赛问题 教学目标 知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识. 情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。 教学难点:发现问题中的等量关系. 教学过程设计 回顾引入:解下列方程 x (x -1)=90 x(10-x)=24 x (x+2)=168 452)1(=-n n 202 )3(=-n n 新课讲授 要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式,计划安排15场比赛,问应邀请多少个球队参加比赛? 分析思考:1、什么是单循环? 2、什么是双循环? 解:设邀请x 个球队参加比赛。
拓展变形: 举办一次足球联赛,赛制为双循环形式,一共要比赛90场,共有多少个队参加比赛? 归纳总结 当个体为x 个,总数为n 时 单循环公式:n x x =-2 )1( 双循环公式:x (x -1)=n 做题时先判断是单循环还是双循环,再套公式 变式练习,巩固强化 1、在一个QQ 群里有n 个网友在线,每个网友都向其他网友发出一条信息,共有20条信息,则n 为 ( ) (思考:这题是 循环) A 、10 B 、6 C 、5 D 、4 2、一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送了 72 张,则这个 小组共有多少人? (思考:这题是 循环) 3、一次开会时,同事们见面后,倍感亲切,相互握手恭贺,这次共握手 28 次,一共有多少人参加开会?(思考:这题是 循环) 小结:1、怎样判断单、双循环。 2、套用公式 作业:各教师自定
初中数学一元二次方程的解法
解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 (因式分解法)解:(x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 , x 2=4. (配方法)解:x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. (公式法)解:x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±( 即x 1=4 , x 2=-2. (“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法) 解:x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1
例2 用配方法解下列一元二次方程: (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数). 解:(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2
九年级上册数学一元二次方程单元测试卷
九年级上册一元二次方程单元测试卷1 一、填空题(★写批注)姓名:日期: 1.(3分)一元二次方程2x2﹣13=7x的二次项系数为:,一次项系数为:.2.(3分)已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式m2﹣m的值等于. 3.(3分)已知方程(x+a)(x﹣3)=0和方程x2﹣2x﹣3=0的解相同,则a=. 4.(3分)一元二次方程x2﹣x+4=0的解是. 5.(3分)已知关于x的方程是一元二次方程,则m的值为.6.(3分)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+3x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是.7.(3分)关于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0,则m=. 8.(3分)已知实数x满足=0,那么的值为. 9.(3分)我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定下调药品的价格,某种药品经过两次降价,由每盒60元调至52元,若设每次平均降价的百分率为x,则由题意可列方程为. 10.(3分)等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根,则这个三角形的周长为.11.(3分)已知x2+3x+5的值为11,则代数式3x2+9x+12的值为. 12.(3分)方程:y(y﹣5)=y﹣5的解为:. 13.(3分)在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a﹡b=a2﹣b2,根据这个规则,求方程(x﹣2)﹡1=0的解为. 二、选择题(★写批注) 14.(3分)若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是()A.B.C.D.7 15.(3分)若的值为0,则x的值是()
A.2或﹣3 B.3或﹣2 C.2 D.﹣3 16.(3分)一元二次方程x2﹣1=0的根为() A.x=1 B.x=﹣1 C.x1=1,x2=﹣1 D.x1=0,x2=1 17.(3分)将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是() A.(2x﹣1)2=0 B.(2x﹣1)2=4 C.2(x﹣1)2=1 D.2(x﹣1)2=5 18.(3分)关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是() A.k≤B.k≥﹣且k≠0 C.k≥﹣D.k>﹣且k≠0第22题图 19.(3分)若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数,则x的值是() A.﹣1或B.1或C.1或D.1或 20.(3分)如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()A.k<1 B.k≠0C.k<1且k≠0D.k>1 21.(3分)如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根,m的取值范围是() A.m<1 B.0<m≤1C.0≤m<1 D.m>0 22.(3分)如图,菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m ﹣1)x+m2+3=0的根,则m的值为() A.﹣3 B.5 C.5或﹣3 D.﹣5或3 23.(3分)若方程(m﹣1)x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是()A.m=0 B.m≠1C.m≥0且m≠1D.m为任意实数 24.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将其折叠使AB落在对角线AC上,得到折痕AE,那么BE 的长度为()
一元二次方程的实际问题
一元二次方程的实际问题 一、传播问题 例:某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 归纳总结:按这样的感染速度,n轮后有多少台电脑被感染? 第1轮:(1+x) 第2轮: 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人,则x的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 二、变化率问题 例:2010年某市出口贸易总值为22.52亿美元,至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元,反映了两年来该市出口贸易的高速增长. (1)求这两年这个市出口贸易的年平均增长率; (2)按这样的速度增长,请你预测2013年这个市的出口贸易总值.(温馨提示:2252=4×563,5067=9×563) 2、某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为. 三、数字问题
1、有一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比原数大63,则原来的两位数为. 2、已知有一个两位数,它的十位数字比个位数字小2,十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数,求这个两位数. 3、一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数. 四、销售利润问题 1、百货商店服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 2、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至x元/千克,则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间满足一次函数关系y=kx+b.且当x=7时,y=2000;x=5时,y=4000. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克,本月份的成本价为4元/千克,要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%,同时又要让顾客得到实
一元二次方程及解法归类
寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a ),其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数,b 叫做___________系数,c 叫做_________. 典型例题: 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________,它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________,常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程(1-3x )(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时,关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程;当m______时,关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根,则m m -2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程,则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0,则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知:5±=x , 即x 1=5, x 2=-5; 若(2x-1)2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为:x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程:(1)1) 3(2=+x (2)18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ① 化二次项系数为1; ② 移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;
一元二次方程实际问题
22.3实际问题与一元二次方程(第1课时) 启东市合作初级中学:董燕飞
当 堂 反 馈(10分钟) 一、选择题 1.2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ,依题意列出的方程是( ). A .100(1+x )2=250 B .100(1+x )+100(1+x )2=250 C .100(1-x )2=250 D .100(1+x )2 2.一台电视机成本价为a 元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,?所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为( ). A .(1+25%)(1+70%)a 元 B .70%(1+25%)a 元 C .(1+25%)(1-70%)a 元 D .(1+25%+70%)a 元 3.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,?售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d 可用p 表示为( ). A .100p p + B .p C .1001000p p - D .100100p p + 二、填空题 1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x ,第一年的产量为6万kg ,?第二年的产量为_______kg ,第三年的产量为_______,三年总产量为_______. 2.某糖厂2002年食糖产量为at ,如果在以后两年平均增长的百分率为x ,?那么预计2004年的产量将是________. 3.?我国政府为了解决老百姓看病难的问题,?决定下调药品价格,?某种药品在1999年涨价30%?后,?2001?年降价70%?至a?元,?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________. 三、综合提高题 1.为了响应国家“退耕还林”,改变我省水土流失的严重现状,2000年我省某地退耕还林1600亩,计划到2002年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,?从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量. 3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营,?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营. (1)如果第一年的年获利率为p ,那么第一年年终的总资金是多少万元?(?用代数式来表示)(注:年获利率=年利润年初投入资金 ×100%) (2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法(缺常选因)求解. 一、直接开平方法 解形如(≥0)和(≥0)的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: (1)把一元二次方程化为(≥0)或(≥0)的形式; (2)直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; (3)分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: (1)直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; (2)对于一元二次方程,当时,方程无解; (3)对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: (1); (2). 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为(≥0)的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:(1) ∴; (2) ∴. 例2. 解下列方程: (1); (2). 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为(≥0)的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:(1) ∴或 ∴; (2) ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】(A)(B) (C)(D) 习题2. 若,则_________.
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。 (4)将方程化为一般形式:ax 2 +bx+c=0时,应满足(a≠0) 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0(a ≠0)后,其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±?=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方 程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2 =q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p ±√q ;如果q <0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式:
九年级数学上册小专题(一) 一元二次方程的解法
编号:954555300022221782598333158 学校:战神市白虎镇禳灾村小学* 教师:战虎禳* 班级:战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-16=0; (2)3x2-27=0; (3)(x-2)2=9; (4)(2y-3)2=16. 2.用配方法解下列方程: (1)x2-4x-1=0; (2)2x2-4x-8=0;
(3)3x2-6x+4=0; (4)2x2+7x+3=0. 3.用公式法解下列方程: (1)x2-23x+3=0; (2)-3x2+5x+2=0; (3)4x2+3x-2=0; (4)3x=2(x+1)(x-1).
4.用因式分解法解下列方程: (1)x2-3x=0; (2)(x-3)2-9=0; (3)(3x-2)2+(2-3x)=0; (4)2(t-1)2+8t=0; (5)3x+15=-2x2-10x; (6)x2-3x=(2-x)(x-3). 5.用合适的方法解下列方程: (1)4(x-3)2-25(x-2)2=0;
(2)5(x -3)2=x 2-9; (3)t 2- 22t +18 =0. 参考答案 1.(1)移项,得x 2=16,根据平方根的定义,得x =±4,即x 1=4,x 2=-4. (2)移项,得3x 2=27,两边同除以3,得x 2=9,根据平方根的定义,得x =±3,即x 1=3,x 2=-3. (3)根据平方根的定义,得x -2=±3,即x 1=5,x 2=-1. (4)根据平方根的定义,得2y -3=±4,即y 1=72,y 2=-12 . 2.(1)移项,得x 2-4x =1.配方,得x 2-4x +22=1+4,即(x -2)2=5.直接开平方,得x -2=±5,∴x 1=2+5,x 2=2- 5. (2)移项,得2x 2-4x =8.两边都除以2,得x 2-2x =4.配方,得x 2-2x +1=4+1.∴(x -1)2=5.∴x -1=±5.∴x 1=1+5,x 2=1- 5. (3)移项,得3x 2-6x =-4.二次项系数化为1,得x 2-2x =-43.配方,得x 2-2x +12=-43+12,即(x -1)2=-13 .∵实数的平方不可能是负数,∴原方程无实数根. (4)移项,得2x 2+7x =-3.方程两边同除以2,得x 2+72x =-32.配方,得x 2+72x +(74)2=-32+(74)2,即(x +74)2=2516 .直接开平方,得x +74=±54.∴x 1=-12 ,x 2=-3. 3.(1)∵a =1,b =-23,c =3,b 2-4ac =(-23)2-4×1×3=0,∴x =-(-23)±02×1= 3.∴x 1=x 2= 3. (2)方程的两边同乘-1,得3x 2-5x -2=0.∵a =3,b =-5,c =-2,b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x =-(-5)±492×3 =5±76,∴x 1=2,x 2=-13. (3)a =4,b =3,c =-2.b 2-4ac =32-4×4×(-2)=41>0.x =-3±412×4 =-3±418.∴x 1=-3+418,x 2=-3-418. (4)将原方程化为一般形式,得2x 2-3x -2=0.∵a =2,b =-3,c =-2,b 2-4ac =(-3)2-4×2×(- 2)=11>0,∴x =3±1122 =6±224.∴x 1=6+224,x 2=6-224.
实际问题与一元二次方程的几种常见模型
实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 解:1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+(1+x)x=81 整理得: X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为: 1+ x+ x(x +1)+x(x +1)2=739(台) 答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑为739台,超过700台 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x小分支,依题意得 1+x(x +1)=91 解得:X1=9 x2=-10(舍去) 答:每个支干长出9小分支
单(双)循环问题 1.参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛,共赛90场,共有多少队参加? 解:设共有x队参加依题意列方程得 x(x -1)=90 解得:X1=10 x2=-9(舍去) 答:共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解:设共有x人参加聚会,依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得:X1=12 x2=-11(舍去) 答:共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解:设应邀x个球队参加,依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得:X1=8 x2=-7(舍去) 答:应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解:有x人,依题意列方程得
中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.解方程: 2212x x 6x 9-=-+() 【答案】124x x 23 ==-, 【解析】试题分析:先对方程的右边因式分解,直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析:因式分解,得 2212x x 3-=-()() 开平方,得 12x x 3-=-,或12x x 3-=--() 解得124x x 23 ==-, 2.已知关于x 的一元二次方程()2204 m mx m x -++ =. (1)当m 取什么值时,方程有两个不相等的实数根; (2)当4m =时,求方程的解. 【答案】(1)当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根;(2)134 x +=, 234 x = . 【解析】 【分析】 (1)方程有两个不相等的实数根,>0?,代入求m 取值范围即可,注意二次项系数≠0; (2)将4m =代入原方程,求解即可. 【详解】 (1)由题意得:24b ac ?=- =()2 2404m m m +->,解得1m >-. 因为0m ≠,即当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根. (2)把4m =带入得24610x x -+=,解得1x = ,2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解,熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 3.某社区决定把一块长50m ,宽30m 的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴
影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ,空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x 为何值时,活动区的面积达到21344m ? 【答案】当13x m =时,活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】 根据“活动区的面积=矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程,可解答. 【详解】 解:设绿化区宽为y ,则由题意得 502302x y -=-. 即10y x =- 列方程: 50304(10)1344x x ?--= 解得13x =- (舍),213x =. ∴当13x m =时,活动区的面积达到21344m 【点睛】 本题是一元二次方程的应用题,确定等量关系是关键,本题计算量大,要细心. 4.某水果店销售某品牌苹果,该苹果每箱的进价是40元,若每箱售价60元,每星期可卖180箱.为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:若售价每降价1元,每星期可多卖10箱.设该苹果每箱售价x 元(40≤x ≤60),每星期的销售量为y 箱. (1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润达到3570元? (3)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780;(2) 57;(3)当售价为59元时,利润最大,为3610元 【解析】 【分析】 (1)根据售价每降价1元,每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, (2)解一元二次方程即可求解, (3)表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】 解:(1)∵售价每降价1元,每星期可多卖10箱, 设该苹果每箱售价x 元(40≤x≤60),则y=180+10(60-x )=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得:
初中数学 九年级上一元二次方程教案
22.1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1.一元二次方程根的概念; 2. 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 教学目标 了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题. 提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题. 重难点关键 1.重点:判定一个数是否是方程的根; 2. 难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根. 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学独立完成下列问题. 问题1.如图,一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ,那么梯子的底端距墙多少米? 设梯子底端距墙为xm ,那么, 根据题意,可得方程为___________. 整理,得_________. 列表: 问题2.一个面积为的矩形苗圃,它的长比宽多2m , 苗圃的长和宽各是多少? 设苗圃的宽为xm ,则长为_______m . 根据题意,得________. 整理,得________. 列表: 老师点评(略) 二、探索新知 提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2 中一元二次方程的解是多少? (2)如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗?问题2呢? 老师点评:(1)问题1中x=6是x 2-36=0的解,问题2中,x=10是x 2+2x-120=0的解. (3)如果抛开实际问题,问题(1)中还有x=-6的解;问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称: 108