高中数学选修2-1圆锥曲线与方程知识点复习小结

第二章《圆锥曲线与方程》复习小结

【自主学习】

【学习目标】

1.了解圆锥曲线的实际背景，感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.经历从具体情境抽象出模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质；

3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；

4.进一步体会数形结合的思想，了解曲线与方程的关系.

【本章知识结构框图】

【本章知识与方法导析】

一、根据本章知识框图构建立体几何知识系统

1.曲线与方程

（1）概念：

.

（2）轨迹与轨迹方程的区别

.

2．熟练掌握求轨迹方程的常见方法

试说明以下几种方法的用法及适用题型

（1）五步法（直译法）求轨迹方程，你能说出是哪五步吗？.

（2）待定系数法

.

（3）相关点法（代入法）

.

（4）定义法

.

（5）参数法

.

3．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质

（1）判断方法

代数方法：.

几何方法：.

（2）弦长的求法（弦长公式）

.

……

5．体会本章蕴含的解析思想

（1）坐标法——研究几何问题的有力工具

几何图形（定量）——建立坐标系（定位）——用坐标运算研究几何性质，这是本章研究圆锥曲线的基本思路，也是坐标法用法的具体体现. （2）数形结合思想

圆锥曲线与方程，一个是几何图形，一个是代数方程，坐标法建立起了它们的关系，必然在研究过程中，数与形的结合是非常重要的手段，也是解决问题的重要途径. （3）“设而不求”思想

研究直线与圆锥曲线位置关系，用韦达定理“设而不求”，能简化运算. （4）“形散神聚” ——圆锥曲线的统一

椭圆、双曲线、抛物线是三种外型上差异很大的几何图形，本质上却有统一的背景和定义——都是平面截圆锥得到的截口曲线；都是平面内到一定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值不同就形成了不同的曲线. 6.需要注意的问题

（1）研究圆锥曲线，注意“位”和“量”两个方面，比如求标准方程，除需要基本量之外，还要注意焦点的位置；

（2）解决直线与圆锥曲线的交点问题时，用代数方法注意对消元后一元二次方程二次项系数是否为0的讨论；用数形结合法时注意特殊情况，如与双曲线渐近线平行，与抛物线对称轴平行等特殊情况；

（3）运用定义的意识，回归定义是一种重要的解题策略，如：求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；涉及椭圆、双曲线上的点与焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决.

【课堂点金】

【重难点突破】

1.轨迹问题

【例1】已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是

椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF 求点T 的轨迹C 的方程.

【解析】法一：设点T 的坐标为).,(y x

当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF 且时，由20PT TF ?=

，得2TF ⊥.又||||2PF =，

所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==

||2

1

||1，

所以有.222a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+

法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=?TF ，得2TF ⊥.

又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',

），则???

???

?'=+'=.2,2y y c x x 因此?

?

?='-='.2,

2y y c x x ①

由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ②, 将①代入②，可得.2

22a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+

【评析】（1）法一是直译法，法二是相关点法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；

（2）注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.

【变式1】已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)2

1(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为.

【解析】设线段AB 的中点为C ，如图，则|PA|=|PB|， 故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2>|AF|，

由椭圆定义知点P 的轨迹是以A 、F 为焦点、长轴为2的椭圆， 所以轨迹方程为13

42

2=+

y x . 2.圆锥曲线的定义及标准方程

【例2】ABC ?中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2

1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程． 【解析】取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，

因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．

利用正弦定理，从条件得242

1=?=-b c ，即2=-AC AB ．

由双曲线定义知，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为3

2的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13

2

2

=-y x (1>x )．

【评析】（1）本题用定义法求轨迹方程，最后一个环节“查漏补缺”是画龙点睛之笔，注意x 的范围限制；

（2）熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识.一般说来，涉及到曲线上的点与焦点（定点）的距离，很有可能使用定义；

（3）注意圆锥曲线的第二定义，它能很好的将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，达到简化运算的目的.焦半径公式，会推导即可，不必死记硬背.

【变式2】（复习参考题B 组第2题）如图，从椭圆22

221(0)a x y a b b

+=>>上一点P 向x 轴

作垂线，垂足恰为左焦点F 1，又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交

点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB//OP ，

1||F A =.

【解析】由题意1PF x ⊥轴，把x c =-代入椭圆方程，解得

2b y a =±.所以，点的坐标是2

(,)b P c a

-.

直线OP 的斜率2

1b k ac

=-,直线OP 的斜率2b k a =-.

由题意，得

2b b

ac a

=所以，,b c a ==.

由已知1||F A a c =+，得a c +

所以(1c =解得c =,所以a b ==因此，椭圆的标准方程为

22

1.105

x y += 3.焦点三角形问题

【例3】已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，12,F F 为左右焦点， P 是双曲线上一点，

且1260,F PF ∠= 12PF F S ?=，求双曲线的标准方程.

【解析】设双曲线方程为()22

2210,0x y a b a b

-=>>

2,2e c a =∴=

令1122||,||PF r PF r ==，在12PF F ?中，由余弦定理，

22212121242cos c r r r r F PF =+-∠221212r r r r =+-21212()+r r r r =- 222121244+12c a r r r r a =∴=即

12212121

sin 2

PF F S rr PF F ∴=∠=

所以，2

2

2

4,16,12a c b ===，双曲线标准方程为

22

1412

x y -=. 【评析】（1）12PF F ?由两焦点和曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 焦点三角形问题的主要类型有：周长、面积、角度等，通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.

（2）焦点三角形的面积主要有两种求法：121212121

1sin =2c |y |22

PF F PF F P S r r F PF S =∠ 和； （3）涉及到焦点、顶点、曲线上点（顶点以外）等问题，抓住几个特征三角形，举一反三.这是一个考察重点，容易出现离心率的值（或范围）的运算.

【变式3】（复习参考题B 组第1题）已知点P 是椭圆2216251600x y +=上一点，且在x

轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为-12PF F ?的面积.

【解析】椭圆即

22

110064

x y +=，所以右焦点()26,0F

直线PF 2为)6y x =--，代入椭圆方程，消去x 得2197680y --=

因为0y >，所以y =P 的纵坐标P y =，

所以121

22

PF F P S c y ?=

??=4.圆锥曲线的简单性质

【例4】已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x =，离心率e = （Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(，B 是圆22(1x y +=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标.

【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为

22221(0,0)x y a

b a b -=>>，设

c

x =

得2a c =

，由e =

c a = 解得1,a c = 从而2b =，∴该双曲线的方程为22

14

y x -

=. （Ⅱ）设点D 的坐标为，则点A 、D 为双曲线的焦点，||||22MA MD a -== 所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=++

+≥ ， B 是圆22(

1x y +=上的点，

其圆心为C ，半径为1，故||||11BD

CD -=≥ 从而||||2||1MA MB BD ++≥

当,M B 在线段CD 上时取等号，此时

||||MA MB +

1

直线CD 的方程为y x =-

M 在双曲线右支上，故0x >

由方程组2244

x y y x ?-=??=-??

解得x y ==

所以M

点的坐标为.

【评析】（1）熟练掌握圆锥曲线的简单性质，掌握研究性质过程中的数形结合思想；

（2）提高运算能力，是圆锥曲线学习的另外一个目的，注意自己梳理汇总常见算法，包括联立化简、复杂根式化简等.

【变式4】设椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为F ，上

顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 且PQ AP 5

8

=

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：

053=-+y x 相切，求椭圆C 的方程.

解：⑴设Q （x 0，0），由F （-c ，0） A （0，b ）知),(),,(0b x AQ b c FA

-==

c

b x b cx AQ FA 202

0,0,==-∴⊥

设PQ AP y x P 5

8

),,(11=由，得21185,1313b x y b c == 因为点P 在椭圆上，所以1)135

()138(22222=+b

b a

c b 整理得2b 2=3ac ，即2（a 2－c 2）=3ac ，22320e e +-=,故椭圆的离心率e ＝1

2

⑵由⑴知a c a c a c b ac b 2

1

212

3

3222

====，得又

；

，得， 于是F （－1

2 a ，0）， Q )0,2

3(a

△AQF 的外接圆圆心为（

2

1 a ，0），半径r=1

2|FQ|= a

所以a a =-2

|521

|

，解得a =2，∴c =1，b =3， 所求椭圆方程为13

42

2=+y x 5.直线与圆锥曲线的位置关系

【例5】经过点()0,2P 且与双曲线2241x y -=仅交于一点的直线有（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

【解析】（代数方法）直线方程设为2y kx =+，代入双曲线方程得22

(4)450k x kx ---=

当2

40k -=时，2k =±，此时直线与双曲线仅有一个交点；

当2k ≠±时，()

222

162048040k k k ?=+-=-=

，所以k =±

综上，k 有四个值，即由4条直线符合题意.

（几何方法）由图形观察知，当直线与渐近线平行或与双曲线相切时，直线与双曲线有1个焦点，故符合的直线有4条. 【评析】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；

（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）；

（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对?进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论；

（4）若P 在双曲线内部（含焦点的区域）时，过P 只能作两条直线与双曲线仅有一个交点，它们分别与渐近线平行；

若P 在双曲线上时，过P 能作3条直线与双曲线仅有一个交点，它们是1条切线，2条与渐近线平行；

若P 在双曲线外部（不含焦点的区域），且不在渐近线上时，过P 能作4条直线与双曲

线仅有一个交点，它们是2条切线，2条与渐近线平行；

若P 在双曲线的渐近线上且不为原点时，过P 能作2条直线与双曲线仅有一个交点，它们是1条切线，1条与渐近线平行；

若P 为原点时，不能作与双曲线仅有一个交点的直线.

【变式5】设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）

A ．[－

12，1

2

] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 【解析】易知抛物线28y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线l 的方程为()2y k x =+，

联立222228,

(48)40.(2),y x k x k x k y k x ?=?+-+=?

=+?

当0k =时，直线与抛物线有交点，

当0k ≠时，()

2

2

448

160k k ?=--≥，11,0k k ∴-≤≤≠且

综上，11k -≤≤.故选C. 6.中点弦问题

【例6】已知双曲线方程2222x y -=.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】(1)即设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则有关系2,42121=+=+y y x x ．又据对称性知21x x ≠，所以

2

12

1x x y y --是中点弦21P P 所在直线的斜率，由1P 、2P 在双曲线上，则有关系22,222

2222121=-=-y x y x ．两式相减是：

0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x

∴0)(2)(422121=---?y y x x ∴

42

12

1=--x x y y 所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ． （法二）当直线斜率不存在时，A 不是弦的中点；

设直线斜率为k ，则直线方程为()12y k x -=-，代入曲线方程，得

()2

2

222(21)4430k x

k k x k k -+--+-=，（*）

设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则()

12222142

k k x x k -+==-

所以，4k =.代入（*）式，知0?>，

所以，所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ．

(2)可假定直线l 存在，而求出l 的方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x

方法同(1)，联立方程?????=--=-0

122

222y x y x ，消去y,得03422=+-x x

然而方程的判别式08324)4(2<-=??--=?，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．

【评析】（1）通过将弦端点的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁.

（2）实际上，若给的定点P 在椭圆内或抛物线内、双曲线内（含焦点的区域），则0?>，即一定存在以P 为中点的弦；若定点P 在双曲线外，则有可能不存在以P 为中点的弦. 【变式6】在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围． 【解析】解法一：设B 、C 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 方程为m ky x +-=，代入x y 42=得，0442=-+m ky y ，设),(11y x B 、),(22y x C ，BC 中点),(00y x M ，则m k x k y y y +=-=+=202

102,22

∵点),(00y x M 在直线l 上，∴3)2(22++=-m k k k

∴k k k m 3223++-=，代入016162>+=?m k ，得0323<++k k k ，即0)3)(1(2<+-+k

k k k

解得01<<-k

解法二：设),(11y x B ，),(22y x C 关于l 对称，中点),(00y x M ，则?????==2

221

2144x y x y

相减得：)(4))((212122x x y y y y -=-+ ∴k y k

y 2,4)1

(200-==-?，则k

k x 3

20--=

∵),(00y x M 在抛物线x y 42=内部，∴02

04x y <

化简而得0323<++k k k ，即0)3)(1(2<+-+k

k k k ，解得01<<-k ．

7.求范围问题

【例7】已知椭圆22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>与直线10x y +-=相交于两点A 、B ．当

椭圆的离心率O e ≤≤，且0OA OB ?= （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．

【解析】由22222210b x a y a b x y ?+=?+-=?，得

222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 因为

2222

2(1)0a b a b =+-> ，所以221a b +> 此时

222121222

2

22(1),a a b x x x x a b a b -+==++

由0OA OB ?=

，得12

120x x y y +=，∴12122()10x x x x -++=

即222220a b a b +-=，故

2

2

2

21a b a =- 由

2222

22c a b e a a -==

，得2222b a a e =- ∴

221

211a e =+

-

由2e ≤≤

得25

342a ≤≤

2a ≤所以椭圆长轴长的取值范围为

【评析】求范围和最值的方法：

几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．

【变式7】已知P 是椭圆C ：

22

142

x y +=的动点，点1(,0)2A 关于原点O 的对称点是B ，若|PB|的最小值为

3

2，求点P 的横坐标的取值范围. 【解析】由1(,0)2A ，得1

(,0)2

B -，设(,)P x y

47)1(2122)21()21(||2222

22

+

+=-++=++=x x x y x PB ，

23||≥

PB ，4947)1(212≥++x ，解得0≥x 或2-≤x

又222-=∴≤≤-x x 或20≤≤x 8.定点、定值问题

【例8】已知点100(,)P x y 为双曲线

22

2218x y b b -=（b 为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为

A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P .

(1) 求线段1P 2P 的中点

P 的轨迹E 的方程; (2) 设轨迹E 与x 轴交于B D 、两点,在E 上任取一点

111,(0)Q x y y ≠（）,直线QB QD ，分别交y 轴于M N ，两点.

求证:以MN 为直径的圆过两定点.

【解析】 （1）由已知得208

303F b A b y （，

），（，）,则直线2F A 的方程为:0

3(3)y y x b b

=--, 令0x =得09y y =,即20(0,9)P y ,

设P x y （，）,则0000 2

952x x y y y y ?=???+?==??,即0025x x y y =???=??代入22002218x y b b -=得:2222

41825x y b b -=, 即P 的轨迹E 的方程为22

22

1225x y b b

-=. (2)在2222

1225x y b b

-=中令0y =得22

2x b =,

则不妨设00B D （，，）, 于是直线QB 的方程为

:)y x =

,

直线QD 的方程为

:)y x =

,

则00M

N （（,

则以MN 为直径的圆的方程为

:2

-0x y y +

+=（,

令0y =得:222

122

122b y x x b

=-,而11,Q x y （）在22221225x y b b -=上,则22

2112225x b y -=

,