高三数学2

1．指数、对数的运算性质

a m ·a n ＝a m ＋n ；a m a n ＝a m －n ；(a m )n ＝a mn ；(a

b )n ＝a n b n ；log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ，log a M n

＝n log a M (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．

2．对数恒等式与换底公式

a log a N ＝N ，log a N ＝log c N log c a (a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)． 1．方程的根与函数的零点：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点．

2．关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题．

(1)f (x )在[a ，b ]上连续单调，f (a )·f (b )<0?f (x )在[a ，b ]上存在唯一零点；

(2)f (x )在[a ，b ]上连续，f (a )·f (b )<0?f (x )在[a ，b ]上至少有一个零点；

(3)f (x )在[a ，b ]上的图象连续，f (a )·f (b )>0，f (x )在[a ，b ]上不一定没有零点，即零点情形不确定．

1．导数的定义

f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )Δx . 2．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．

3．导数的运算

(1)基本初等函数的导数公式

①c ′＝0(c 为常数)； ②(x m )′＝mx m －1；

③(sin x )′＝cos x; ④(cos x )′＝－sin x ；

⑤(e x )′＝e x; ⑥(a x )′＝a x ln a ；

⑦(ln x )′＝1x ； ⑧(log a x )′＝1x ln a .

(2)导数的四则运算法则

①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；

②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

③[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )

. ④(理)设y ＝f (u )，u ＝φ(x )，则y ′x ＝y ′u u ′x .

3．导数的运算

(1)基本初等函数的导数公式

①c ′＝0(c 为常数)； ②(x m )′＝mx m －1；

③(sin x )′＝cos x; ④(cos x )′＝－sin x ；

⑤(e x )′＝e x; ⑥(a x )′＝a x ln a ；

⑦(ln x )′＝1x ； ⑧(log a x )′＝1x ln a .

4．函数的性质与导数

在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增．如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．

5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．

被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a

①当f (x )>0时，S ＝??a

b f (x )d x ； ②当f (x )<0时，S ＝－??a

b f (x )d x ； ③当x ∈[a ，

c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝??a c f (x )

d x －??c

b f (x )d x .