2012年广东高考理科数学试题及答案(详解)
试卷类型:A
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
参考公式:主体的体积公式V=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。 锥体的体积公式为
,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 . 设i 为虚数单位,则复数
56i i
-=
A 6+5i
B 6-5i
C -6+5i
D -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}
3 若向量BA
=(2,3),C A
=(4,7),则BC
=
A (-2,-4)
B (3,4)
C (6,10
D (-6,-10) 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是
A.y=ln (x+2)
B.y=-(
12
)x D.y=x+
1x
5.已知变量x ,y 满足约束条件,则z=3x+y 的最大值为
A.12
B.11
C.3
D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示,它的体积为
A.12π B.45π C.57π D.81π
7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数为0的概率是
A. 4
9 B. 1
3
C. 2
9
D. 1
9
8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义。若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角,且a b和b a都在集合中,则
A.1
2 B.1 C. 3
2
D. 5
2
16.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。 (一)必做题(9-13题)
9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。
10. 的展开式中x3的系数为______。(用数字作答)
11.已知递增的等差数列{a n}满足a1=1,a3=2
2
a-4,则a n=____。
12.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为。
13.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为。
(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)
14,(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参
数方程分别为和,则曲线C1与C2的交点坐标为_______。
15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P,则
PA=_____________。
三.解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知函数,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π。(1)求ω的值;
(2)设,,,求cos(α+β)
的值。
17. (本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:
[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(1)求图中x的值;
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求得数学期望。
18.(本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点 E在线段PC上,PC⊥平面BDE。
(1)、证明:BD⊥平面PAC;
(2)、若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;
19. (本小题满分14分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =an+1-2n+1,n ∈N ﹡,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列。
(1)、求a 1的值;
(2)、求数列{a n }的通项公式。
(3)、证明:对一切正整数n ,有.
20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:2
222
1(0)x
y a b a b
+
=>>的离心率e=
32
,
且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;
(2)在椭圆C 上,是否存在点M (m,n )使得直线l :mx+ny=1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由。
21.(本小题满分14分) 设a <1,集合
(1)求集合D (用区间表示) (2)求函数在D 内的极值点。
今天试题比较容易,我中心初一学生袁鹏用一年时间学完初高中数学,考试时感觉很容易,问他原因,他说:这些题前几天很多都做过类似的,有的是
原题!
2012年广东高考理科数学参考答案 中山鸿鑫袁焕兵134********
一、选择题
1、
i
i i i i i i
i
561
65)
())(65(65--=--=---=
-、与2011几乎一样,送分题,关键是
分母实数化.
2、送分题,画出图即可。送分题!
3、CA
BA AC BA BC -=+=
=(2-4,3-7)=(-2,-4)送分题!
4、B 、C 错,A :y=lnx 在区间(0,+∞)上为增函数,y=ln (x+2)在区间(-2,+∞)上为增函数,因而在区间(0,+∞)上为增函数!
上是减函数
在),(x x
x 10,0,1≠+
5、由z=3x+y 得y=-3x+z,数形结合,求Z 最大值,送分题!
一般把方程化为y=ax+b 形式,y 前系数为+1,如y>ax+b 为直线上区域否则。。。 6、是圆柱与圆锥组合体,送分题!
7、和为奇数个数为:451
5141515
=?+?C C C C ,个位数为0十位为奇数两位数有5个,所以其个位数为0的概率是5/45=1/9 8、θαβαβθβαβαcos |
|||,cos |
|||=
=
,又|a |
≥|b |>0,如|a b |>|b a |,A
错,如|a b |>|b a |,a =b ,则a b =cos θ,而)4/,0(πθ∈,B 错,若a b =5/2
则|a b |=5/2,|a b |=4/4或3/2,得cos θ>1,D 错,选C 二、填空题
9. 不等式|x+2|-|x|≤1,关键去绝对值,如图分类 -2 0
找0点,0与-2, 1,2??
-∞- ??
?; 送分题。 10.33312363126)6(26120x x C x C x x C T r r r r r r ====?----+;
11.a 1=1,a 3=22a -4得a 1+2d=21)(d a +-4,得d=2或d=-2(舍去),
122)1(1-=?-+=n n a n
;送分题,
12. 与去年一样,送分题,k=32x -1=2; 用点斜式化简即可。 13. 一步步来,送分。16; 14. 化这一般方程,送分 )1,1(; 15.
3
;送分,连AO,AC 即可。
三、解答题
16.解:与2011差不多,送分。 (1)=51,2=
=
ωω
π
T
(2)85
1317
155317
85
4)cos(-
=?-?=
+βα
17.
(1)由300.006100.01100.054101x ?+?+?+=得0.018x =
(2)由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2
()2
9
2
12
6011
C P C ξ==
=
()1
1
932
12
9122
C C P C
ξ==
=
()2
3212
1222C P C ξ==
=
∴ 69
1101211
22
22
2
E ξ=?+?
+?
=
18.
(1)∵ PA ABCD ⊥平面
∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面
(2)设AC 与BD 交点为O ,连O E
∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC O E ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面 ∴ P C B E ⊥
∴ B E O ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ B D A C ⊥
∴ ABCD 四边形为正方形 ∴
BO =在PAC ?中
,
13
3
O E P A O E O C
A C
=?
=?=
∴ tan 3B O B E O O E
∠=
=
∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.
(1)在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得:212221S a =-+ 令2n =得:323221S a =-+
解得:2123a a =+,31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =
(2)由11221n n n S a ++=-+
2
12221n n n S a +++=-+得
1
2132
n n n a a +++=+
又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- (3)
(法一)∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+?+?++≥
∴
1
113
n n
a -≤
∴
2
1
1
2
3
111311111113...
1 (13)
3
3
2
13
n
n n
a a a a -?????- ? ? ?????
+
+
+≤+
+
++
=
<
-
(法二)∵1111322322n n n n n n a a ++++=->?-=
∴
1111
2n n a a +
当2n ≥时,
3
2111
2a a <
?
43111
2a a
5
4
11
1
2a a <
?
………
1
111
2n
n a a -
累乘得:
2
2
1
112n n a a -??
???
∴2
1231
1
1
111
1
1173...1 (52525)
5
2
n n a a a a -??
+++≤++?++?
<
<
???
(法三)用数学归纳法证n
n
a a a a 2
12
31...
1113
2
1
-
≤++
+
20. (1
)由e =
223a b =,椭圆方程为22233x y b +=
椭圆上的点到点Q 的距离
d =
=
)b y b =
-≤≤
当①1b -≤-即1
b ≥,max 3d ==得1b =
当②1b ->-即1
b <,max 3d ==得1b =(舍) ∴ 1b =(其实画图一看就知b=1) ∴ 椭圆方程为
2
2
13
x
y +=
(2)11sin sin 2
2
A O
B S O A O B AO B AO B
?=
?∠=
∠
当90AOB ∠= ,A O B S ?取最大值12
,
点O 到直线l 距离
2
d ==
∴222m n += 又∵
2
2
13
m
n +=
解得:22
31,2
2
m n =
=
所以点M 的坐标为,
,,2
2222222?
????----
? ? ? ? ??
???????
或或或 A O B
?的面积为1
2
21.
(1)记()()()
223161h x x a x a a =-++<,对称轴x=
4
)
1(3a +
()()()2
91483
139
a a
a a ?=+
-=
-- ① 当0?<,即1
13
a <<,()0,D =+∞
② 当0>?,h(0)>0,x>0即当1
03
a <≤,
4
4
D ???=?+∞ ?
??
??
?
③ 当0>?,h(0)<0
即,当0a ≤,33,4
a D ??++
=+∞ ?
??
?
(2)由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得,得
① 当1
13a <<,()D f x a 在内有一个极大值点,有一个极小值点1
② 当103
a <≤
,∵()()12316=310h a a a =-++-≤
()()2
2
2316=30h a a a a a a a =-++->
∴ 1,D a D ?∈
∴()D
在内有一个极大值点
f x a
③当0
a≤,则a D
?
又∵()()
=-++-<
h a a a
12316=310
∴()D
f x在内有无极值点