四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）
A．都平行B．都相交
C．一个相交，一个平行D．都异面
2．（5分）在x、y轴上的截距分别是﹣3、4的直线方程是（）
A．+=1 B．+=1 C．﹣=1 D．+=1
3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点P（0，0）对称的圆的方程为（）
A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．（x﹣2）
2+y2=5
5．（5分）如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④
6．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）
A．若m?β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
7．（5分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D﹣EFG中必有（）
A．G F⊥△DEF所在平面B．D O⊥△EFG所在平面
C．D G⊥△EFG所在平面D．G O⊥△EFG所在平面
8．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值
是（）
A．14 B．16 C．17 D．19
9．（5分）若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）
A．﹣B．﹣＜t＜0
C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2
10．（5分）已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x
﹣1）2+y2=9相交于A，C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（）
A．4B．6C．12D．12
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为．
12．（5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为．
13．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于．
14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=，AB=4，BC=2，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得BM∥平面ACN，PN长度．
15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；
（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值；
其中所有正确命题的序号是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）已知直线l1：2x+（m+1）y﹣2=0；直线l2：mx+y﹣1=0．
（Ⅰ）若l1⊥l2求实数m的值．
（Ⅱ）若l1∥l2，求实数m的值．
17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
18．（12分）已知一圆C的圆心为（2，﹣1），且该圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2（Ⅰ）求该圆的方程
（Ⅱ）求过点P（4，3）的该圆的切线方程．
19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面体ABCDE的体积．
20．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=，AD=，点F是PB 的中点，点E是边BC上的动点．
（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；
（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=2（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．
四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）
A．都平行B．都相交
C．一个相交，一个平行D．都异面
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键．
解答：解：如图所示：已知：α∩β=m，a∥b，a?α，b?β．则a∥b∥m．
证明：∵a∥b，∴a与b可确定一个平面γ．
∴b∥α，
由∵α∩β=m，b?β，
∴b∥m．
∴a∥b∥m．
故选A．
点评：熟练掌握线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键．
2．（5分）在x、y轴上的截距分别是﹣3、4的直线方程是（）
A．+=1 B．+=1 C．﹣=1 D．+=1
考点：直线的截距式方程．
专题：直线与圆．
分析：由直线的截距可得截距式方程．
解答：解：∵直线在x、y轴上的截距分别是﹣3、4，
∴直线的截距式方程为：
故选：A
点评：本题考查直线的截距式方程，属基础题．
3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：由A1B∥D1C，得异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C．
解答：解：∵A1B∥D1C，
∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，
∵△AD1C为等边三角形，
∴∠AD1C=60°．
故选：C．
点评：本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点P（0，0）对称的圆的方程为（）
A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．（x﹣2）
2+y2=5
考点：关于点、直线对称的圆的方程．
专题：计算题．
分析：求出已知圆的圆心和半径，求出圆心A关于原点对称的圆的圆心B的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．
解答：解：圆（x+2）2+y2=5的圆心A（﹣2，0），半径等于，
圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心B（2，0），
故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，
故选：D．
点评：本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心B的坐标，是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④
考点：由三视图还原实物图．
专题：图表型．
分析：由俯视图结合其它两个视图可以看出，几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥．
解答：解：根据三视图从不同角度知，甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥，
故选A．
点评：本题的考点是由三视图还原几何体，需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视图，从不同角度去还原，考查了观察能力和空间想象能力．
6．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）
A．若m?β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
考点：平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．
解答：解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；
B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n?α，∴α⊥β；
C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；
D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．
故选B．
点评：考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念．
7．（5分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D﹣EFG中必有（）
A．G F⊥△DEF所在平面B．D O⊥△EFG所在平面
C．D G⊥△EFG所在平面D．G O⊥△EFG所在平面
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
解答：解：∵CF与DF不垂直，BF与DF不垂直，
∴GF与DF不垂直，GF与DF不垂直，
∴GF不能垂直于△DEF所在平面，故A错误；
∵DE=DF，O是EF中点，GE=GF，
∴DO⊥EF，GO⊥EF，
∴DO不能垂直于△EFG所在平面，故B错误；
∵DA⊥AE，DC⊥CF，
∴DG⊥GE，DG⊥GF，
∴DG⊥△EFG所在平面，故C正确；
∵GO?△EFG所在平面，
∴GO不可能垂直于△EFG所在平面，故D错误．
故选：C．
点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值
是（）
A．14 B．16 C．17 D．19
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．
解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．
故选B．
点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．
9．（5分）若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）
A．﹣B．﹣＜t＜0
C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
专题：直线与圆．
分析：根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3﹣2＜
＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范围．
解答：解：圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）为圆心、半径等于2的圆；
圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）为圆心、半径等于3的圆．
再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，
即3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，
∴，
解得﹣或0＜t＜2，
故选：D．
点评：本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
10．（5分）已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x
﹣1）2+y2=9相交于A，C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（）
A．4B．6C．12D．12
考点：简单线性规划．
专题：数形结合．
分析：由约束条件作出可行域，由圆的方程画出圆，可知可行域内距离圆心最远的点为满足条件的E点，求出E与M的距离，解直角三角形求得AC的长度，则四边形ABCD的面积为AC长度与BD长度乘积的一半．
解答：解：由约束条件作可行域如图，
圆M：（x﹣1）2+y2=9的圆心为M（1，0），半径为3．
E为图中阴影三角形及其内部一动点，
由图可知，当E点位于直线x+y=2与y轴交点时，E为可行域内距离圆心M最远的点．此时当AC过E且与ME垂直时最短．与AC垂直的直线交圆得到直径BD．
|ME|=，|AC|=，
．
故选：D．
点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，关键是确定使AC最短时的E的位置，是中档题．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为2x+y﹣1=0．
考点：直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
专题：计算题．
分析：设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线的方程为2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．
解答：解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入得﹣2+3+c=0，∴c=﹣1，
故所求的直线的方程为2x+y﹣1=0，
故答案为2x+y﹣1=0．
点评：本题考查利用待定系数法求直线的方程，与ax+by+c=0 垂直的直线的方程为bx ﹣ay+m=0的形式．
12．（5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为1．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：规律型．
分析：根据三视图的原则，高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可．
解答：解：根据三棱锥的俯视图是顶角为120°的等腰三角形，且底边长为2，
∴三棱锥的底面三角形的高为×tan30°=1，即，侧视图的宽为1，
由正视图的高为2?侧视图的高为2，
∴其面积S=1．
故答案是：1．
点评：本题考查简单几何体的三视图，属基础题．
13．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于±2．
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题；直线与圆．
分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．解答：解：∵OA⊥OB，OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
又圆心坐标为（0，0），半径R=2，
∴AB=R=2，
∴圆心到直线y=x+a的距离d=AB==，
∴|a|=2，
∴a=±2．
故答案为：±2．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出△AOB为等腰直角三角形是解本题的关键．
14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=，AB=4，BC=2，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得BM∥平面ACN，PN长度2．
考点：直线与平面平行的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：连接AC，BD，AC∩BD=O，取MD中点E，连接CN与PD交于N，取PN中点F，连接MF，则BM∥平面ACN．证明F，N为PD的三等分点，即可得出结论．
解答：解：如图所示，连接AC，BD，AC∩BD=O，取MD中点E，连接CN与PD交于N，取PN中点F，连接MF，则
∵BM∥OE，BM?平面ACN，OE?平面ACN，
∴BM∥平面ACN．
∵M为PC中点，F为PN中点，
∴MF∥CN，
∵E为MD中点，
∴N为DF中点，
∵PA=，BC=2，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴PD=3，
∴PN=2，
故答案为：2．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查学生的计算能力，确定F，N为PD的三等分点是关键．
15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；
（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值；
其中所有正确命题的序号是①②⑤．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：空间位置关系与距离；立体几何．
分析：（1）（2）利用棱柱的定义判定即可，（3）明显DE相交，（4）看图比较水面的面积的变化情况，（5）明显不变．
解答：解：对于命题1，由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状，
（三棱柱、四棱柱、五棱柱）BC为棱柱的一条侧棱，（1）正确，同理（2）也正确；
对于命题3，棱DE与水面EFGH相交与点E，（3）错误；
对于命题4，当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面的面积可能变大，也可能变小，故4错误
对于命题5，当容器倾斜如图（3）所示时，有水部分构成直三棱柱，而水的体积V保持不变，高BC保持不变，则底面三角形的面积BE?BF保持不变，BE?BF是定值，（5）正确的．
故答案为：①②⑤
点评：本题考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，综合计算能力，逻辑推理能力和空间想象力解本题即可．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）已知直线l1：2x+（m+1）y﹣2=0；直线l2：mx+y﹣1=0．
（Ⅰ）若l1⊥l2求实数m的值．
（Ⅱ）若l1∥l2，求实数m的值．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：（I）由两条直线垂直的条件，建立关于m的方程，解之可得实数m的值
（II）根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，即可得到使l1∥l2的实数m的值．解答：解（1）由2m+（m+1）×1=0?3m+1=0?m=﹣…（4分）
（2）由已知?2﹣（m+1）m=0?m2+m﹣2=0?m=﹣2或m=1…（6分）
当m=﹣2时?满足…（8分）
当m=1时?不满足…（10分）
综上m=﹣2 …（12分）
点评：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数m 之值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．
17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）连结BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能证明直线EF∥平面CB1D1．
（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，从而CC1⊥B1D1，由此能证明B1D1⊥平面CAA1C1，从而能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
解答：（1）证明：连结BD，在△ABD中，
E、F分别为棱AD、AB的中点，故EF∥BD，
又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…（2分）
又B1D1?平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，
所以直线EF∥平面CB1D1．…（6分）
（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，
则A1C1⊥B1D1…（8分）
又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，
则CC1⊥B1D1，…（10分）
又A1C1∩CC1=C1，A1C1?平面CAA1C1，CC1?平面CAA1C1，
所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1?平面CB1D1，
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18．（12分）已知一圆C的圆心为（2，﹣1），且该圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2（Ⅰ）求该圆的方程
（Ⅱ）求过点P（4，3）的该圆的切线方程．
考点：圆的标准方程；圆的切线方程．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）设圆C的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=r2（r＞0），则弦长P=2，由此能求出圆的方程．
（Ⅱ）设切线方程为y﹣3=k（x﹣4），由，得k=；当切线斜率不存在
的时候，切线方程为：x=4．由此能求出圆的切线方程．
解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=r2（r＞0），
则弦长P=2，
其中d为圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离，
∴P=2=2，∴r2=4，
∴圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4…（4分）
（Ⅱ）设切线方程为y﹣3=k（x﹣4）
由
得k=
所以切线方程为3x﹣4y=0 …（10分）
当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4．
故圆的切线方程为3x﹣4y=0或x=4．…（12分）
点评：本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面体ABCDE的体积．
考点：直线与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题．
专题：证明题；转化思想．
分析：（1）根据AE⊥平面CDE的性质可知AE⊥CD，而CD⊥AD，AD∩AE=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面ADE，而AB∥CD，，从而AB⊥平面ADE；
（2）在Rt△ADE中，求出AE，AD，DE，过点E作EF⊥AD于点F，根据AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，可知EF⊥AB，而AD∩AB=A，从而EF⊥平面ABCD，因AD?EF=AE?DE，可求出EF，又正方形ABCD的面积S ABCD=36，则
=，得到结论．
解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．
（2）解：在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，
∴．
过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵AD?EF=AE?DE，
∴．
又正方形ABCD的面积S ABCD=36，
∴=．
故所求凸多面体ABCDE的体积为．
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
20．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=，AD=，点F是PB 的中点，点E是边BC上的动点．
（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．
专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，则V E﹣PAD=V P﹣ADE，运用棱锥的体积公式计算即得；（Ⅱ）运用线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅲ）由线面垂直的性质和判定定理，即可得证．
解答：（Ⅰ）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
∴V E﹣PAD=V P﹣ADE，
=；
（Ⅱ）EF与平面PAC平行．
理由如下：当E为BC中点时，∵F为PB的中点，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（Ⅲ）证明：∵PA=AB，F为PB的中点，
∴AF⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB
∴BC⊥AF．
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
因无论点E在边BC的何处，都有PE?平面PBC，
∴PE⊥AF．
点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定和性质定理和运用，考查棱锥的体积公式，考查运算能力，属于中档题．
21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；
（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=2（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．
考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），由此能求出圆的方程．
（Ⅱ）设N（a，b），由点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称，得N（1，0），当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．解答：解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）
与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），…（2分）
所以半径
所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（4分）
（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称，
∴，∴N（1，0）…（5分）
注意：若没证明，直接得出结果N（1，0），不扣分．
（1）当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，同时令x=1，
代人圆方程得y=﹣4，
所以，所以满足题意，
此时方程为x=1．…（8分）
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0
圆心C（1，﹣4）到直线l的距离，…（9分）
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，
所以，…（10分）
而原点到直线的距离为，
所以，…（12分）
整理得3k2+1=0，不存在这样的实数k．
综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）
点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．