知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差

【学习目标】

1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；

2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …

n p n 1=

=，=ξE +1(x +2x …n

x n 1

)?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：

①()E E E ξηξη+=+；

②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；

b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：

η的分布列为

于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…

＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。

要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：

已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数

[1

2n

S =

21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差：

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．

ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．

要点诠释：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：

22()()D E E ξξξ=-

4.方差的性质：

若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2

()D D a b a D ηξξ=+=；

要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：

若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

证明：∵(0)P q ξ==,(1)P p ξ==,01p <<,1p q += ∴01E q p p ξ=?+?=

22(0)(1)(1).D p q p p p p ξ=-?+-?=-

2、二项分布：

若离散型随机变量ξ服从参数为,n p 的二项分布，即~(),B n P ξ，则 期望E nP ξ= 方差(1-)D np p ξ= 期望公式证明：

∵k

n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ，

∴001112220012......n n n k k n k n n n n n n n E C p q C p q C p q k C p q n C p q ξ---=?+?+?++?++?，

又∵1

1)]!

1()1[()!1()!1()!(!!--=-----?=-?

=k n k

n nC k n k n n k n k n k kC ，

∴=ξE (np 0011n n C p q

--＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0

111q p C n n n --- np q p np n =+=-1)(．

3、几何分布：

独立重复试验中，若事件A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件A 第一次发生时所做的试验次数

ξ是随机变量，且1()(1)k P k p p -ξ==-，0,1,2,3,,,k n = ，称离散型随机变量ξ服从几何分布，记

作：~()()P k k P ξξ==g ，。

若离散型随机变量ξ服从几何分布，且~()()P k k P ξξ==g ，，则 期望1

.E p

ξ=

方差21-p

D p

ξ=

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布：

若离散型随机变量ξ服从参数为,,N M n 的超几何分布，则

期望()nM

E N

ξ=

要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量ξ的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望、方差的定义求出E ξ、D ξ、σξ：

1122n n E x p x p x p ξ=++++

()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξ=-ξ+-ξ++-ξ+

σξ=注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用

① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。

③对于两个随机变量1ξ和2ξ，当需要了解他们的平均水平时，可比较1ξE 和2ξE 的大小。

④1ξE 和2ξE 相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1ξD 和2ξD ，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典型例题】

类型一、离散型随机变量的期望

例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望E ξ＝8.9，则y 的值为________．

【思路点拨】分布列中含有字母x 、y,应先根据分布列的性质，求出x 、y 的值，再利用期望的定义求解； 【解析】x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①

又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.

【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 举一反三：

【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E （ξ）=1.5，则a －b 为（ ）．

A ．－0.1

B ．0

C ．0.1

D ．0.2 【答案】B

由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1，

∴a+b=0.8．又E （ξ）=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5，即a+2b=1.2． 解得a=0.4，b=0.4，∴a －b=0． 【变式2】随机变量ξ的分布列为

，则E(5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 【答案】A 由已知得：

E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.

【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是

A.706元 C ．754元 D ．720元

【答案】A

节日期间预售的量：

E ξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)， 则期望的利润：

η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴E η＝3.4E ξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利润为706元．

【变式4】设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，且()P k ak b ξ==+（1,2,3,4k =），3E ξ=，则a b += ；

【答案】0.1；

由分布列的概率和为1，有()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=，

又3E ξ=，即1()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b ?++?++?++?+=， 解得0.1a =，0b =，故0.1a b +=。

例2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．

【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。

（1）求X 的可能取值，即求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200=－100分，答对2道题得2×100－100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况． 【解析】

（1）X 的可能取值为－300，－100，100，300． P （X=－300）=0.23

=0.008。

P （X=－100）=13C ×0.22

×0.8=0.096，

P （X=100）=23C ×0.2×0.82

=0.384，

P （X=300）=0.83

=0.512． 所以X 的概率分布为

∴E（X ）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180． （2）这名同学总得分不为负分的概率为

P （X≥0）=P （X=100）+P （X=300）=0.384+0.512=0.896． 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表． 举一反三：

【变式1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望

【答案】因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=?+?=ξE

【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

【答案】

设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

当0ξ=时，即第一次取得正品，试验停止，则

93(0)124

p ξ==

= 当1ξ=时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

(1)p ξ==

44

9119123=? 当2ξ=时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

(2)p ξ==

220

9109112123=?? 当3ξ=时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则

(3)p ξ==

220

199101112123=??? ∴ξ分布列为

∴3012344422022010

E ξ=?+?

+?+?= 【变式3】

某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为

求所收租车费η的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

【答案】

(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2； (Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=?+?+?+?

∵ η=2ξ+2

∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元） 故所收租车费η的数学期望为34.8元．

(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5?(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟

例3．若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。

【思路点拨】3次有放回的抽取就是3次独立重复试验，取出二等品的件数这一随机变量服从二项分布。

【解析】由题知一次取出二等品的概率为0.2，有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验， 即取出二等品的件数~(3,0.2)B ξ， 所以30.20.6E np ξ==?=，

(1)30.2(10.2)0.48D np p ξ=-=??-=.

【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值． 举一反三：

【变式1】 英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望． 【答案】

设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X ～B （80，0.25），Y ～B （20，0.25）， ∴E （X ）=80×0.25=20，E （Y ）=20×0.25=5．

故甲、乙的数学期望成绩分别为40分和85分．

【变式2】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2

3

，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ， （1）求X 的概率分布； （2）求X 和Y 的数学期望．

【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．

（1）3

0311(0)28P X C ??=== ?

??， 3

13

13

(1)28

P X C ??=== ???，

3

2313

(2)28

P X C ??=== ???，

3

33

11

(3)28

P X C ??=== ???。

所以X 的概率分布如下表：

（2）由（1）知()0123 1.58888

E X =?+?+?+?=，

或由题意13,2X B ?? ??? ，23,3Y B ?? ???

。 ∴1()3 1.52E X =?

=，2

()323

E Y =?=。 【变式3】 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为

0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则(20,0.9)B ξ ,

)25.0,20(~B η,

525.020,189.020=?==?=∴ηξE E

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 的成绩的期望分别是：

2555)(5)5(,90185)(5)5(=?===?==ηηξξE E E E

类型二、离散型随机变量的方差

例4.

设X 是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求E （X ）和D （X ）．

【思路点拨】 由概率分布的性质求出q 的值后，再计算E （X ），D （X ）． 【解析】 由概率分布的性质，得：

2

21(12)120121

01

q q q q ?+-+=??≤-≤??≤≤??

，得12q =-

∴13()101)1122E X ?=-?

+?+?= ?，

22213()(2(11)122D X ?=-?+-?+?= ?。

【总结升华】求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差的定义列式计算． 举一反三：

【变式1】 设随机变量X 的概率分布为

求D(X ）。

【答案】 本题考查方差的求法．可由分布列先求出X 的期望E （X ），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D （X ）=E （X 2

）－[E （X ）]2

来解．

解法一：

1111

()12(12)E X n n n n n n

=?+?++?=+++?

(1)1122

n n n n ++=?=，

∴D 222

111111()12222n n n V X n n n n +++??????=-?+-?++-? ? ? ??????

?

2222

1(1)(12)(1)(12)4n n n n n n ??+=+++-+?++++?

????

2112n -。 解法二：由解法一可求得1

()2

n E X +=

。 又2222

111()12E X n n n n

=?+?++?

2221(12)n n =++ (1)(21)6

n n ++=， ∴D 222

2

(1)(21)(1)1()()[()]6412

n n n n V X E X E X +++-=-=-=。

【变式2】

1．已知随机变量ξ的分布列如下表：

（1）求E （ξ），D （ξ），η； （2）设η=2ξ+3，求E （η），D （η）．

【答案】（1）1122331111

()(1)012363

E x p x p x p ξ=++=-?

+?+?=-；

2221122335()[()][()][()]9D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+-?=

，σ==。 （2）7()2()33E E ηξ=+=

，20

()4()9

D D ηξ==。 例5. 设某运动员投篮投中的概率为p=0.6．

（1）求一次投篮时，投中次数X 的数学期望和方差； （2）求重复5次投篮时，投中次数Y 的数学期望和方差．

【思路点拨】（1）投篮一次可能中，也可能不中，投中次数X 服从两点分布；（2）重复投篮5次的投中次

数Y 服从二项分布．

【解析】（1）X 服从两点分布，其分布列如下：

所以E （X ）=p=0.6，D （X ）=p （1－p ）=0.24． （2）由题设，Y ～B （5，0.6）． 所以E （Y ）=np=5×0.6=3，

D （Y ）=np （1－p ）=5×0.6×0.4=1.2．

【总结升华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算． 举一反三：

【变式1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球三次得分ξ的期望和方差。

【答案】罚球三次可以看作3次独立重复试验，即罚球三次得分~(3,0.7)B ξ， 所以30.7 2.1E np ξ==?=

(1)30.7(10.7)0.63D np p ξ=-=??-=.

【变式2】有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X ,求X 的分布列,期望和方差.

【答案】

类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用

例6. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X1和X2，它们的概率分布分别为

（1）求a，b的值；

（2）计算X1和X2的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况．

【思路点拨】

本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解．（1）可直接由分布列的性质列式求解．（2）利用定义求期望与方差．

【解析】（1）由分布列的性质知，

0.1+a+0.4=1，0.2+0.2+b=1，

即a=0.5，b=0.6。

（2）E（X1）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，

E（X2）=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4，

D（X1）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41，

D（X2）=(0－1.4)2×0.2+(1－1.4)2×0.2+(2－1.4)2×0.6=0.64。

由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲．

【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小（或离散程度）．

举一反三：

【变式1】A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好.

A机床B机床

【答案】 E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差.

D ξ1=（0-0.44）2

×0.7+（1-0.44）2

×0.2+（2-0.44）2

×0.06+（3-0.44）2

×0.04=0.6064,

D ξ2=（0-0.44）2

×0.8+（1-0.44）2

×0.06+（2-0.44）2

×0.04+（3-0.44）2

×0.10=0.9264.

∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.

【变式2】有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得

E(X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，

D(X 1)＝(1 200－1 400)2

×0.4＋(1 400－1 400)2

×0.3＋(1 600－1 400)2

×0.2＋(1 800－1 400)2

×0.1＝40 000；

E(X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，

D(X 2)＝(1 000－1 400)2

×0.4＋(1 400－1 400)2

×0.3＋(1 800－1 400)2

×0.2＋(2 200－1 400)2

×0.1＝160 000.

因为E(X 1)＝E(X 2)，D(X 1)

【变式3】 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，1

10，111

，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险

中：

（1）获赔的概率；（2）获赔金额X 的分布列与期望．

【答案】设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，3,2,1 k .

由题意知321,,A A A 独立，且11

1)(,101)(,91)(321===

A P A P A P . （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

11

3

1110109981)()()(1)(1321321=??-=-=-A P A P A P A A A P .

（Ⅱ）ξ的所有可能值为27000,18000,9000,0. 11

8

111010998)()()()()0(321321=??=

===A P A P A P A A A P P ξ, )()()()9000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

11110998111010198111010991??+??+??=

45

11

990242==，

)()()()18000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

1111019811110991111010191??+??+??=

110

3

99027==， )()()()()27000(321321A P A P A P A A A P P ===ξ990

1

11110191=

??=.

综上知，ξ的分布列为

求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得

990127000110318000451190001180?+?+?+?

=E ξ18.271811

29900≈=（元） 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，3,2,1=k ，

则1ξ有分布列

故10009

90001=?

=E ξ.

同理得18.81811

1

9000,900101900032≈?=E =?=E ξξ. 综上有

18.271818.8189001000321=++≈E +E +E =E ξξξξ（元）.