函数解析式求法和值域求法讲义

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b

=+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴???=+=342b ab a ， ∴??????=-===3

212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．

二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式

容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原

复合函数的定义域，而是()g x 的值域．

例2 已知221)1(x

x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配

凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．

x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．

例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32

22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．

把???-='--='y

y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造

方程组，通过解方程组求得函数解析式．

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f ．

解 x x

f x f =-)1

(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成

x 1，得：x

x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x x x f 323)(--=． 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”

的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f ． 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ．

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f ． 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过

迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f ．

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--=，，

，

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(， 2)1(321)(+=+++=∴n n n n f ， +∈+=∴N x x x x f ,2

121)(2．

函 数 值 域 求 法 小 结

1．重难点归纳．

(1)求函数的值域．

此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．

(2)函数的综合性题目．

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．

(3)运用函数的值域解决实际问题．

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．

2．值域的概念和常见函数的值域．

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域．

常见函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????，

当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ???

． 反比例函数()0k y k x =

≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >．

对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．

正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ．

3．求函数值域（最值）的常用方法．

一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）

1、求242-+-=x y 的值域． 解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：

)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以．

2、求函数

y =的值域．

≥0≥1，然后在求其倒数即得答案．

解：≥0∴≥1，∴0

≤１，∴函数的值域为（0，1]． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）

1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．

解：设)0)((4)(2≥+-=x f x x x f ，配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f ． 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y ．

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f ．

2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

解：本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数的最大值．

易得：2(0,4)(0,2),=(42)2(1)2x y xy y y y ∈∈-=--+，而，y =1时，xy 取最大值2．

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

1、求函数1

2+=x x y 的值域． 解：因本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。 12+=x x y 反解得y

y x -=2即x x y -=2． 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y 。（反函数的定义域即是原函数的值域）

2、求函数2241

x y x +=-的值域． 解答：241y x y +=-，因为20x ≥，所以401

y y +≥-，算出值域为(,4](1,)y ∈-∞-+∞． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）

1、求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域． 解：由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原

函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足

032)(2≠++=x x x f ，即R x ∈此时方程有实根即△0≥，

△[292(2)]4(2)(37)0[,2]2

y y y y =---+≥?∈-． 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2

9,2-

==y y ）代回方程检验． 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,29[-∈y ． 2、求函数2122

x y x x +=++的值域． 解答：先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2=-+-+y x y yx ，(1)

这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判

别式0)12(4)12(2≥---=?y y y ，解得：1122

y -≤≤． 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数

（用三角代换）等）

1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 解：由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t 从而得：

)0(32

1341322≥+--=∴-=t t t y t x 变形得)0(8)1(22≥++-=t t y 即：]4,(-∞∈y ． 注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误．

六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）

1、求函数13y x x =-+-的值域。

分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数．

24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞??=∈??-∈+∞?

在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为),2[+∞．

七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）

，利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．）

1、求函数1(0)y x x x =+

>的值域．

解答：12y x x =+≥=，当且仅当1,1x x x

==时取等号． 注意：

在使用此法时一定要注意a b +≥的前提条件是a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ．

八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式）

1、求函数1

22+--=x x x x y 的值域． 解答：观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有

4

3)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y ． 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+???∈,4

3)(x f ． 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。所以 ?

????∈43,0)(x g 故)1,31???-∈y 2、如对于函数132x y x -=-，利用恒等变形，得到：)

23(31312331)23(31--=---=x x x y ， 容易观察得出此函数的值域为11(,)(,)33

y ∈-∞?+∞． 注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域．

九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）

十、利用导数求函数的值域（若函数f 在（a 、b ）内可导，可以利用导数求得f 在（a 、b ）

内的极值，然后再计算f 在a ，b 点的极限值。从而求得f 的值域）

十一、最值法（对于闭区间[a ，b ]上的连续函数y =f (x )，可求出y =f (x )在区间[a ，b ]内的极值，

并与边界值f (a )、f (b )作比较，求出函数的最值，可得到函数y 的值域）

十二、构造法（根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）

十三、比例法（对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函

数，进而求出原函数的值域）

配 套 练 习

求函数的解析式

例1．已知f (x )= 2

2x x -，求f (1x -)的解析式． （ 代入法 / 拼凑法 ）

变式1．已知f (x )= 21x -， 求f (2x )的解析式．

变式2．已知f (x +1)＝223x x ++，求f (x )的解析式．

例2．若f [ f (x )]＝4x ＋3，求一次函数f (x )的解析式． （ 待定系数法 ）

变式1．已知f (x )是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f (x )．

例3．已知f (x )-2 f (－x )＝x ，求函数f (x )的解析式． （ 消去法/ 方程组法 ）

变式1．已知2 f (x )- f (-x )＝x ＋1 ，求函数f (x )的解析式．

变式2．已知2 f (x )-f 1x ??

???

＝3x ，求函数f (x )的解析式．

例4．设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++， 求f （x ）的解析式． （ 赋值法 / 特殊值法）

变式1．已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1， 求f （x ）的解析式．

求函数的值域

例6．求下列函数的值域

①31y x =+， x ∈{1，2，3，4，5 }．( 观察法 )

②246y x x =-+，x ∈[)1,5．( 配方法 ：形如2y ax bx c =++ )

③2y x =( 换元法

：形如y ax b =+)

④1x y x =

+．( 分离常数法：形如cx d y ax b

+=+ )

⑤221y x x =+． ( 判别式法：形如21112222

a x

b x

c y a x b x c ++=++ )

变式1．求下列函数的值域

①2243y x x =-+．

②y x =

③ y ＝213x x +-． ④2224723

x x y x x +-=++．

⑤37y x x =-++． ⑥93(0)4y x x x

=+>．