2015年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知2

(1)1i i z

-=+（i 为虚数单位），则复数z =

A.1i +

B.1i -

C.1i -+

D.1i --

2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是

A.3

B.4

C.5

D.6

3.设x R ∈，则“1x >”是“3

1x >”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.若变量,x y 满足约束条件则2z x y =-的最小值为

A.-1

B.0

C.1

D.2

5.执行如图2所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =

A. B. C. D.

6. 若双曲线22

221x y a b

-

=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为

A.

3

B.54

C.4

3 D.53

7. 若实数,a b 满足

12

a b

+=，则ab 的最小值为 8. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是

A.奇函数，且在（0,1）上是增函数

B.奇函数，且在（0,1）上是减函数

C.偶函数，且在（0,1）上是增函数

D.偶函数，且在（0,1）上是减函数

9. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++

的最大值为

A.6

B.7

C.8

D.9 10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工

成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的

利用率= 新工件的体积/原工件的体积） A.

8

9π

B.

827π

C.)3

24

1

π

D.

)

3

8

1

π

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. 已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则()U A B = e________

12. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方

程为2sin ρθ=

，则曲线C 的直角坐标方程为______

13. 若直线3450x y -+=与圆2

2

2

(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠=

（O 为坐

标原点），则r =___________.

14. 若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是____________

15. 已知0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离

为ω=________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从装有2个红

球12,A A 和1个白球

B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正

确吗？请说明理由。

17. （本小题满分12分）

设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （Ⅰ）证明：sin cos B A =； （Ⅱ）若3

sin sin cos 4

C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 18.（本小题满分12分）

如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，

,E F 分别是1,BC CC 的中点.

（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；

（Ⅱ）若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45°，求三棱锥

F AEC -的体积.

19．（本小题满分13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且*

2133,n n n a S S n N ++=-+∈.

（Ⅰ） 证明：23n n a a +=； （Ⅱ） 求n S 。

20.（本小题满分13分）

已知抛物线2

1:4C x y =的焦点F 也是椭圆22

222:1(0)y y C a b a b

+=>>的一个焦点，1C 与2

C

的公共弦的长为.过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC

与

BD

同向。

（Ⅰ）求2C 的方程；

（Ⅱ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率。 21.（本小题满分13分）

已知0a >，函数()cos ([0,))x f x ae x x =∈+∞。记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n N ∈个极值点。

（Ⅰ）证明：数列{()}n f x 是等比数列；

（Ⅱ）若对一切*,|()|n n n N x f x ∈≤恒成立，求a 的取值范围。

参考答案

一、选择题：

1. D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.A

9.B

10.A

二、填空题：

11. {1，2，3} 12. 2220x y y +-=

13. 2

14. （0，2）

15.

2

π 三、解答题： 16．解：

（Ⅰ）所有可能的摸出结果是

111211122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},A a A a A b A b A a A a 21221212{,},{,},{,},{,},{,},{,}.A b A b B a B a B b B b

（Ⅱ）不正确。理由如下：

由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为

11122122{,},{,},{,},{,},A a A a A a A a

共4种，所以中奖的概率为41123=，不中奖的概率为121

1333-=>，故这种说法不正确。 17.解：

（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，得

sin sin cos sin A a A

A b B

==，所以 sin cos B A =

（Ⅱ）因为

sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-

sin()sin cos A B A B =+-

sin cos cos sin sin cos A B A B A B =+- cos sin A B =

所以3cos sin 4

A B =

由（Ⅰ）sin cos B A =，因此2

3sin 4B =

。又B 为钝角，所以sin B =，故120B = 。

由cos sin A B ==

知30A =

。从而180()30C A B =-+= 综上所述，30,120,30A B C ===

18. 解：

（Ⅰ）如图a ，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥，

又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥

因此AE ⊥平面11B BCC

而AE ?平面AEF ，所以，平面AEF ⊥平面11B BCC

（Ⅱ）设AB 的中点为D ，连结1,A D CD

因为ABC ?是正三角形，所以CD AB ⊥

又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥

因此CD ⊥平面11A ABB ，于是1CA D ∠为直线1AC 与平面11A ABB 所成的角

由题设，145CA D ∠= ，所以12

A

D CD AB ===

在1Rt AA D ?中，

1AA ===1122

FC AA =

=

故三棱锥F AEC -的体积11332AEC V S FC ?=== 19．解：

（Ⅰ）有条件，对任意*

n N ∈，有

2133n n n a S S ++=-+，

因而对任意*

n N ∈，2n ≥，有

1133n n n a S S +-=-+

两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,2n n a a n +=≥ 又121,2a a ==，所以

3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=

故对一切*

n N ∈，23n n a a +=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0n a ≠，所以

2

3n n

a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列；

数列2{}n a 是首项22a =，公比为3的等比数列，因此

112123,23n n n n a a ---==?

于是

2122...n n S a a a =+++

1321242(...)(...)n n a a a a a a -=+++++++ 11(13...3)2(13...3)n n --=+++++++ 13(13...3)n -=+++

3(31)2

n -=

从而1221223(31)3

23(531)22

n n n n n n S S a ----=-=

-?=?- 综上所述，3

223

(531),2

33-1,2

n n n

n S n -??-??=????当是奇数，（）当是偶数. 20．解：

（Ⅰ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以

221a b -=

①

又1C 与2C 的公共弦的长为1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由

此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3()2

，所以

22

9614a b

+= ②

联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为

22

198

y x += （Ⅱ）如图b ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y

因AC 与BD

同向，且||||AC BD =，所以AC BD = ，从而3142x x x x -=-，即

1234x x x x -=-，于是

2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-

③

设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+

由2

1,

4y kx x y

=+??

=?得2

440x kx --=，而12,x x 是这个方程的两根，所以

12124,4x x k x x +==-

④

由221,18

9y kx x y =+??

?+=??得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，所以

343422

1664

,9898k x x x x k k

+=-

=-++ ⑤

将④⑤代入③，得22

222

16464

16(1)(98)98k k k k

?+=+++，即

222

22

169(1)

16(1)(98)

k k k ?++=

+， 所以22(98)169k +=?，解得k =，即直线l

的斜率为±21．解：

（Ⅰ）()sin cos ax ax f x ae x e x '=+

(sin cos )ax e a x x =+

sin()ax x ?+

其中1tan ,02

a π

??=

<< 令()0f x '=，由0x ≥得x m ?π+=，即*,x m m N π?=-∈

对k N ∈，若2(21)k x k π?π<+<+，即2(21)k x k π?π?-<<+-，则()0f x '>； 若(21)(22)k x k π?π+<+<+，即(21)(22)k x k π?π?+-<<+-，则()0f x '< 因此，在区间((1),)m m ππ?--与(,)m m π?π-上，()f x '的符号总相反，于是

当*

()x m m N π?=-∈时，()f x 取得极值，所以

*()n x n n N π?=-∈

此时，()

1()()sin()(1)sin a n n a n n f x e

n e π?π?π??-+-=-=-，易知()0n f x ≠，而

2[(1)]11()

()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e π?π

π???

++-++--==-- 是常数，故数列{()}n f x 是首项为()1

()sin a f x e π??-=，公比为a e π

-的等比数列。

（Ⅱ）对一切*

,|()

|n n n N x f x ∈≤恒成立，即34

34nx n π

ππ--≤恒成立，亦即 34

34

nx e a n π

ππ-

≤-

恒成立（因为0a >） 设()(0)e g t t t '=

>，则2(1)()e t g t t

'-'=，令()0g t '=得1t = 当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间（0,1）上单调递减； 当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增。 因为1(0,1)x ∈，且当2n ≥时，1(1,),n n n x x x +∈+∞<，所以

4min

1254[()]min{(),()}min{(),()}()

444n g x g x g x g g g e π

π

π

ππ

====

因此，|()|n n x f x ≤恒成立，当且仅当

44e a π

π

≤ 解得44

a e π

-≥。故a 的取值范围是4[

,)4e π-+∞。