线性规划初始对偶可行基本解的一种求法

文章编号：　１６７３‐９９６５（２０１４）０３‐０１７３‐０４

线性规划初始对偶可行基本解的一种求法倡

李　蕊，王艳红

（西安工业大学理学院，西安７１００２１）

摘　要：　运用对偶单纯形法求解线性规划问题时，需要先给定一个初始对偶可行的基本解．

然而在线性规划问题的约束条件Ａｘ＝ｂ中，矩阵Ａ一般不含ｍ阶单位矩阵，此时初始对偶可

行的基本解不易求得．文中通过对线性规划问题增加人工变量和一个约束条件，给出一步便能

求出其初始对偶可行基本解的简便方法，进而通过对偶单纯形法进行迭代解决线性规划问题．

关键词：　两阶段法；对偶单纯形法；扩充问题；对偶可行基本解

中图号：　Ｏ２２１ 文献标志码：　Ａ

ＡＭｅｔｈｏｄｆｏｒＡｃｈｉｅｖｉｎｇａｎＩｎｉｔｉａｌＤｕａｌＦｅａｓｉｂｌｅ

ＢａｓｉｃＳｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒＬｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ

ＬＩＲｕｉ，ＷＡＮＧＹａｎ桘ｈｏｎｇ

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００２１，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｈｉｓｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｇｉｖｅａｎｉｎｉｔｉａｌｄｕａｌｆｅａｓｉｂｌｅｂａｓｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｗｈｅｎｓｏｌｖｉｎｇｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｂｙｔｈｅｄｕａｌｓｉｍｐｌｅｘｍｅｔｈｏｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｍａｔｒｉｘＡｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｃｏｎｓｔｒａｉｎｔＡｘ＝ｂｄｏｅｓｎｏｔｕｓｕａｌｌｙｃｏｎｔａｉｎｔｈｅｉｄｅｎｔｉｔｙｍａｔｒｉｘ．Ｓｏ，ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｄｕａｌｆｅａｓｉｂｌｅｂａｓｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｏｂｔａｉｎｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｂｙａｄｄｉｎｇａｒｔｉｆｉｃｉａｌｖａｒｉａｂｌｅｓａｎｄａｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ａｎｉｎｉｔｉａｌｄｕａｌｆｅａｓｉｂｌｅｂａｓｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｔｏｎｅｓｔｅｐ，ａｎｄｔｈｅｎｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　ｔｗｏ桘ｐｈａｓｅｍｅｔｈｏｄ；ｄｕａｌｓｉｍｐｌｅｘａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｅｘｐａｎｄｅｄｐｒｏｂｌｅｍ；ｄｕａｌｆｅａｓｉｂｌｅｂａｓｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ

线性规划是数学规划的一个重要分支，它广泛的应用于经济管理等领域［１］．求解线性规划最基本的方法是单纯形法，该方法是Ｇ．Ｂ．Ｄａｎｔｚｉｇ在１９４７年提出的［２］，几十年的实践证明，单纯形方法使用方便、行之有效．近年来众多研究者对其进行改进和研究，形成许多改进的单纯形法［３桘５］．１９５４年美国数学家Ｃ．莱姆基提出对偶单纯形法，该方法是从满足对偶可行性条件的初始解开始进行迭代［６］，逐步搜索原问题的最优解．然而，在线性规划问题的约束条件Ａｘ＝ｂ中，若矩阵Ａ中不含ｍ阶单位矩阵，初始对偶可行的基本解不易求得．文中通过增加人工变量和一个约束条件，将两阶段法与对偶单纯形法结合，得到原线性规划问题的扩充问题，并证明了原问题与扩充问题可行解及最优解间的关系，最终给出求线性规划问题的一个初始对偶可行基本解的简便方法，进而通过对偶单纯形法解决了原线性规划问题．

１　算法思想和步骤

１．１　算法思想

线性规划问题的标准形式为

第３４卷第３期２０１４年３月

西　安　工　业　大　学　学　报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉ’ａｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．３

Ｍａｒ．２０１４

倡收稿日期：２０１３‐１１‐１３

作者简介：李　蕊（１９８２桘），女，西安工业大学讲师，主要研究方向为最优化理论与应用．Ｅ桘ｍａｉｌ：ｓｌｘｌｉｒｕｉ＠１６３．ｃｏｍ．