福建省龙岩市一级达标校2017-2018学年高二下学期期末考试文科数学试题含答案

龙岩市一级达标校2017～2018学年第二学期期末高二教学质量检查

数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|13}A x x =-<<，{|2}B x x =>，则A B = （ ） A ．(1,3)- B ．(2,3) C ．(1,)-+∞ D ．(2,)+∞

2.若复数z 满足1i z i ?=-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -

3.以下三句话可组成一个三段论：“①tan y x =是三角函数；②三角函数是周期函数；③

tan y x =是周期函数”.其中大前提的序号是（ ）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．①和②

4.函数32

x

x x y -=的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5.函数3

()3x

f x a x

=-

-的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．15(1,)2 B ．(3,6) C ．(0,6) D ．15(0,)2

6.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，那么输出的a 值为（ ）

A ．8

B ．26

C ．80

D ．242 7.用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个锐角”，正确的假设是（ ） A ．三角形的内角至多有两个锐角 B ．三角形的内角至多有一个锐角 C ．三角形的内角没有一个锐角

D ．三角形的内角没有一个锐角或至少有两个锐角 8.下列3个命题：

①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==； ②若z 是纯虚数，则2

0z <；

③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >. 其中真命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9.已知222,0()2,0

x x x f x x x x ?-≥?=?+的解集为（ ）

A ．(),3-∞-

B ．()3,+∞

C ．()(),33,-∞-+∞

D ．()3,3-

10.某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）

A ．A

B ．B

C ．C

D ．D

11.已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数2

(2)(2)y f x x f x λ=-+-的图象与x

轴只有一个交点，则实数λ的值是（ ）

A ．14-

B ．18-

C ．98-

D ．38

- 12.当函数1

()x f x kx x e

=--（e 为自然对数的底数）没有零点时，实数k 的取值范围是（ ）

A ．(]1,1e -

B ．(]1,0e -

C ．[]1,1e -

D ．[)1,0e -

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.函数lg(3)

y x =-的定义域为 ． 14.已知数列：

21，12，31，22，13，41，32，23，1

4，…根据它的前9项的规律，这个数列的第30项为 ． 15.函数(2)1

x

y x x x =+

≥-的最小值是 ． 16.已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象是中心对称图形，且对称中心为

(,())33b b f a a -

-，若直线l 与曲线321

313

y x x x =--+有三个不同交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，且AB AC =，则3

1

()i i i x y =+=∑ ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

17.设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足3

02

x x +>+. （Ⅰ）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）当0a <时，若p 是q ?的必要条件，求实数a 的取值范围.

18.中国共产党第十九次全国代表大会会议提出“决胜全面建成小康社会”.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1：

为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2012t x =-，5z y =-得到下表2：

（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程； （Ⅱ）求y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）用所求回归方程预测到2035年年底，该地储蓄存款额可达多少？

（附：对于线性回归方程 y bx

a =+ ，其中1

2

21

n

i i

i n

i i x y nx y

b x nx

==-=-∑∑ ， a

y bx =- .） 19.已知函数1

()ln f x a x b x

=++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b . （Ⅱ）求()f x 的最小值.

20.某种机器零件转速在符合要求的范围内使用时间随机器运转速度的变化而变化，某检测员随机收集了20个机器零件的使用时间与转速的数据，列表如下：

（Ⅰ）若“转速大于200转/分”为“高速”，“转速不大于200转/分”为“非高速”，“使用时间大于36个月”的为“长寿命”，“使用时间不大于36个月”的为“非长寿命”，请根据上表数据完成下面的22?列联表：

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的22?列联表，试运用独立性检验的思想方法：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为零件使用寿命的长短与转速高低之间的关系.

参考公式：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

参考数据：

21.已知定义域为[0,)+∞的函数()

()x f x x

m e =-（常数m R ∈，e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若()50f x m ++>恒成立，求实数m 的最大整数值.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为1x a y ?

=??

?

?=??

（t

为参数，a R ∈）

，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

2cos 2cos 0ρθθρ+-=.

（Ⅰ）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点(),1P a ，曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且4PA PB ?=，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()241f x x x =--+，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()5f x ≤；

（Ⅱ）若方程()3

f x x a =-+在区间[3,)+∞有解，求实数a 的取值范围.

龙岩市一级达标校2017～2018学年第二学期期末高二教学质量检查

数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5: CABCD 6-10: DCBCC 11、12：BA 二、填空题

13. (3,4) 14. 2 15. 4 16. -5 三、解答题

17.解：（Ⅰ）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-. 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题. 所以13x <<或3x <-或2x >-， 所以3x <-或2x >-，

所以实数x 的取值范围是()(),32,-∞--+∞ . （Ⅱ）当0a <时，p ：3a x a <<， 由

3

02

x x +>+得：q ：3x <-或2x >-， 所以q ?：32x -≤≤-， 因为p 是q ?的必要条件，

所以{|32}{|3}x x x a x a -≤≤-?<<，

所以33

2

a a <-??

>-?，解得21a -<<-，

所以实数a 的取值范围是(2,1)--. 18.解：（Ⅰ）3t =，14

2.85

z =

=， 214

261635535(1491625)53b

+++-??

=++++-? 17 1.710

==， 1417233 2.351010

a

z bt =-=-?=-=- ， 1.7 2.3z

t =- .

（Ⅱ）将2012t x =-，5z y =-，代入 1.7 2.3z t =- 得到： 5 1.7(2012) 2.3y x -=--，

即 1.73417.7y x =-.

（Ⅲ）当2035x =时， 1.720353417.741.8y =?-=， 所以2035年年底，该地储蓄存款额可达41.8千亿元. 19.解：（Ⅰ）由题意可得，点(1,3)在曲线1

()ln f x a x b x

=++上， ∴1(1)ln1131

f a b b =++=+=， ∴2b =， 又∵2

1'()a f x x x =

-， ∴'(1)12f a =-=，∴3a =， 综上可得：3a =，2b =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：1

()3ln 2f x x x

=+

+， ∴223131'()x f x x x x

-=

-=， 令'()0f x =，得1

3

x =，

当10,3x ??∈ ???

时，'()0f x <，()f x 单调递减；

当1,3x ??∈+∞ ???

时，'()0f x >，()f x 单调递增.

∴13x =

为函数1

()3ln 2f x x x

=++的极小值点， ∴min 11

()()3ln 3253ln 333

f x f ==++=-.

综上，()f x 的最小值为53ln 3-.

20.解：（Ⅰ）“转速大于200转/分”为“高速”，“转速不大于200转/分”为“非高速”，“使用时间大于36个月”的为“长寿命”，“使用时间不大于36个月”的为“非长寿命”，统计出数据列联表为：

（Ⅱ）根据上述列联表可以求得2

K 的观测值：

2

2

20(12413)7.937146515

K ?-?=≈???，

∵7.937 6.635>，

∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为零件使用寿命的长短与转速高低之间有关系.

21.解：（Ⅰ）'()[(1)]x f x x m e =--.

①当1m ≤时，由0x >，得'()0f x >，此时()f x 在(0,)+∞上为增函数. ②当1m >时，令'()0f x >，有1x m >-， ∴()f x 在(1,)m -+∞上为增函数，

令'()0f x <，有1x m <-，∴()f x 在(0,1)m -上为减函数，

综上，1m ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无递减区间；1m >时，()f x 的单调递增区间为(1,)m -+∞，递减区间为(0,1)m -. （Ⅱ）∵()50f x m ++>对于(0,)x ∈+∞恒成立， 即()5f x m >--对于(0,)x ∈+∞恒成立.

由函数的解析式可得：'()[(1)]x f x x m e =--，分类讨论： ①由（Ⅰ）知，1m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为增函数， ∴()(0)f x f m >=-，

∴5m m ->--恒成立，∴1m ≤.

②当1m >时，()f x 在(0,1)m -上为减函数，()f x 在(1,)m -+∞上为增函数i. ∴1

min ()(1)m f x f m e -=-=-，∴1

5m e

m -->--，

∴1

50m e

m ---<，

设1()5(1)m g m e m m -=-->， ∴1'()1(1)m g m e m -=->，

∴()g m 在(1,)+∞上递增，而m Z ∈，

(2)270g =-<，2(3)80g e =-<，3(4)90g e =->，

∴在(1,)+∞上存在唯一0m 使得0()0g m =，且034m <<， ∵m Z ∈，∴m 的最大整数值为3，使1

50m e m ---<，即m 的最大整数值为3.

综上，m 的最大整数值为3.

22.解：（Ⅰ）由1C 的参数方程消去t 得其普通方程为10x y a +--=， 由2C 的极坐标方程得2

2

2cos

2cos 0ρθρθρ+-=，

所以2C 的直角坐标方程为2

2y x =.

（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C ：2

2y x =得()22120t a ++-=，

由0?>得3

2

a >-

. 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则()12212t t a =-， 由题意得()12122124PA PB t t t t a ?===-=，

解得12a =-

或3

2

a =满足0?>， 所以实数a 的值为12-或3

2

.

23.解：（Ⅰ）不等式可化为

255x x >??-≤?或12335x x -≤≤??-+≤?或1

55

x x <-??

-+≤?， 解得：210x <≤或2

23

x -

≤≤或?； 所以不等式的解集为2103x x ??-

≤≤????

. （Ⅱ）当[3,)x ∈+∞时，()5f x x =-，

依题意，转化为求函数3

5a x x =+-，[3,)x ∈+∞的值域，

又函数35y x x =+-有[3,)+∞递增，其值域为[25,)+∞，所以[25,)a ∈+∞，

所以实数a 的取值范围为[25,)a ∈+∞.