2012年广东高考理科数学试题及答案(详解)

试卷类型:A

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

参考公式:主体的体积公式V=Sh ,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。 锥体的体积公式为

,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 . 设i 为虚数单位,则复数

56i i

-=

A 6+5i

B 6-5i

C -6+5i

D -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}

3 若向量BA

=(2,3),C A

=(4,7),则BC

=

A (-2,-4)

B (3,4)

C (6,10

D (-6,-10) 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是

A.y=ln (x+2)

B.y=-(

12

)x D.y=x+

1x

5.已知变量x ,y 满足约束条件,则z=3x+y 的最大值为

A.12

B.11

C.3

D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示,它的体积为

A.12π B.45π C.57π D.81π

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数为0的概率是

A. 4

9 B. 1

3

C. 2

9

D. 1

9

8.对任意两个非零的平面向量α和β,定义。若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角,且a b和b a都在集合中,则

A.1

2 B.1 C. 3

2

D. 5

2

16.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。 (一)必做题(9-13题)

9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 的展开式中x3的系数为______。(用数字作答)

11.已知递增的等差数列{a n}满足a1=1,a3=2

2

a-4,则a n=____。

12.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为。

13.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为。

(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)

14,(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参

数方程分别为和,则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P,则

PA=_____________。

三.解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.(本小题满分12分)

已知函数,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π。(1)求ω的值;

(2)设,,,求cos(α+β)

的值。

17. (本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

(1)求图中x的值;

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求得数学期望。

18.(本小题满分13分)

如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点 E在线段PC上,PC⊥平面BDE。

(1)、证明:BD⊥平面PAC;

(2)、若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;

19. (本小题满分14分)

设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =an+1-2n+1,n ∈N ﹡,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列。

(1)、求a 1的值;

(2)、求数列{a n }的通项公式。

(3)、证明:对一切正整数n ,有.

20.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:2

222

1(0)x

y a b a b

+

=>>的离心率e=

32

且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;

(2)在椭圆C 上,是否存在点M (m,n )使得直线l :mx+ny=1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由。

21.(本小题满分14分) 设a <1,集合

(1)求集合D (用区间表示) (2)求函数在D 内的极值点。

今天试题比较容易,我中心初一学生袁鹏用一年时间学完初高中数学,考试时感觉很容易,问他原因,他说:这些题前几天很多都做过类似的,有的是

原题!

2012年广东高考理科数学参考答案 中山鸿鑫袁焕兵134********

一、选择题

1、

i

i i i i i i

i

561

65)

())(65(65--=--=---=

-、与2011几乎一样,送分题,关键是

分母实数化.

2、送分题,画出图即可。送分题!

3、CA

BA AC BA BC -=+=

=(2-4,3-7)=(-2,-4)送分题!

4、B 、C 错,A :y=lnx 在区间(0,+∞)上为增函数,y=ln (x+2)在区间(-2,+∞)上为增函数,因而在区间(0,+∞)上为增函数!

上是减函数

在),(x x

x 10,0,1≠+

5、由z=3x+y 得y=-3x+z,数形结合,求Z 最大值,送分题!

一般把方程化为y=ax+b 形式,y 前系数为+1,如y>ax+b 为直线上区域否则。。。 6、是圆柱与圆锥组合体,送分题!

7、和为奇数个数为:451

5141515

=?+?C C C C ,个位数为0十位为奇数两位数有5个,所以其个位数为0的概率是5/45=1/9 8、θαβαβθβαβαcos |

|||,cos |

|||=

=

,又|a |

≥|b |>0,如|a b |>|b a |,A

错,如|a b |>|b a |,a =b ,则a b =cos θ,而)4/,0(πθ∈,B 错,若a b =5/2

则|a b |=5/2,|a b |=4/4或3/2,得cos θ>1,D 错,选C 二、填空题

9. 不等式|x+2|-|x|≤1,关键去绝对值,如图分类 -2 0

找0点,0与-2, 1,2??

-∞- ??

?; 送分题。 10.33312363126)6(26120x x C x C x x C T r r r r r r ====?----+;

11.a 1=1,a 3=22a -4得a 1+2d=21)(d a +-4,得d=2或d=-2(舍去),

122)1(1-=?-+=n n a n

;送分题,

12. 与去年一样,送分题,k=32x -1=2; 用点斜式化简即可。 13. 一步步来,送分。16; 14. 化这一般方程,送分 )1,1(; 15.

3

;送分,连AO,AC 即可。

三、解答题

16.解:与2011差不多,送分。 (1)=51,2=

=

ωω

π

T

(2)85

1317

155317

85

4)cos(-

=?-?=

+βα

17.

(1)由300.006100.01100.054101x ?+?+?+=得0.018x =

(2)由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2

()2

9

2

12

6011

C P C ξ==

=

()1

1

932

12

9122

C C P C

ξ==

=

()2

3212

1222C P C ξ==

=

∴ 69

1101211

22

22

2

E ξ=?+?

+?

=

18.

(1)∵ PA ABCD ⊥平面

∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面

(2)设AC 与BD 交点为O ,连O E

∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC O E ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面 ∴ P C B E ⊥

∴ B E O ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ B D A C ⊥

∴ ABCD 四边形为正方形 ∴

BO =在PAC ?中

13

3

O E P A O E O C

A C

=?

=?=

∴ tan 3B O B E O O E

∠=

=

∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.

(1)在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得:212221S a =-+ 令2n =得:323221S a =-+

解得:2123a a =+,31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =

(2)由11221n n n S a ++=-+

2

12221n n n S a +++=-+得

1

2132

n n n a a +++=+

又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- (3)

(法一)∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+?+?++≥

1

113

n n

a -≤

2

1

1

2

3

111311111113...

1 (13)

3

3

2

13

n

n n

a a a a -?????- ? ? ?????

+

+

+≤+

+

++

=

<

-

(法二)∵1111322322n n n n n n a a ++++=->?-=

1111

2n n a a +

当2n ≥时,

3

2111

2a a <

?

43111

2a a

5

4

11

1

2a a <

?

………

1

111

2n

n a a -

累乘得:

2

2

1

112n n a a -??

???

∴2

1231

1

1

111

1

1173...1 (52525)

5

2

n n a a a a -??

+++≤++?++?

<

<

???

(法三)用数学归纳法证n

n

a a a a 2

12

31...

1113

2

1

-

≤++

+

20. (1

)由e =

223a b =,椭圆方程为22233x y b +=

椭圆上的点到点Q 的距离

d =

=

)b y b =

-≤≤

当①1b -≤-即1

b ≥,max 3d ==得1b =

当②1b ->-即1

b <,max 3d ==得1b =(舍) ∴ 1b =(其实画图一看就知b=1) ∴ 椭圆方程为

2

2

13

x

y +=

(2)11sin sin 2

2

A O

B S O A O B AO B AO B

?=

?∠=

当90AOB ∠= ,A O B S ?取最大值12

点O 到直线l 距离

2

d ==

∴222m n += 又∵

2

2

13

m

n +=

解得:22

31,2

2

m n =

=

所以点M 的坐标为,

,,2

2222222?

????----

? ? ? ? ??

???????

或或或 A O B

?的面积为1

2

21.

(1)记()()()

223161h x x a x a a =-++<,对称轴x=

4

)

1(3a +

()()()2

91483

139

a a

a a ?=+

-=

-- ① 当0?<,即1

13

a <<,()0,D =+∞

② 当0>?,h(0)>0,x>0即当1

03

a <≤,

4

4

D ???=?+∞ ?

??

??

?

③ 当0>?,h(0)<0

即,当0a ≤,33,4

a D ??++

=+∞ ?

??

?

(2)由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得,得

① 当1

13a <<,()D f x a 在内有一个极大值点,有一个极小值点1

② 当103

a <≤

,∵()()12316=310h a a a =-++-≤

()()2

2

2316=30h a a a a a a a =-++->

∴ 1,D a D ?∈

∴()D

在内有一个极大值点

f x a

③当0

a≤,则a D

?

又∵()()

=-++-<

h a a a

12316=310

∴()D

f x在内有无极值点

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