惠州市2014-2015学年第一学期高二期末考试_数学_试题(理科)

惠州市2014-2015学年第一学期期末模拟考试

高二数学（理科）试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符

合题目要求的）

1．双曲线22

-13664

y x =的焦距等于（ ）．

A ．20

B ．16

C ．12

D ．8

2．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔30分钟抽取2个产品作为样本进行检测，这种抽样方法是（ ）．

A ．抽签法

B ．随机数表法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法 3．空间中，与向量(3,0,4)a =共线的单位向量e 为（ ） A ．(1,0,1)e = B ．3

4(,0,)55e =或34(,0,)55

e =-- C ．34(,0,)55

e = D ．(1,0,1)e = 或(1,0,1)e =--

4.已知点F 是抛物线28y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2， 则||PF =（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：

①若A 为不可能事件，则()0P A =． ②若A 与B 对立，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ?=+． 其中真命题有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．“0a ≠”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）

条件。

A ．充分不必要

B ．必要不充分

C ．充要

D ．既不充分也不必要

A 1

C 7．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n ( )．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

8．已知椭圆

22

2

116x y b +=(04)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22

||||AF BF +的最大值为10，则b 的值是（

） A ．

B

C D 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答卷相应位置上．)

9．双曲线22

13664

x y -= 的渐近线方程为 ．

10. 样本2-，1-，0，1，2的标准差为 ．

11.已知(1,5,2)a =-，(,2,3)b m m =+，若a b ⊥，则m 的值为 ． 12.命题“2

,210x R x ?∈+<”的否定是 ．

13.某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合0.80.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 14.如图，在棱长为3的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）

任取一点M ，

则11≥?的概率

=p ．

三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）

某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄不超过18岁的共青团员有12人，年龄大于18岁的党员有8人．

（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于18岁的党员应该抽取几名? （2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人为共青团员的概率．

16．（本小题满分12分）

已知11x -≤≤，11y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．

（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(1)(1)1x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(1)(1)1x y -+-≤的概率．

17．（本小题满分14分）

设命题p ：实数x 满足22

320x ax a -+<，其中0a >；

命题q ：实数x 满足2

560x x -+≤； （1）若3

2

a =

，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

18．（本小题满分14分）

已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为3

，直线:y x 2l =-+ 与圆222x y b +=相

切．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．

A

B

C D

1

A 1

B 1

C 1

D E

F

G

19．（本小题满分14分）

如图，已知正方体1AC 棱长为1，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点． （1）证明：1

AG ⊥面EFD ； （2）求二面角E DF C --的余弦值．

20．（本小题满分14分）

已知动直线l 与椭圆C ：22

123

x y +

= 交于

P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?O 为坐标原点． （1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；

（

2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值；

（3）椭圆C 上是否存在点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ???===

若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．

惠州市2013-2014学年第一学期期末考试

高二数学（理科）试题答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

C

B

C

D

C

D

A

1．【解析】由10c ==，所以焦距为20.∴选A ． 2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C ． 3．【解析】2||305a =+=，∴134

(3,0,4)(,0,)5

55||a e a ==?=，∴选B ．

4．【解析】抛物线2

8y x =知

22p =，||2242

P p

PF x =+=+=，∴选C 5．【解析】由概率的性质知①②③为真命题，∴选D ．

6．【解析】当且仅当0a ≠时，方程2

y ax =表示的曲线为抛物线，∴选C ．

7．【解析】5a =，进入循环后各参数对应值变化如下表：

p

15 20 结束 q

5 25 n

3

5

∴选D ．

8．【解析】∵|AF 1|+|AF 2|=8，|BF 1|+|BF 2|=8，∴△AF 2B 的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16；

若|AB|最小时，|BF 2|+|AF 2|的最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB|最小，

此时|AB|=22224b b a =，故2

216104

b b -=?=A ． 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．)

10. 11. 4 12. 200,210.x R x ?∈+≥ 13. 16.2 14.8

9

9．【解析】2213664

x y -=的渐近线方程为224

036643x y y x -

=?=±．

10．【解析】22222

2

(20)(10)(00)(10)(20)25

s --+--+-+-+-=

=．

s ==

11．【解析】a b ⊥(1,5,2)?-?(,2,3)0m m +=102604m m m ?+--=?=． 12．【解析】全称命题的否定为特称命题． 13．【解析】0.8200.216.2y =?+=．

14．【解析】以A 为原点AB 为x 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,3AA =,

设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =,则11

1313

AA AM z z ?≥??≥?≥

， 从而13-3383==3339

M V p V ???? ???=??正．

三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）

解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为

51

204

=………………………2分 ∴年龄大于18岁的党员应该抽取1

824

?

=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄不超过18岁的共青团员有3人，记为1,2,3

年龄大于18岁的党员有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分

其中恰有1人为共青团员的事件有

(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分

∴恰有恰有1人为共青团员的概率63

105

P ==.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）

解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）

满足22(1)(2)1x y -+-≤的点的区域为以(1,1)为圆心，

1为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）

∴所求的概率211

142216

P ππ?=

=?． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且11x -≤≤，11y -≤≤的整点有9个 …………（8分）

满足,x y ∈Z ，且22(1)(1)1x y -+-≤的整点有3个，……………（11分）

∴所求的概率21

3

P =． ………………………………（12分）

17．（本小题满分14分）

解 (1)由2

2

320x ax a -+<得(2)()0x a x a -?-<.……………………………1分 又0a >，所以2a x a <<，………2分 当32a =

时，332x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是3

32

x <<……4分 由2

560x x -+≤得23x ≤≤.

所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分 若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分 (2) 设{}|2A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤…………………………………10分

p 是q 的必要不充分条件，则A B ×…………………………………………12分

所以023223

2a a a <≤??≤≤?

≥?，所以实数a 的取值范围是3

[,2]2．………14分

18．（本小题满分12分）

解：（1）又由直线:y x 2l =-+与圆222x y b +=

相切得b =

=，…2分

由3e =

3a == 4分 ∴椭圆方程为22

132

x y +=…………………………………………………6分 （2）22

22123(2)6032

2x y x x y x ?+

=??+--=??=-+?

251260x x ?-+=…………8分

2

-1245624?=-??=（），设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y

x y ………9分

则1212

126

,,55

x x x x +=

?=…………………………………………………11分

从而||AB =

所以弦长||AB =

14分 19．（本小题满分14分）

解：以D 为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为1， 则D (0，0，0)、E (0，1，

12 )、F (1

2

，1，0) 、 G (0，

1

2

，0) 、A 1 (1，0，1) 、C (0，1，0)，…… 2分 (1)则11(1,,1)2

A G =--，1(0,1,)2

DE =，

1

(,1,0)2

DF =………………………… 3分

∵11(1,,

1)2AG DE ?=--1

(0,1,)02

?=， ∴1

AG DE ⊥ ………………………… 4分 ∵11(1,

,1)2AG DF ?=--1(,1,0)02

?=， ∴1

AG DF ⊥ ………………………… 5分 又DE DF D ?=，DE DEF ?面，DF DEF ?面……………… 6分 ∴1AG ⊥面EFD …………………………………………………………7分 (2)由(1)知11

(1,,

1)2

A G =--为面EFD 的法向量，………………………… 8分 ∵CE ⊥面CFD ，1(0,0,)2

CE =为面CFD 的法向量，……………… 9分

设1

AG 与CE 夹角为θ，则11cos AG CE AG CE θ?==?1

23122

-

?23=-……… 12分 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-， ∴二面角E DF C --的余弦值为2

3

．…………………………………… 14分 20．（本小题满分14分）

解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-

因为11(,)P x y 在椭圆上，因此22

1112

3

x y += ①

又因为2OPQ S ?=

所以11||||

2

x y ?= ②

由①、②得11||1,||x y ==

此时2222

12122,3,x x y y +=+=…………… 2分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+

由题意知0m ≠，将其代入22

123

x y +=，得222(32)42(3)0k x kmx m +++-=， 其中2222

168(32)(3)0,k m k m ?=-+->即2223k m +>…（*）

又2121222

42(3)

,,3232km m x x x x k

k -+=-

=++

所以||PQ ==

因为点O 到直线l 的距离为d =

所以1|

|2OPQ

S PQ d ?=

?=

2

32m k =

+

又2

OPQ S ?=

整理得22232,k m +=且符合（*）式， 此时22

22

21

2

121222

42(3)

()2()22,3232km m x x x x x x k k -+=+-=-

-?=++ 22

2222

121212333(2)(2)6()3222

y y x x x x +=

-+-=-+= 综上所述，2222

12123;2,x x y y +=+=结论成立。……………………… 5分

（2）解法一：

（1）当直线l 的斜率不存在时，由（I

）知11||||1,||2||2OM x PQ y ====

因此||||1OM PQ ?=……………………………………… 6分 （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知

12,2x x k

m

+=- 2221212222

2212122222

222

2222222

3

(),2229493341||()()1(),224444324(23)3(1)1||(1)3(2),(32)y y x x k k m k m m m m m

x x y y k k OM m m m m m

k m m PQ k k m m

++-+=+=-+==+++=+=+==+=++--=+==-+ 所以22

223411||||()3(2)43OM PQ m m

?=

+?- 22

222411

294119253()(1)().43424m m m m ++-=+?-≤= 所以5||||2OM PQ ?≤

，当且仅当22411

2,3m m m

+=-=即.

综合（1）（2）得||||OM PQ ?的最大值为5

.2

………………………………… 9分

解法二：因为222222*********||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-

2222

12122[()()]

10.

x x y y =+++=

所以224||||10

2|||| 5.22

OM PQ OM PQ +?≤

==

即5

||||,2

OM PQ ?≤

当且仅当2||||OM PQ == 因此||||OM PQ ?的最大值为5

.2

………………………………………………… 9分

（3）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得2

ODE ODG OEG S S S ???===

… 10分

证明：假设存在1122(,),(,),(,)D u v E x y G x y 满足2

ODE ODG OEG S S S ???===

， 由（I ）得222222

12122,2,2;u x u x x x +=+=+=

222222

12123,3,3,v y v y y y +=+=+=

解得222222

121231;.2

u x x v y y ======

所以12,,u x x 只能从中1±选取，12,,v y y 只能从±

因此D ，E ，G 只能在(1)2

±

±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与ODE ODG OEG S S S ???===

矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G. ………………… 14分