2017年高考数学第八章 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

2017年高考数学第八章 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
2017年高考数学第八章 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

§8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

1.两条异面直线所成角的求法

设a ,b 分别是两异面直线l 1,l 2的方向向量,则

2.直线与平面所成角的求法

设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与n 的夹角为β,则sin θ=|cos β|=|a ·n |

|a ||n |

. 3.求二面角的大小

(1)如图①,AB ,CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →

〉.

(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离

设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB →

|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2.

(2)点到平面的距离

如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO →

|=|AB →·n ||n |

.

题型一 求异面直线所成的角

例1 (2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )

A.110

B.25

C.3010

D.22 答案 C

解析 方法一 由于∠BCA =90°,三棱柱为直三棱柱,且BC =CA =CC 1, 可将三棱柱补成正方体.

建立如图(1)所示空间直角坐标系.

设正方体棱长为2,则可得A (0,0,0),B (2,2,0),M (1,1,2),N (0,1,2), ∴BM →=(-1,-1,2),AN →

=(0,1,2). ∴cos 〈BM →,AN →

〉=BM →·AN →|BM →||AN →|

-1+4

(-1)2+(-1)2+22×02+12+2

2=

36×5=30

10

.

方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角,再根据余弦定理求解.

如图(2),取BC 的中点D ,连接MN ,ND ,AD ,由于MN 綊1

2B 1C 1綊BD ,因此有ND 綊BM ,则ND 与NA 所成的

角即为异面直线BM 与AN 所成的角.设BC =2,则BM =ND =6,AN =5,AD =5,因此cos ∠AND =ND 2+NA 2-AD 22ND ·NA =30

10

.

思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.

长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所成角的

余弦值为( ) A.

1010 B.3010 C.21510 D.31010

答案 B

解析 建立坐标系如图,则A (1,0,0),E (0,2,1),B (1,2,0),C 1(0,2,2). BC 1→=(-1,0,2),AE →

=(-1,2,1), cos 〈BC 1→,AE →

〉=BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|=3010.

所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为

30

10

.

题型二 求直线与平面所成的角

例2 (2014·北京)如图,正方形AMDE 的边长为2,B ,C 分别为AM ,MD 的中点,在五棱锥P -ABCDE 中,F 为棱PE 的中点,平面ABF 与棱PD ,PC 分别交于点G ,H .

(1)求证:AB ∥FG ;

(2)若P A ⊥底面ABCDE ,且P A =AE ,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并求线段PH 的长.

思维点拨 解答(2)时,可以以A 为原点,以AB →,AE →,AP →

方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系. (1)证明 在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点, 所以AB ∥DE .

又因为AB ?平面PDE , 所以AB ∥平面PDE .

因为AB ?平面ABF ,且平面ABF ∩平面PDE =FG , 所以AB ∥FG .

(2)解 因为P A ⊥底面ABCDE , 所以P A ⊥AB ,P A ⊥AE .

如图建立空间直角坐标系A -xyz ,

则A (0,0,0),B (1,0,0),C (2,1,0),P (0,0,2),F (0,1,1),BC →=(1,1,0),AB →=(1,0,0),AF →

=(0,1,1). 设平面ABF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则 ?????

n ·AB →=0,n ·

AF →=0,即?????

x =0,y +z =0.

令z =1,则y =-1,所以n =(0,-1,1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α, 则sin α=|cos 〈n ,BC →

〉|=??????n ·BC →|n ||BC →|=12

.

因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π

6,

设点H 的坐标为(u ,v ,w ).

因为点H 在棱PC 上,所以可设PH →=λPC →

(0<λ<1), 即(u ,v ,w -2)=λ(2,1,-2), 所以u =2λ,v =λ,w =2-2λ.

因为n 是平面ABF 的一个法向量,所以n ·AH →

=0, 即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.

解得λ=23,所以点H 的坐标为(43,23,23).

所以PH =

(43)2+(23)2+(-4

3

)2=2. 思维升华 利用向量法求线面角的方法:

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);

(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

(2013·湖南)如图,在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,AC ⊥BD ,

BC =1,AD =AA 1=3. (1)证明:AC ⊥B 1D ;

(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.

方法一 (1)证明 如图,因为BB 1⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD ,所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ,

所以AC ⊥平面BB 1D , 而B 1D ?平面BB 1D , 所以AC ⊥B 1D .

(2)解 因为B 1C 1∥AD ,

所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ). 如图,连接A 1D ,因为棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1是直棱柱,且∠B 1A 1D 1=∠BAD =90°, 所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1,从而A 1B 1⊥AD 1. 又AD =AA 1=3,所以四边形ADD 1A 1是正方形. 于是A 1D ⊥AD 1,

又因为A 1B 1∩A 1D =A 1,故AD 1⊥平面A 1B 1D , 于是AD 1⊥B 1D .

由(1)知,AC ⊥B 1D ,且AC ∩AD 1=A , 所以B 1D ⊥平面ACD 1.

故∠ADB 1=90°-θ,在直角梯形ABCD 中, 因为AC ⊥BD ,所以∠BAC =∠ADB .

从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ,故AB DA =BC

AB ,

即AB =DA ·BC = 3.

连接AB 1,易知△AB 1D 是直角三角形,且B 1D 2=BB 21+BD 2=BB 21+AB 2+AD 2=21,即B 1D =21.

在Rt △AB 1D 中,cos ∠ADB 1=AD B 1D =321

=21

7, 即cos(90°-θ)=

217.从而sin θ=21

7

. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为

21

7

.

方法二 (1)证明 易知,AB ,AD ,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.

设AB =t ,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B (t,0,0),B 1(t,0,3),C (t,1,0),C 1(t,1,3),D (0,3,0),D 1(0,3,3).

从而B 1D →=(-t,3,-3),AC →=(t,1,0),BD →

=(-t,3,0). 因为AC ⊥BD ,所以AC →·BD →

=-t 2+3+0=0, 解得t =3或t =-3(舍去).

于是B 1D →=(-3,3,-3),AC →

=(3,1,0), 因为AC →·B 1D →=-3+3+0=0, 所以AC →⊥B 1D →

,即AC ⊥B 1D .

(2)解 由(1)知,AD 1→=(0,3,3),AC →

=(3,1,0), B 1C 1→

=(0,1,0).

设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量, 则?????

n ·AC →=0,n ·

AD 1→=0,即???

3x +y =0,3y +3z =0,

令x =1,则n =(1,-3,3). 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则 sin θ=|cos 〈n ,B 1C 1→

〉|=??????n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|=37=217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217

. 题型三 求二面角

例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点,AA 1=AC =CB =

2

2

AB .

(1)证明:BC 1∥平面A 1CD ; (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值.

思维点拨 以C 为原点,以CA →,CB →,CC 1→

的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系. (1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1的中点. 又D 是AB 的中点,连接DF ,则BC 1∥DF . 因为DF ?平面A 1CD ,BC 1?平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD .

(2)解 由AC =CB =

2

2

AB 得,AC ⊥BC . 以C 为坐标原点,CA →的方向为x 轴正方向,CB →的方向为y 轴正方向,CC 1→

的方向为z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz . 设CA =2,则D (1,1,0),E (0,2,1),A 1(2,0,2), CD →=(1,1,0),CE →=(0,2,1),CA 1→

=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,

则?????

n ·CD →=0,n ·

CA 1→=0,即?????

x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0.可取n =(1,-1,-1).

同理,设m 是平面A 1CE 的法向量, 则?

????

m ·CE →=0,m ·CA 1→=0.可取m =(2,1,-2).

从而cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=33,故sin 〈n ,m 〉=63.

即二面角D -A 1C -E 的正弦值为

6

3

. 思维升华 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

(2014·课标全国Ⅰ)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .

(1)证明:AC =AB 1;

(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1=60°,AB =BC ,求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值. (1)证明 连接BC 1,交B 1C 于点O ,连接AO . 因为侧面BB 1C 1C 为菱形,

所以B 1C ⊥BC 1,且O 为B 1C 及BC 1的中点. 又AB ⊥B 1C ,AB ∩BO =B ,所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ?平面ABO ,故B 1C ⊥AO . 又B 1O =CO ,故AC =AB 1.

(2)解 因为AC ⊥AB 1,

且O 为B 1C 的中点,

所以AO =CO .又因为AB =BC , 所以△BOA ≌△BOC ,

故OA ⊥OB ,从而OA ,OB ,OB 1两两互相垂直.

以O 为坐标原点,OB →、OB 1→、OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,|OB →

|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .

因为∠CBB 1=60°,所以△CBB 1为等边三角形. 又AB =BC ,OC =OA ,则A (0,0,33),B (1,0,0),B 1(0,33,0),C (0,-33,0),AB 1→=(0,33,-33

),A 1B 1→=AB →

=(1,0,-

33),B 1C 1→=BC →

=(-1,-33

,0). 设n =(x ,y ,z )是平面AA 1B 1的法向量, 则?

??

??

n ·

AB 1→=0,n ·A 1B 1→=0,即??

?

33y -33z =0,

x -33z =0.

所以可取n =(1,3,3).

设m 是平面A 1B 1C 1的法向量,则?????

m ·

A 1

B 1→=0,m ·B 1

C 1→=0.

同理可取m =(1,-3,3). 则cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=1

7

.

所以二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值为1

7.

题型四 求空间距离

例4 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,AB =23,求点A 到平面MBC 的距离.

思维点拨 以CD 的中点为原点,建立空间直角坐标系.

解 如图,取CD 的中点O ,连接OB ,OM ,因为△BCD 与△MCD 均为正三角形,所以OB ⊥CD ,OM ⊥CD ,又平面MCD ⊥平面BCD ,所以MO ⊥平面BCD .

以O 为坐标原点,直线OC ,BO ,OM 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz .

因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,所以OB =OM =3,则O (0,0,0),C (1,0,0),M (0,0,3),B (0,-3,0),A (0,-3,23),

所以BC →=(1,3,0),BM →

=(0,3,3). 设平面MBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),

由????? n ⊥BC →,n ⊥BM →,得?????

n ·BC →=0,n ·

BM →=0,即???

x +3y =0,

3y +3z =0,

取x =3,可得平面MBC 的一个法向量为n =(3,-1,1). 又BA →

=(0,0,23),所以所求距离为d =|BA →

·n ||n |=2155

.

思维升华 求点面距一般有以下三种方法:①作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;②等体积法;③向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.

如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,D 是

棱CC 1上的一点,P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点,且PB 1∥平面BDA 1. (1)求证:CD =C 1D ;

(2)求二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值; (3)求点C 到平面B 1DP 的距离.

(1)证明 连接AB 1交BA 1于点O ,

∵B 1P ∥平面BDA 1,B 1P ?平面AB 1P ,平面AB 1P ∩平面BA 1D =OD ,∴B 1P ∥OD . 又∵O 为B 1A 的中点,∴D 为AP 的中点. ∵C 1D ∥AA 1,∴C 1为A 1P 的中点. ∴DC 1=12AA 1=1

2

CC 1,∴C 1D =CD .

(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系A 1-xyz ,

则B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,1

2

),

∴A 1B 1→=(1,0,0),A 1B →=(1,0,1),A 1D →

=(0,1,12).

设平面BA 1D 的一个法向量为n =(x ,y ,z ).

由????? A 1B →·

n =0,A 1D →·n =0,得?????

x +z =0,y +12

z =0.

令z =2,则x =-2,y =-1,∴n =(-2,-1,2). 又A 1B 1→

=(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量, ∴cos 〈n ,A 1B 1→

〉=n ·A 1B 1→|n ||A 1B 1→|=-23×1=-23.

由图形可知二面角A -A 1D -B 为锐角, ∴二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值为2

3.

(3)解 ∵C (0,1,1),D (0,1,1

2),B 1(1,0,0),P (0,2,0),

∴CD →=(0,0,-12),DB 1→

=(1,-1,-12),DP →=(0,1,-12).

设平面B 1DP 的一个法向量为n =(x ,y ,z ). 由?

??

??

DB 1→·n =0,DP →·n =0,得???

x -y -1

2

z =0,

y -1

2z =0.

令z =2,则x =2,y =1,∴n =(2,1,2). ∴点C 到平面B 1DP 的距离d =|CD →·n ||n |=1

3.

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平 行直线;当我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与

2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;

2017年全国高考理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题(每小题5分,共60分) 1、 =++i i 13( ) A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421,,=A ,{} 042=+-=m x x x B ,若{}1=B A ,则=B ( ) A 、{1,-3} B 、{1,0} C 、{1,3} D 、{1,5} 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ,则y x z +=2的最小值( ) A 、-15 B 、-9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则( ) A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图,如果输入的1-=a ,则输出的=S ( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C :12222=-b y a x (0>a ,0>b )的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2,则C 的离心率为( ) A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法

2017年高考全国卷一文科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ? ?

空间向量在立体几何中的应用教案

空间向量在立体几何中的应用 教学目标: (1)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (2)能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 (3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程: 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量,则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角 设是直线l 的方向向量,n 是平面的法向量,则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设 分别为平面 的法向量,则θ与 互补或相等, 注意:运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当的空间直角坐标。(2)求出相关点的坐标。(3)写出向量坐标。(4)结合公式进行论证、计算。(5)转化为几何结论。 例1:已知三棱锥P -ABC 中,PA ⊥ABC ,AB ⊥AC ,PA=AC=1 2AB ,N 为AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. (1)证明:CM ⊥SN ; (2)求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析:本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解:设PA =1,以A 为原点,射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系,如图。 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, 12),N(12,0,0),S(1,1 2,0) (1) 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量,则令得因为所与平面所成的o 45角为 例2:如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB ,EF FB ⊥, 2AB EF =,90BFC ∠=?,BF FC =,H 为BC 的中点。 (1)求证:FH ∥平面EDB ; (2)求证:AC ⊥平面EDB ; (3)求二面角B DE C --的大小。 分析:本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解: ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形,又且,平面又为中点,且平面 A E F B C D H G X Y Z

2017年北京高考文科数学试题及答案解析

2017年市高考文科数学试卷逐题解析 数 学(文)(卷) 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷的答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题 1. 已知全集U R =,集合{|2A x x =<-或2}x >,则U C A = A. ()2,2- B. ()(),22,-∞-+∞ C. []2,2- D. (] [),22,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】 {|2A x x =<-或}()()2=,22,x >-∞+∞, []2,2U C A ∴=-,故选C . 2. 若复数()()1i a i -+在复平面对应的点在第二象限,则实数a 的取值围是 A. (),1-∞ B. (),1-∞- C. ()1,+∞ D. ()1,+-∞ 【答案】B 【解析】 (1)()1(1)i a i a a i -+=++-在第二象限. 1010a a +? 得1a <-.故选B .

3. 执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 A. 2 B. 32 C. 53 D.85 【答案】C 【解析】0,1k S ==. 3k <成立,1k =,2 S =21 =. 3k <成立,2k =,2+13S =22 =. 3k <成立,3k =,3 +152S =332 =. 3k <不成立,输出5 S 3 =.故选C . 4.若,x y 满足32x x y y x ≤?? +≥??≤?,则2x y +的最大值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】设2z x y =+,则122 z y x =-+,当该直线过()3,3时,z 最 大. ∴当3,3x y ==时,z 取得最大值9,故选D .

2017年高考理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(xx卷)数学(理科) 第Ⅰ卷(共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2017年xx,理1,5分】设函数的定义域为,函数的定义域为,则()(A)(B)(C)(D) 【答案】D 【解析】由得,由得,,故选D. (2)【2017年xx,理2,5分】已知,是虚数单位,若,,则()(A)1或(B)或(C)(D) 【答案】A 【解析】由得,所以,故选A. (3)【2017年xx,理3,5分】已知命题:,;命题:若,则,下列命题为真命题的是() (A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】由时有意义,知是真命题,由可知是假命题, 即,均是真命题,故选B. (4)【2017年xx,理4,5分】已知、满足约束条件,则的最大值是()(A)0(B)2(C)5(D)6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现,

当其经过直线与的交点时,最大为 ,故选C. (5)【2017年xx,理5,5分】为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为,已知,,,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为() (A)160(B)163(C)166(D)170 【答案】C 【解析】,故选C. (6)【2017年xx,理6,5分】执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的值为7,第 二次输入的值为9,则第一次、第二次输出的值分别为()(A)0,0(B)1,1(C)0,1(D)1,0 【答案】D 【解析】第一次;第二次,故选D. (7)【2017年xx,理7,5分】若,且,则下列不等式成立的是()(A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】,故选B. (8)【2017年xx,理8,5分】从分别标有1,2,…,9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1xx,则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是() (A)(B)(C)(D)

[历年真题]2017年山东省高考数学试卷(文科)

2017年山东省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合M={x||x﹣1|<1},N={x|x<2},则M∩N=() A.(﹣1,1)B.(﹣1,2)C.(0,2)D.(1,2) 2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=() A.﹣2i B.2i C.﹣2 D.2 3.(5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 4.(5分)已知cosx=,则cos2x=() A.﹣ B.C.﹣ D. 5.(5分)已知命题p:?x∈R,x2﹣x+1≥0.命题q:若a2<b2,则a<b,下列命题为真命题的是() A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q 6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为() A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5 7.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为()

A.B. C.πD.2π 8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为() A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7 9.(5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()=() A.2 B.4 C.6 D.8 10.(5分)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2x B.f(x)=x2C.f(x)=3﹣x D.f(x)=cosx 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)已知向量=(2,6),=(﹣1,λ),若,则λ=. 12.(5分)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.13.(5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为. 14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x﹣2).若当x∈[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x,则f(919)=.

利用空间向量立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难,下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ , 计算平面α的法向量n , 计算PQ 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤:

2017年全国统一高考数学试卷(理科)

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则() A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=? 2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是() A.B.C.D. 3.(5分)设有下面四个命题 p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=; p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为() A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8 5.(5分)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f (x﹣2)≤1的x的取值范围是() A.[﹣2,2] B.[﹣1,1] C.[0,4] D.[1,3] 6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为() A.15 B.20 C.30 D.35 7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()

2017年全国高考文科全国3卷数学试题及答案-

2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 卷3 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B 中元素的个数为 A .1 B .2 C .3 D .4 2.复平面表示复数(2)z i i =-+的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 A .月接待游客逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知4 sin cos 3 αα-= ,则sin 2α=

A .79 - B .29 - C . 29 D . 79 5.设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤?? ≥??≥? ,则z x y =-的取值围是 A .[-3,0] B .[-3,2] C .[0,2] D .[0,3] 6.函数1()sin()cos()536 f x x x ππ = ++-的最大值为 A .65 B .1 C .35 D . 15 7.函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为 A . B . C . D . 8.执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正 整数N 的最小值为 A .5 B .4 C .3 D .2 9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个 球的球面上,则该圆柱的体积为 A .π B . 34π C . 2 π D .4 π

高中数学空间向量与立体几何的教学反思

空间向量与立体几何的教学反思 本部分是高三理科数学复习的一个重要部分,是数学必修4“平面向量”在空间的推广,又是数学必修2“立体几何初步”的延续,努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究,本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入,为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象,引入向量运算,使数学的运算对象发生了一个重大跳跃:从数、字母与代数式到向量,运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象,本身既有方向,又有长度;是沟通代数与几何的一个桥梁,是一个重要的数学与物理模型,这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点,要让学生体会向量的思想方法,以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系 一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较:

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的

过程,目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳),体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题,并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中,也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求,是后续学习的前提。 新老课程相比,该部分减少了大量的综合证明的内容,重在对于图形的把握,发展空间概念,运用向量方法解决计算问题,这样的调整,将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面,更加注意数学与现实世界的联系和应用,重在发展学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识,提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力,为学生日后的进一步学习,或工作、生活中应用数学,打下更好的基础。 二、教学要求 本章从数量表示和几何意义两方面,把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼,由浅入深”的认识发展过程。 本章以立体几何问题为载体,体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理,再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是: (1)类比、猜想、归纳、推广(让学生经历由平面向空间推广的过程); (2)能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。

2017年北京市高考数学试卷(文科)

2017年北京市高考数学试卷(文科) 一、选择题 1.(5分)(2017?北京)已知全集U=R,集合A={x|x<﹣2或x>2},则?U A=()A.(﹣2,2)B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)C.[﹣2,2]D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 2.(5分)(2017?北京)若复数(1﹣i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是() A.(﹣∞,1)B.(﹣∞,﹣1)C.(1,+∞)D.(﹣1,+∞) 3.(5分)(2017?北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为() A.2 B.C.D. 4.(5分)(2017?北京)若x,y满足,则x+2y的最大值为()A.1 B.3 C.5 D.9 5.(5分)(2017?北京)已知函数f(x)=3x﹣()x,则f(x)() A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数 6.(5分)(2017?北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()

A.60 B.30 C.20 D.10 7.(5分)(2017?北京)设,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是“? <0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 8.(5分)(2017?北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是() (参考数据:lg3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 二、填空题 9.(5分)(2017?北京)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若sinα=,则sinβ=. 10.(5分)(2017?北京)若双曲线x2﹣=1的离心率为,则实数m=. 11.(5分)(2017?北京)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.12.(5分)(2017?北京)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(﹣2,0),O为原点,则?的最大值为.

高中数学选修2-1教案 第三章 空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法 第一课时 立体几何中的向量方法(1) 教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题. 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程: 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是:⑴如何把已知的几何条件(如线段、角度等)转化为向量表示; ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式; ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算,才能获得需要的结论? 2. 通法分析:利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢? ⑴利用定义a ·b =|a ||b |cos <a ,b >或cos <a ,b >=a b a b ??,可求两个向量的数量积或夹角 问题; ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b =0可以解决线段或直线的垂直问题; ⑶利用性质a ·a =|a |2,可以解决线段的长或两点间的距离问题. 二、例题讲解 1. 出示例1:已知空间四边形OABC 中,OA BC ⊥,OB AC ⊥.求证:OC AB ⊥. 证明:·OC AB =·()OC OB OA - =·OC OB -·OC OA . ∵OA BC ⊥,OB AC ⊥, ∴·0OA BC =,·0OB AC =, ·()0OA OC OB -=,·()0OB OC OA -=. ∴··OA OC OA OB =,··OB OC OB OA =. ∴·OC OB =·OC OA ,·OC AB =0. ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2:如图,已知线段AB 在平面α内,线段AC α⊥,线段BD ⊥AB ,线段'DD α⊥,'30DBD ∠=,如果AB =a ,AC =BD =b ,求C 、D 间的距离. 解:由AC α⊥,可知AC AB ⊥. 由'30DBD ∠=可知,<,CA BD >=120, ∴2||CD =2()CA AB BD ++=2||CA +2||AB +2||BD +2(·CA AB +·CA BD +·AB BD ) =22222cos120b a b b +++=22a b +. ∴CD 3. 出示例3:如图,M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的 棱'BB 、''B C 的中点.求异面直线MN 与'CD 所成的角. 解:∵MN =1(')2CC BC +,'CD ='CC CD +, ∴·'MN CD =1(')2CC BC +·(')CC CD +=12 (2|'|CC +'CC CD +·'BC CC +·BC CD ). ∵'CC CD ⊥,'CC BC ⊥,BC CD ⊥,∴'0CC CD =,·'0BC CC =,·0BC CD =, ∴·'MN CD =122|'|CC =12. …求得 cos <,'MN CD >12 =,∴<,'MN CD >=60. 4. 小结:利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示式,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x => D .A B =? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A . 14 B . π8 C .12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A .13,p p B .14,p p C .23,p p D .24,p p 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

山西省2017年高考文科数学试题及答案(Word版)

1 山西省2017年高考文科数学试题及答案(Word 版) (考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={}|2x x <,B={}|320x x ->,则 A .A B=3|2x x ??

2017年高考真题文科数学

文科数学 2017年高三2017全国甲卷文数 文科数学 题型单选题填空题简答题总分 得分 单选题(本大题共12小题,每小题____分,共____分。) 1.设集合,则 ( ) A. B. C. D. 2.(1+i)(2+i)=( ) A. B. C. D. 3.函数的最小正周期为( ) A. B. C. D. 4.设非零向量,满足,则( ) A. ⊥

B. C. ∥ D. 5.若,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 7.设满足约束条件则的最小值是( ) A. B.

C. D. 8.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( ) A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 10.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的 ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. B. C. D. 12.过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在的轴上方),为的准线,点在上且,则到直线的距离为 ( )

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a =(a 1,b 1,c 1).平面α,β的法向量u =(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4) (1)线面平行:l ∥α?a ⊥u ?a ·u =0?a 1a 3+b 1b 3+c 1c 3=0 (2)线面垂直:l ⊥α?a ∥u ?a =k u ?a 1=ka 3,b 1=kb 3,c 1=kc 3 (3)面面平行:α∥β?u ∥v ?u =k v ?a 3=ka 4,b 3=kb 4,c 3=kc 4 (4)面面垂直:α⊥β?u ⊥v ?u ·v =0?a 3a 4+b 3b 4+c 3c 4=0 例1、如图所示,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A =AB =1,BC =2. (1)求证:EF ∥平面P AB ; (2)求证:平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系如图所示,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),所以E ? ????1 2,1,12, F ? ????0,1,12,EF =? ?? ?? -12,0,0,PB =(1,0,-1),PD =(0,2,-1),AP =(0,0,1),AD =(0,2,0),DC =(1,0,0),AB =(1,0,0). (1)因为EF =-1 2AB ,所以EF ∥AB ,即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ,EF ?平面P AB ,所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC =(0,0,1)·(1,0,0)=0,AD ·DC =(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以AP ⊥DC ,AD ⊥DC ,即AP ⊥DC ,AD ⊥DC . 又AP ∩AD =A ,AP ?平面P AD ,AD ?平面P AD ,所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC , 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时,既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行,然后根据线面平行的判定定理得到线面平行,也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明面面垂直既可以证明线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =90°,BC =2,CC 1=4,点E 在线段BB 1上, 且EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,C 1B 1,C 1A 1的中点. 求证:(1)B 1D ⊥平面ABD ; (2)平面EGF ∥平面ABD .

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