三角形专项复习教案

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三角形专项复习教案

三角形专项复习

一、单元知识网络:

二、考试目标要求:

1.了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性.

2.探索并掌握三角形中位线的性质.

3.了解全等三角形的概念,探索并掌握两个三角形全等的条件.

4.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件;

了解等边三角形的概念并探索其性质.

5.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.

6.体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

三、知识考点梳理

知识点一、三角形的概念及其性质

1.三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的分类

(1)按边分类:

(2)按角分类:

3.三角形的内角和外角

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4.三角形三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

5.三角形内角与对边对应关系

在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边;在同一三角形中,等边对等角,等角对等边.

6.三角形具有稳定性.

知识点二、三角形的“四心”和中位线

三角形中的四条特殊的线段是:高线、角平分线、中线、中位线.

1.内心:

三角形角平分线的交点,是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.

2.外心:

三角形三边垂直平分线的交点,是三角形外接圆的圆心,它到三个顶点的距离相等.

3.重心:

三角形三条中线的交点,它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

4.垂心:

三角形三条高线的交点.

5.三角形的中位线:

连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.

中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

要点诠释:

(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.

(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.

(3)直角三角形的垂心为直角顶点,外心为直角三角形斜边的中点.

(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.

知识点三、全等三角形

1.定义:

能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.性质:

(1)对应边相等

(2)对应角相等

(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等

(4)周长、面积相等

3.判定:

(1)边角边(SAS)

(2)角边角(ASA)

(3)角角边(AAS)

(4)边边边(SSS)

(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)

要点诠释:

判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.

知识点四、等腰三角形

1.定义:

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质:

(1)具有三角形的一切性质.

(2)两底角相等(等边对等角)

(3)顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相重合(三线合一)

(4)等边三角形的各角都相等,且都等于60°.

3.判定:

(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

要点诠释:

(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;

(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.

知识点五、直角三角形

1.定义:

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2.性质:

(1)直角三角形中两锐角互余;

(2)直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.

(3)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.

(4)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.

(5)勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;

(7)SRt△ABC=ch=ab,其中a、b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高.

3.判定:

(1)两内角互余的三角形是直角三角形;

(2)一条边上的中线等于该边的一半,则这条边所对的角是直角,则这个三角形是直角三角形.

(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形,第三边为斜边.

知识点六、线段垂直平分线和角平分线

1.线段垂直平分线:

经过线段的中点并且垂直这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

线段垂直平分线的定理:

(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.

2.角平分线的性质:

(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等;

(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;

(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合.

四、规律方法指导

1.数形结合思想

本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等,都是在结合图形的基础上,求线段或角的度数,证明线段或角相等.在几何学习中,应会利用几何图形解决实际问题.

2.分类讨论思想

在没给图形的前提下,画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类:三种情况,锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

3. 化归与转化思想

在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时,通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段,归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题,已知与未知之间的转化;数与形的转化;一般与特殊的转化.

4.注意观察、分析、总结

应将三角形的判定及性质作为重点,对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用,注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养,淡化纯粹的几何证明.

学会演绎推理的方法,提高逻辑推理能力和逻辑表达能力,掌握几何证明中的分析,综合,转化等数学思想.

经典例题透析

考点一、三角形的概念及其性质

例1.(1)(2010山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形是()

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 等边三角形

思路点拨:三角形的内角和为180°,三个内角度数的份数和是9,每一份度数是20,则三个内角度数分别为40°、60°、80°,是锐角三角形.

答案:B

(2)三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a的取值范围是( )

A.-6<a<-3 B.-5<a<-2 C.2<a<5 D.a<-5或a>-2

思路点拨:涉及到三角形三边关系时,尽可能简化运算,注意运算的准确性.

解析:根据三角形三边关系得:8-3<1-2a<8+3,解得-5<a<-2,应选B.

举一反三:

【变式1】已知a,b,c为△ABC的三条边,化简得_________.

思路点拨:本题利用三角形三边关系,使问题代数化,从而化简得出结论.

解析:∵a,b,c为△ABC的三条边∴a-b-c<0, b-a-c<0

∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.

【变式2】有五根细木棒,长度分别为1cm,3cm,5cm,7cm,9cm,现任取其中的三根木棒,组成一

个三角形,问有几种可能( )

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

解析:只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.

【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4,则三角形的周长是_________.

思路点拨:要分类讨论,给出的边长中,可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.

解析:(1)当腰为3时,周长=3+3+4=10;(2)当腰为4时,周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.

例2.(1)(2010宁波市)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()

A.5个B.4个 C.3个 D.2个

考点:等腰三角形

答案:A

(2)如图在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=50°,BD∥AC,则∠CBD的度数是______.

考点:直角三角形两锐角互余.

解析:△ABC 中,∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°

又∵BD∥AC,∴∠CBD=∠C=40°.

例3.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A,则此三角形中( )

A.一定有一个内角为45°

B.一定有一个内角为60°

C.一定是直角三角形

D.一定是钝角三角形

考点:三角形内角和180°.

思路点拨:会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理,即∠B+∠C=180°-∠A.

解析:∵△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+∠C=180°-∠A

∵∠B+∠C=3∠A,∴180°-∠A=3∠A,∴∠A=45°,∴选A,其它三个答案不能确定.

举一反三:

【变式1】下图能说明∠1>∠2的是( )

考点:三角形外角性质.

思路点拨:本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.

解析:A中∠1和∠2是对顶角,∠1=∠2;B中∠1和∠2是同位角,若两直线平行则相等,不平行则不一定相等;C中∠1是三角形的一个外角,∠2是和它不相邻的内角,所以∠1>∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.

总结升华:三角形内角和180°以及边角之间的关系,在习题中往往是一个隐藏的已知条件,在做题时要注意审题,并随时作为检验自己解题是否正确的标准.

【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和,这个三角形是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.不能确定

思路点拨:理解直角三角形定义,结合三角形内角和得出结论.

解析:若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中,∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°,所以2∠C=180°,可得∠C=90°,所以选C.

【变式3】下列命题:(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60°;(4)锐角三角形中,任意两内角之和必大于90°,其中错误的个数是( )

A.0 个

B.1个

C.2个

D.3个

思路点拨:本题的解题关键是要理解定义,掌握每种三角形中角的度数的确定.

解析:(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和;三角形中最大的内角若小于60°,则三个角的和就小于180°,不符合三角形内角和定理,故(3)正确;(4)三角形中,任意两内角之和若不大

于90°,则另一个内角就大于或等于90°,就不能是锐角三角形.所以中有(2)错,故选B.

考点二、三角形的“四心”和中位线

例4.(1)与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )

A.二条中线的交点

B. 二条高线的交点

C.三条角平分线的交点

D.三边中垂线的交点

考点:线段垂直平分线的定理.

思路点拨:三角形三边垂直平分线的交点是外心,是三角形外接圆的圆心,到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.

(2)(2010四川眉山)如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,……,则得到的第五个图中,共有________个正三角形.

考点:三角形中位线找规律

思路点拨:图①有1个正三角形;图②有(1+4)个正三角形;

图③有(1+4+4)个正三角形;图④有(1+4+4+4)个正三角形;

图⑤有(1+4+4+4+4)个正三角形;….

答案:17

例5.一个三角形的内心在它的一条高线上,则这个三角形一定是( )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

考点:三角形角平分线定理.

思路点拨:本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点,若内心在一条高线上,又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.

举一反三:

【变式1】如图,已知△ABC中,∠A=58°,如果(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心;分别求∠BOC的度数.

考点:三角形外心、内心、垂心性质.

解析:∠A是锐角时,(1)O为外心时,∠BOC=2∠A =116°;

(2)O为内心时,∠BOC=90°+∠A=119°;

(3)O为垂心,∠BOC=180°-∠A=122°.

【变式2】如果一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形是( )

A.锐角三角形

B.只有两边相等的锐角三角形

C.直角三角形

D.锐角三角形或直角三角形

解析:三角形的内心都在三角形内部;锐角三角形外心在三角形内部;直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.

【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段,是三角形的( )

A.中线

B.高线

C.边的中垂线

D.角平分线

思路点拨:三角形面积相等,可利用底、高相等或相同得到.

解析:三角形的一条中线分得的两个三角形底相等,高相同.应选A.

例6.(1)(2010广东茂名)如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E、F分别是边AB、AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需用篱笆的长是()

A、15米

B、20米

C、25米

D、30米

考点:三角形中位线定理.

思路点拨:BE=AE=5,CF=FA=5,BC=2EF=10

答案:C

(2)已知△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶2∶4,AB=12厘米,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则△DEF

的周长是________.

考点:三角形中位线定理.

思路点拨:本题考查三角形的中位线,先求出△ABC各边的边长,由三条中位线构成的△DEF是原三角形周长的一半.

解析:由已知求出△ABC另两边长为BC=8厘米,AC=16厘米

∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,∴DE、EF、DF是△ABC的中位线

∴DE=AC=8 EF=AB=6 DF=BC=4,∴△DEF的周长等于8+6+4=18厘米.

举一反三:

【变式1】求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

思路点拨:本题考查三角形的中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

解析:已知:如图,在△ABC中,AD=DB,BE=EC,AF=FC.

求证:AE、DF互相平分.

证明:连结DE、EF

∵AD=DB,BE=CE

∴DE∥AC(三角形中位线定理)

同理EF∥AB

∴四边形ADEF是平行四边形

∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).

【变式2】已知:如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,四边形EFGH 是平行四边形吗?为什么?

思路点拨:考虑到E、F是AB、BC的中点,因此连结AC,就得到EF是△ABC的中位线,由三角形中

位线定理得,,同理,则EF∥GH,EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形.

证明:连结AC

∵E、F是AB、BC的中点,∴EF=,EF∥AC

同理,GH=,GH∥AC,

∴EF∥GH,EF=GH

∴四边形EFGH是平行四边形.

考点三、全等三角形

例7.对于下列各组条件,不能判定△≌△的一组是( )

A.∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′

B.∠A=∠A′,AB=A′B′,AC=A′C′

C.∠A=∠A′,AB=A′B′,BC=B′C′

D.AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′

思路点拨:判定三角形全等的条件中,已知两边及一角必须是两边及其夹角,而已知两角一边和三边都可以判定三角形全等.

解析:A可利用ASA判定;B可利用SAS判定;D可利用SSS判定.而C是两边和一边对角对应相等,不能判定三角形全等.故选C.

举一反三:

【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是( )

A.一边和任意两个角

B.两边和它们的夹角

C.两个角和它们一角的对边

D.三角对应相等

思路点拨:两个三角形中,三角对应相等不能证明三角形全等.

解析:A的判定方法为ASA或AAS;B的判定方法为SAS;C的判定方法为AAS;要判定三角形全等必须有一个元素是边,所以D不能判定.故选D.

例8.(2010湖南长沙)在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.

(1)求证:△BEC≌△DEC;

(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.

第8题图

考点:三角形全等的判定及性质.

思路点拨:(1)利用ASA判定;(2) 利用△BEC≌△DEC

答案:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形

∴BC=CD,∠ECB=∠ECD=45°

又EC=EC

∴△ABE≌△ADE

(2)∵△ABE≌△ADE

∴∠BEC=∠DEC=∠BED

∵∠BED=120°∴∠BEC=60°=∠AEF

∴∠EFD=60°+45°=105°

举一反三:

【变式1】如图,已知:AC =DB,要使≌,只需增加一个条件是___________.

考点:三角形全等的判定.

思路点拨:增加条件判定三角形全等时,题中已有一条公共边这一条件,答案不唯一.

解析:填AB=DC,可利用SSS;填∠ACB=∠DBC,可利用SAS.

【变式2】如图,已知,△ABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,CM=20cm,那么M到AB的距离是_____

考点:利用三角形全等的性质证明线段或角相等.

思路点拨:本题作出M到AB的距离,可以利用证三角形全等求距离.更简单的是利用角平分线上的点到角两边距离相等.

解法一:过M作MD⊥AB于D,∴∠MDA=∠C=90°

∵AM平分∠CAB,∴∠CAM=∠DAM

∵AM=AM,∴△AMC≌△AMD(AAS),∴MD=CM=20cm

解法二:过M作MD⊥AB于D

∵∠C=90°,∴MC⊥AC

∵AM平分∠CAB,∴MD=CM=20cm

考点四、等腰三角形与直角三角形

例9.(1)(2010湖北黄石)如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为_____________.

思路点拨:等腰三角形的性质

答案:45°

(2)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )

A.顶角的2倍

B. 顶角的一半

C. 顶角

D. 底角的一半

思路点拨:本题适用于任何一种等腰三角形.总结规律,等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.

解析:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,

所以∠ABC=∠C,∠BDC=90°,所以∠DBC=90°-∠C=90°-(180-∠A)= ∠A,答案:B.

例10.△ABC等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,不添加辅助线,请你写出尽可能多的结论.

思路点拨:本题是先猜想再验证的探索性题型,关键是掌握等边三角形及三线合一的性质.

答案:如:①DB=DE;②BD⊥AC;③∠DBC=∠DEC=30°;④△ABD≌△CBD;⑤∠CDE=30°;⑥BD平分∠ABC等.

总结升华:等腰三角形是特殊的三角形,具有对称性,边、角之间的联系较多;三线合一的性质在解题时应用广泛,但经常被忽略,应注意灵活运用.

举一反三:

【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50°、80°,则这个三角形是_________三角形.

考点:等腰三角形的判定.

思路点拨:会根据三角形内角的度数判断三角形的形状.

解析:三角形的两个内角分别为50°、80°,则另一个内角为50°,这个三角形有两个角相等,所以是等腰三角形.

总结升华:三角形是按边和角进行分类的,会根据题意判断三角形的形状.

【变式2】已知等腰△ABC中,∠ABC=∠ACB=2∠A,且BD⊥AC,垂足为D,求∠DBC的度数.

思路点拨:本题利用三角形内角和求出∠C,从而得出结论.

解:∵等腰△ABC中,∠ABC=∠ACB=2∠A,∠ABC+∠C+∠A=180°

∴∠C=72°,∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠C=90°,∴∠DBC=90°-72°=18°.

【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是________.

解析:本题是动手操作题型,展开后会发现小三角形一边恰好是原三角形的中位线,从而得出小三角

形的周长就是原三角形周长的一半.

答案:.

例11.如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是( )

A. 1:2:4

B. 1:3:5

C. 3:4:7

D. 5:12:13

考点:考查勾股定理的逆定理.

思路点拨:常见的一些勾股数如:3、4、5;5、12、13;7、24、25及倍数等,应熟练掌握.

解析:D中设三边的比中每一份为k,则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ,所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足,故选D.

例12.(1)(2010年江苏无锡)

①如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN.

下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.

证明:在边AB上截取AE=MC,连ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,

AB=BC.∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE.

(下面请你完成余下的证明过程)

②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.

③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”,请你作出猜想:

当∠AMN=_____________°时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)

考点:考查三角形全等知识,辅助线的做法.

解:(1)∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°,

∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中:∵∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN

(2)仍然成立.

在边AB上截取AE=MC,连接ME

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,

∴∠ACP=120°.

∵AE=MC,∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°.

∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,

∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN

(3)

(2)将一张矩形纸片如图所示折叠,使顶点落在点.已知,,则折痕的长为( )

A. B. C. D.

考点:勾股定理和直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.

思路点拨:考查学生了解折叠前后图形的变化,找出对应相等的量,运用勾股定理解答.

解析:由折叠可知,∠CED=∠C′ED =30°,因为在矩形ABCD中,∠C等于90°,CD=AB=2,

所以在Rt△DCE中,DE=2CD=4.故选C.

总结升华:直角三角形是常见的几何图形,在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余,三边满足勾股定理.

举一反三:

【变式1】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( )

(1)∠A+∠B=∠C;(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3;(3)∠A=90°-∠B;(4)∠A=∠B=∠C.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

考点:直角三角形三个内角之间关系.

解析:三角形中有一个角是90°,就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC中∠C =90°.故选D.

【变式2】如图,一张直角三角形纸片,两直角边AC=4cm,BC=8cm,将△ABC折叠,点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为( )

A. B. C. D.5

考点:勾股定理和线段垂直平分线定理.

解析:由折叠可知,AD=BD,DE⊥AB,∴BE=AB

设BD为x,则CD=8-x

∵∠C=90°,AC=4,BC=8,∴AC2+BC2=AB2

∴AB2=42+82=80,∴AB=,∴BE=

在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2 ,∴42+(8-x)2=x2,解得x=5

在Rt△BDE中,BE2+DE2=BD2,即()2+DE2=52,∴DE=故选B.

【变式3】已知:在直角△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D.

(1)若∠BAC=30°,求证: AD=BD;

(2)若AP平分∠BAC且交BD于P,求∠BPA的度数.

图1 图2

思路点拨:(1)利用直角三角形两锐角互余,求得∠ABD=∠A=30°,得出AD=BD.

(2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.

解析:

(1)证明:∵∠BAC=30°,∠C=90°,∴∠ABC=60°

又∵ BD平分∠ABC,∴∠ABD=30°,∴∠BAC =∠ABD,∴ BD=AD;

(2)解法一:∵∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°

∴=45°

∵ BD平分∠ABC,AP平分∠BAC

∠BAP=,∠ABP=

即∠BAP+∠ABP=45°

∴∠APB=180°-45°=135°

解法二:∵∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°

∴=45°

∵ BD平分∠ABC,AP平分∠BAC

∠DBC=,∠PAC=

∴∠DBC+∠PAD=45°

∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

三角形复习课教学设计 人教版〔优秀篇〕

《三角形》复习课教学设计 复习目标: (1)使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和、三角形分类的有关知识。 (2)引导学生开展自主复习,初步掌握复习方法,形成基本复习技能。 (3)提高复习课学习兴趣,培养积极的学习态度,使学生获得成功的情感体验。 复习重点:复习三角形单元相关基础知识,初步掌握单元复习的基本方法。 复习难点:通过复习活动,提高学生上复习课的学习兴趣,培养学生积极的学习态度,并使学生获得成功的情感体验。 教学过程: 一、导入课题,回顾已学知识。 师:《论语》里面有这样一句话:学而时习之不亦说乎。就是说学习时经常复习是一件快乐的事。今天,这节课老师就和同学们一起再次走进“三角形”,去体验复习的快乐。 1.学生汇报 师:昨天老师让同学们回家复习学过的有关三角形的知识,下面谁将自己的复习情况向大家汇报一下?(学生汇报) 2.师生共同整理知识点 师:下面请同学们和老师一起回忆有关三角形的知识。 有关三角形的知识点: ①三角形的共同特征 ②三角形的分类; ③各种三角形的特征; 师:刚才老师和同学们把有关三角形的知识进行的系统的整理,下面老师就看看同学们的掌握情况。 二、巩固训练,拓展提升认识。 1.画三角形。学生画自己喜欢的三角形并画出高。 2.判断 ①一个三角形中至少有两个锐角。() ②等腰三角形一定是锐角三角形。()

③等边三角形一定是锐角三角形。() ④等边三角形一定是等腰三角形。() ⑤等腰直角三角形的底角一定是45度。() ⑥大的三角形比小的三角形内角和度数大。() ⑦底和高都分别相等的两个三角形,它们的形状一定相同。() 3.选择 (1)一个三角形最大的内角是120度,这个三角形是()三角形。①钝角②锐角③直角④不好判断 (2)在一个三角形中,最大的内角小于90度,这个三角形是()三角形。①锐角②钝角③直角 (3)两个完全一样的()三角形,可以拼成一个正方形。①锐角②直角③等腰直角 (4)有一个角是60度的()三角形,一定是等边三角形。 ①任意②直角③等腰 (5)当三角形中两个内角之和等于第三个角时,这是一个()三角形。①锐角②直角③钝角 4.解决问题 一根铁丝长90厘米, ①用这根铁丝围成一个腰长为34厘米的等腰三角形,这个三角形的底边是多少厘米? ②如果用这根铁丝围成一个等边三角形,这个三角形的边长是多少厘米? 5.智慧角 ⑴已知三角形中的两条边分别是4cm、6cm,那么第三条边必须大于()cm,必须小于()cm;如果这是一个等腰三角形,那么第三条边可以是()cm。 ⑵在一个等腰三角形中已知一个角是50度,底角可能是()度,这时顶角是()度。 板书: 复习三角形 ①具有稳定性 ②三条边,三个角,三个顶点,三条高 三角形的共同特征③内角和180度

解三角形全章教案(整理)

数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1.1.1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 , 有 sin a A =, sin b B =,又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

三角形复习课教案

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号:年级:课时数:学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 授课类型T(三角形)C(三角形相关的线段、 角) T (三角形与多边形综合) 授课日期及时段 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1.三角形的定义与分类: (1)三角形的定义: (2)三角形的分类: 锐角三角形 按角分直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 按边分等腰三角形:有两条边相等的三角形 有三条边相等的三角形即等边三角形 (3)三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之和小于第三边。 知识点2.三角形的高、中线、角平分线 (1)三角形的高:过三角形的顶点向对边画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 三条高的交点叫做垂心。 钝角三角形的垂线的位置在三角形的外部。 (2)三角形的中线:联结三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。 三条中线的交点叫做重心。 (3)三角形的角平分线:三角形一内角的平分线与对边相交,交点到顶点之间的线段叫做角平分线。 三条角平分线的交点是内接圆的圆心即内心 知识点3.三角形的稳定性:三角形具有稳定性。 知识点4.与三角形有关的角: (1)三角形内角和定理:三角形内角和为180°

(2)三角形外角的性质:①三角形的外角等于和它不相邻两内角之和。 ②三角形的外角大于与它不相邻的内角。 (3)三角形外角和定理:三角形外角和为360° (4)两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点5.多边形 (1)多边形定义:____________ (2) n边形内角和定理:多边形内角和为(n-2)×180° (3) 多边形外角和定理:多边形外角和为360°。 (4)①多边形的对角线 2)3 ( n n 条对角线 (5)正多边形的定义:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 二、同步题型分析 例1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是() A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 分析:看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可. 解:A、因为1+2<4,所以本组数不能构成三角形.故本选项错误; B、因为4+5=9,所以本组数不能构成三角形.故本选项错误; C、因为9-4<5<8+4,所以本组数可以构成三角形.故本选项正确; D、因为5+5<11,所以本组数不能构成三角形.故本选项错误; 故选C. 点评:本题主要考查了三角形的三边关系定理:任意两边之和大于第三边,只要满足两短边的和大于最长的边,就可以构成三角形. 例2.如图7.1.2-4所示,△ABC中,边BC上的高画得对吗?为什么? 分析:锐角三角形的三条高交于一点,交点在三角形的内部;直角三角形的三条高交于一点,交点在三角形的直角顶点处;钝角三角形的三条高交于一点,交点在三角形的外部。 解答:(1)(2)(4)错,(3)对 例3. 如图所示:

高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理

课题: §1.1.1正弦定理 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =, C 同理可得 sin sin c b C B =, b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b =。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1.在?ABC 中,已知045A =,075B =,40a =cm ,解三角形。 例2.在?ABC 中,已知20=a cm ,202b =cm ,045A =,解三角形。

(完整版)《解直角三角形及其应用》(中考复习课)教学设计

《解直角三角形及其应用》(中考复习课)教学设计 一、学情分析: 本设计针对普通中学学生,且未分重点班和非重点班,均为平行分班。由于一般教材均将《解直角三角形》内容编排于九年级下册,因此在设计本内容复习时,学生有一定基础。同时九年级学生通过近三年的数学学习,已具备了一定的几何识图及演绎推理能力,也掌握了一定的数学思想方法及数学活动的经验。 二、教学任务与目标 1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系,初步掌握锐角三角函数本质。 2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算,渗透转化与方程思想方法。为综合数学应用问题的解决提供基础。 3、能利用这种关系解决生活中的实际问题,培养学生建模、识图、计算能力。 三、教学设计 板块一:梳理直角三角形中边、角关系及理解锐角三角函数的本质。 问题1:如图Rt △ABC 中,∠C=90°,请你说一说其中边、角关系. 间关系,理解锐角三角函数,为后面复习提供基础。 【活动设计】同学们先独立完成,再小组交流并互帮互纠。 【反馈方式】教师巡视点拨,然后呈现部分小组活动结果,共同归纳整理。 1、边的关系 c b a >+,222c b a =+ 角的关系 ?=∠=∠+∠90C B A 边与角的关系 c a B A ==cos sin ,c b B A ==sin cos ,1tan tan a A B b == 2、根据三角形(直角三角形)的一些边、角,求出其余边、角叫解三角形(直角三角形)。 问题2:上图中,如果记y AB BC =,则写出y 与∠A 的函数关系 1、若∠A 分别取∠A 1、∠A 2,其对应的y 取y 1、y 2,若∠A 1<∠A 2,则说出y 1与y 2的关系。 2、同桌互相说一说特殊角的三角函数值,若2 345=+?)sin(α,则α=。 【功能分析】锐角三角函数是学生较为难理解的概念,它又是高中学段的必备知识,本任务问题意在让学生进一步理清三角函数的概念及其性质的一些特征,同时通过熟记一些特殊的B C a b

解三角形(复习课)教学设计

解三角形(专题课)教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》,而在本章中,学生应该在已有的知识基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续,通过本章内容的学习,学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形,使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点,如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数,诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用,尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能:引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,会对正余弦定理会进行简单的变形;引导学生通过观察,推导,比较等出一些结论,如射影定理,三角形边角之间的关系;会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识,观察能力,总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,进行高效课堂教学,激情教育,通过学生之间,师生之间的交流与讨论、合作与评价,调动学生的主动性和积极性,让学生体验学习数学的的乐趣,感受成功的喜悦,增强学生学好数学的信心,激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用;正余弦定理的变形应用;用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点,为更好有效地突出重点,攻破难点,以学生的发展为本,遵照学生的认知规律,本节主要以教师为主导,学生为主体,交流讨论,互助学习为主线的指导思想,采用“6+1”高效课堂教学模式,在教师的启发引导下,学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提,以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

浙教数学新版小学三年级上册《三角形和四边形》教案

浙教数学新版小学三年级上册 《三角形和四边形》教案 教学目标 一、知识与技能 1.结合学生已有的知识经验和具体情境,能够理解和辨别三角形、四边形及多边形。 2.联系实际和利用生活经验,通过观察、操作、画图、和实验等学习活动中,感受并发现三角形与四边形的基本特征。 二、过程与方法 1.能通过操作活动,引导学生探索体验发现规律:由几条线段围成的图形是几边形。 2.在探索学习过程中,培养了学生的动手操作能力,学生的空间观念。 三、情感态度和价值观 1. 在数学活动中获得成功的体验,进一步增强对数学学习的兴趣和信心,初步形成探究问题的意识和习惯。 教学重点: 联系实际和利用生活经验,通过观察、操作、画图、和实验等学习活动中,感受并发现三角形与四边形的基本特征。 教学难点 能通过操作活动,引导学生探索体验发现规律:由几条线段围成的图形是几边形。 教学方法 中低年级学生的思维形式正处在形象思维过度到抽象思维的阶段。因此,本节课的教学我尽量运用直观的教具和现代教学手段,为学生提供丰富的感性材料,调动学生多种感官参与知识的获取过程,所以教法的选择以直观演示法、实验操作法、情景教学法为主。贯彻“以教师为主导、学生为主体、训练为主线”的三主模式,培养学生的学习能力,合作探究能力。课前准备 多媒体课件、计算器、电脑、使用“学乐师生” APP拍照,和同学们分享。 课时安排 1课时

教学过程 一、导入新课 教师出示情境图。 师:同学们,请仔细观察,在上面的图上,你认识哪些图形? 学生认真观察,小组内交流讨论,指名回答,其他同学补充。 生:有三角形和四边形等。 师:今天我们就来进一步认识三角形和四边形。 教师板书课题。 通过情境导入图,让学生在具体的情境中感受,潜移默化地进行思想教育,激发学生学习的兴趣。 二、新课学习 1.认识三角形和四边形。 出示下列硬纸图片,用磁铁吸在黑板上:

相似三角形复习课教案

相似三角形复习课教学设计 【教学目标】 知识与技能: 1. 复习相似三角形的概念。 2. 复习相似三角形的性质。 3. 复习相似三角形的判定。 4. 复习相似三角形的应用,用相似知识解决一些数学问题。 过程与方法:在梳理全等三角形与相似三角形知识的过程中,感受类比思想,划归思想; 情感态度与价值观: 总结图形相似的有关特征并应用到实际问题的解决中,培养应用数学的能力。 【重点难点】 重点:运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。 难点:正确运用相似三角形的性质解决数学问题。 【课型】 复习课 【教学过程】 同学们:今天这节课我们来复习相似三角形的有关内容,请同学们想一想,我们在相似三角形方面学习了哪些内容。 考点1比例线段及平行线分线段成比例定理 1、比例线段 对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比,如d c b a =(或写作a:b),我们就说这四条线段成比例线段,简称比例线段。 2、比例的基本性质:若d c b a =,则ab=bc. 3、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 考点2相似三角形的性质与判定。 1、相似三角形的性质 (1)对应边成比例、对应角相等. (2)相似三角形的对应高、中线、和角平分线的比等于相似比,相似三角形的周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方。 2、 相似三角形的判定定理 (1)位置判定法:平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交,所得的三角形与原三角形相似; (2)边角关系判定法: ①斜边的比等于一线直角边的比的两个直角三角形相似。 ②三边对应成比例的两个三角形相似; ③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 考点3相似三角形性质的实际应用 在实际生活中,处处都存在相似三角形,当我们与其接触时,就能利用相似的相关知识去识别和解决相关实际生活中的问题,如

(完整版)解三角形教案(精简版)

高一数学必修5第一章解三角形教学设计 ●教学过程 [理解定理] 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b = 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例题 .在ABC ?中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =++; 或sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =(0)k > (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

三角形和四边形详细教案

三角形和四边形详细教案

教学目标: 1.认识、辨别三角形、四边形等多边形,初步理解长方形是特殊的四边形。 2.经历观察、操作、想象等活动,积累对三角形、四边形等多边形的经验, 在动态想象中发展空间观念。 3.在探索活动中,逐步养成观察全面的习惯,初步感知图形间的联系。 教学重点: 1.依据特征认识、辨别三角形、四边形。 2.初步感知图形间的联系。 教学难点: 初步理解长方形是特殊的四边形。 将电子白板的笔触颜色设为红色,直线。 一、创设情境,导入新课. 出示P1 师:瞧!老师带来了一座漂亮的房子,让我们一起去看看它是由哪些图形组成的吧!移动p1上的透视镜……你看到了什么? 生1:平行四边形、三角形。 师:你知道的可真多。还有吗? 生2:长方形。 生3:正方形。 师:今天老师就和大家一起到奇妙的图形世界里去探索吧! 二、动手操作,深入探究。 (一)根据要求,图形分类。 1、出示p2:14个平面图形 师:看!老师带来了一些图形,请你们将它们分分类,你觉得可以按什么来分呢? 生:按边的条数,按角的个数,按形状来分。 师:你们的小脑经转的真快!那就请你们按边来分一分,思考并完成学习单上的任务一。开始!

2、小组分类操作,讨论结果,生汇报,教师移动。 师:谁来说一说你是怎么分的?把哪些图形放在了一起? 生汇报。边说边移动p2上的图形 生:我觉得1、4、8、12可以分为一类,他们都是三条边的,2、3、5、6、9、 10、11、13分为一类,他们都是四条边的,7、14可以分为一类,他们都有五 条边。 师:和他一样的同学举手,恩!真棒!分类需要统一的标准,我们可以按边来分成这样的三类。 (二)认识三角形,掌握三角形的特征。 1、说说三角形特点并三角形命名。 出示p3 师:好,那我们一起来看看这一类是什么图形,他们都有什么特点呢? 生:都是三角形,都有三条边、三个顶点、三个角。(边说边点击显示按钮)(板书:三角形3,3) 师:你观察的真仔细,他们都是三角形,而且都有三条边,三个角。 2、探究三角形的定义。出示p4 师:那反过来能不能说有三条边的图形一定是三角形呢?(出示p4 你们看,这个图形也是三条边啊,那他是不是一个三角形呢? 生:不是,因为有一条边是弯的。 师:那我请一个小朋友上来改一改,怎么改他就是三角形了呢? 生删除一条弯边,用红色笔画一条直线 师:大家看,现在他是一个三角形了吗?(生:是了)也就是说这三条边一定要是……(生:直边),也就是三条线段。(生重复)边说边点击显示按钮1师:那现在你能说了吗?怎样的图形是三角形? 生:三条线段的图形是三角形。 师:确定吗?再来看看右边的图形,这也是三条线段,那这是三角形吗? 生:不是,(师追问:为什么?) 生:三条线段没有连接。 师:请你上来改一改。生上电子白板改动

高考总复习天津101中学教学案解三角形单元(教师版全套)

解三角形 (一)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明. 第1课时 三角形中的有关问题 变式训练1:(1)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B = ( ) A . 14 B .3 4 C .4 D . 3解:B 提示:利用余弦定理 (2)在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 ( )A.0 20,45,80b A C === B.0 30,28,60 a c B === C.0 14,16,45a b A === D. 0 12,15,120 a c A ===解:C 提示:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解 (3)在△ABC 中,已知5cos 13A = ,3 sin 5 B =,则cos C 的值为( )A 1665 B 5665 C 1665或 56 65 D 1665-

解:A 提示:在△ABC 中,由sin sin A B A B >?> 知角B 为锐角 (4)若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +,则a 的取值范围是 . 解:02a << 提示:由222 (1)(2)3(1)(2)(3) a a a a a a +++>+?? +++<+?可得 (5)在△ABC 中,0 60,1,sin sin sin ABC a b c A b S A B C ++∠===++V 则 = . 4c =,由余弦定理可求得a =例3. 已知在△ABC 中,sinA(sinB +cosB)-sinC =0,sinB +cos2C =0,求角A 、B 、C .解:由sinA(sinB +cosB)-sinC =0,得sinAsinB +sinAcosB -sin(A +B)=0,所以sinB(sinA -cosA)=0 ∵B ∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA =sinA ,由A ∈(0, π),知A =4π从而B +C =π4 3 ,由sinB +cos2C =0得sinB +cos2(π4 3-B)=0cos =( 23π-2B)=cos[2π-(2π+2B)]=cos(2 π +2B)=-sin2B 得sinB -sin2B =0,亦即sinB -2sinBcosB =0,由此各cosB =21 ,B =3π,C =12 5π∴A = 4π B =3π C =π 12 5变式训练3:已知△ABC 中,22(sin 2A -sin 2C )=(a -b )sinB ,△ABC 外接圆半径为2.(1)求∠C ; (2)求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由22(sin 2A -sin 2C )=(a -b )·sinB 得22( 2 24R a - 2 24R c )=(a -b ) R b 2.又∵R=2,∴a 2-c 2=ab -b 2.∴a 2+b 2-c 2=ab.∴cosC= ab c b a 2222-+=2 1 . 又∵0°<C <180°,∴C=60°.(2)S= 21absinC=21 ×2 3ab=23sinAsinB=23sinAsin (120°-A )=23sinA (sin120°cosA -cos120°sinA )=3sinAcosA+3sin 2A = 2 3 sin2A -23cos2A+23=3sin (2A -30°)+23. ∴当2A=120°,即A=60°时,S max =2 3 3.

高中数学必修解三角形教案

高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

第2章 解三角形 正弦定理 教学要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:在直角三角形中,边角关系有哪些?(三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数)如何解直角三角形?那么斜三角形怎么办? 2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系?(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化? →引入课题:正弦定理 二、讲授新课: 1. 教学正弦定理的推导: ①特殊情况:直角三角形中的正弦定理: sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形? (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形) 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据三角函数的定义,有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理,sin sin a c A C = (思考如何作高?),从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法:证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==.

解三角形复习知识点总结教案资料

1 解三角形复习学案 一、知识点总结【正弦定理】 1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角 形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式: ()sin sin sin i a b c A B C ::=::; ()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R = =2c R = ; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===; (iv ) R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 【余弦定理】 1.余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 2.推论: 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? =?? ?+-= ?? . 3.设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若2 2 2 a b c +=,则90C =o ;②若2 2 2 a b c +>,则 90C o . 4.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角. (2)已知两边和他 们的夹角,求第三边和其他两角. 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.111sin ()222 a S ah a b C r a b c ===++(其中r 为 三角形内切圆半径) 2. )(2 1 c b a p ++= , ))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式) 【三角形中的常见结论】 (1 )π =++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos , A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 2cos 2sin C B A =+,2 sin 2cos C B A =+; ( 3 ) 若 ?>>C B A c b a >>?C B A sin sin sin >> 若 C B A sin sin sin >>?c b a >>?C B A >>(大边对大角,小边对小角) (4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 (6)C ?AB 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 ο60=B . (7) C ?AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差 数列,且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总 题型1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. (2)在ABC ?中,由余弦定理可 知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形 ? ( 注 意 : 是锐角A ?ABC 是锐角三角形?) (3) 若B A 2sin 2sin =,则A=B 或2 π =+B A . 例 1.在ABC ?中,A b c cos 2=,且 ab c b a c b a 3))((=-+++,试判断ABC ?形状. 题型2【解三角形及求面积】 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例 2.在ABC ?中,1=a ,3=b ,030=∠A , 求的值

解三角形的教学设计高三公开课

《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析: 解三角形是高考考察的重点考察内容,由近几年高考可以看出,解三角形是高考必考内容,选择、填空、解答题都有出现,所以本节课的重点就是如何解三角形,而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习,学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析: 本班是美术重点班,学生平均分大概是六七十分,基础一般,而且学生是从三月份才开始学习文化知识,对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多,所以解三角形对于学生来说也就比较困难,而引导学生合理选择定理进行边角关系,解决三角形的综合问题,则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标: 知识与技能:掌握正弦、余弦定理的内容,会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法:培养学生学会分析问题,合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观:激发学生学习兴趣,在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法: 探究式教学、讲练结合 五、教学重难点 教学重点:正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题; 教学难点:解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程

明确方向【最新考纲】 (1)掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度 量问题. (2)能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问 题. 【重难点】三角形中的两解问题、边 角互化、恒等变换问题.握高考方向, 强调复习重 难点。 纲,让学生熟 悉本节课高 考考点,以便 更好的备考 高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 基础运用 边角互化多向思维【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用 1.【2015高考北京,文11】在 C ?AB中,3 a=,6 b=,2 3 π ∠A=, 则∠B=. 2.【2016高考全国I卷】△ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、 b、c.已知5 a=,2 c=,2 cos 3 A=, 则b=() (A)2(B)3(C)2 (D) 3 3.【2013全国II卷】ABC ?的内 考点1是正 余弦定理的 简单运用,学 生课前完成, 教师课堂上 和学生核对 答案,并要求 学生思考每 道题考察的 知识点是什 么?变式1 教师引导学 生思考角B 的值到底有 几个?从而 总结如何解 答三角形的 两解问题. 例2要求两 学生课前完 成例1,目的 是让学生提 前梳理公式, 而课堂上要 求学生回答 每道题考察 的知识点是 什么?是为 了更深化学 生对公式的 理解,而变式 1的训练,是 引导学生对 三角形两解 的问题进行 总结,强调大 边对大角情 况。 通过让学生

北师大版四年级下《第二单元认识三角形和四边形》教案

图形分类 教学内容:北师大版数学四年级下册第二单元认识图形第一课时图形分类。 教学目标: 1、通过分类对学过的一些图形进行整理归类,了解图形的类别特征。 2、通过实际操作,体会到平行四边形的不稳定性及三角形稳定性,认识这些特性在日常生活中的应用。 教学难点分析: 通过分类对已学过的一些图形进行整理归类,了解图形的类别特征。体会到平行四边形的不稳定性及三角形稳定性,认识这些特性在日常生活中的应用。 教学准备:课件、各种图形 教学课时:1课时 教学过程: 一、创设情境导入 今天老师给大家带来了你们的老朋友,你们想见见吗?展示各种图形。 学生认一认,说一说。 二、自主探究,认知图形的特点 1、小组合作,分一分学具 师:你把他们分成两类吗?试试看。(学生动手分并汇报分的情况) 生:分成平面图形和立体图形; 师小结:这是按照是否由平面图形分。哪吗平面图形还可以怎样分?(生动手再分平面图形,交流为什么这样分?) 汇报:把圆分成一类,其他的平面图形分为一类。 师小结:这是按照是否由线段围成来分。你还能再接着来分吗?(学生动手分一分,交流分法) 汇报:三角形单独分为一类。 师小结:这是按照围成图形的边数来分。 2、找一找。 展示图形,这些美丽的图形中就有许多基本图形组成,你能找出来吗? 学生相互说一说。

三、认识平行四边形、三角形的特性。 看,老师带来了几根小棒,可以作为图形的边,请你挑选合适的小棒,拼成一个平行四边形。 1、认知平行四边形的不稳定性。 师:用螺丝固定后:拉拉看,你发现了什么? (平行四边形的框架容易变形;变来变去还是平行四边形。) 师:再来拉拉看,指令:变小,变大,变得最大——原来就是长方形。 师:看来随便玩一玩都能发现好多数学的问题。生活中你见过运用平行四边形的这个特性的情况吗?如果是其它图形是不是也有这样的特性呢? 2、认知三角形的稳定性 试一试三角形。拉一拉,你发现了什么? 小结:平行四边形容易变形,三角形具有稳定性。 师:生活中见过运用这样的特性的情况吗? 学生回忆并汇报生活中见到应用平行四边形、三角形的特性的例子,如:大桥,电线杆,电动伸缩门等。 四、总结。 你对所学图形又有哪些新的认识? 五、作业安排 观察生活中有哪些地方利用了三角形和平行四边形的特点 板书设计:图形分类 按照图形是否是平面图形来分。 按照图形是否由线段围成来分。 按照围成图形的边数来分。 平行四边形不稳固 三角形具有稳固性 课后反思:

高中数学解三角形复习教案

模块一:解三角形复习 正弦定理 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:在直角三角形中,边角关系有哪些(三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数)如何解直角三角形那么斜三角形怎么办 2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化 →引入课题:正弦定理 二、讲授新课: 1. 教学正弦定理的推导: [ ①特殊情况:直角三角形中的正弦定理:sin A = c a sin B =c b sin C =1 即 c =sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形 (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形) 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据三角函数的定义,有 sin sin CD a B b A ==,则 sin sin a b A B = . 同理,sin sin a c A C =(思考如何作高),从而sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法:证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中S △ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 两边同除以 12abc 即得: sin a A =sin b B =sin c C . 证明二:(外接圆法)如图所示,∠A =∠D ,∴2sin sin a a CD R A D ===, 同理 sin b B =2R ,sin c C =2R . 证明三:(向量法)过A 作单位向量j 垂直于AC ,由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得….. , ④ 正弦定理的文字语言、符号语言,及基本应用:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边;已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题: ① 出示例1:在?ABC 中,已知045A =,060B =,42a =cm ,解三角形.

(完整版)解直角三角形的复习课教案.doc

解直角三角形的复习课教案( 1) 执教者:上海市园南中学 姚春花 教学目标: 掌握直角三角形的基本方法,能灵活运用锐角三角比解直角三角形。并 在解题过程中渗透化归方程等数学思想。 通过习题的变式, 让学生感悟图形间的联系,以及知识的本质。通过一题多解,培养学生的发散思维。 教学重点与难点 :寻找合适的方法灵活求解直角三角形。 教学过程 : 一、回顾与思考 1、在 Rt △ABC 中,∠ C=90°, b=2,c= 2 2 ,则∠ B= 度; a= 2、在 Rt △ABC 中,∠ C=90°,∠ A=3 0°, AB=3,则 AC= ;∠ B= 度 、在 Rt △ABC 中,∠ B=90°, sin A= 3 , a=3,则 c= ;b= 3 5 4、在 Rt △ABC 中,∠ A=60°∠ B=75°, AB=8,则 AC= 归纳: 1、解一个直角三角形要具备什么样的条件? 生:除直角外,已知三角形的两个元素(其中至少有一个条件与边有关) ,才能解这个直角三角形。 2、解直角三角形运用到哪些定理或定义?(依据) ①勾股定理 ②锐角三角比 ③两锐角互余 (以上四题均给出图形,教师根据学生的回答,让学生回顾知识) 归纳:解直角三角形首先要根据题目给出图形, 其次关键在于正确选用只含有一个未知数的三角比的式子。 3、你能归纳出解一般三角形的思路吗? 构造有效的直角三角形 二、小试牛刀 1、已知在 Rt △ABC 中,∠ ACB=9 0°, CD 是斜边 AB 上的高, AB=10, tan A 3 ,求 AC 的长 C 4 A B D

归纳:常用解法: ①寻找 Rt△(根据三角比) ②转化角(等角的同名三角比相等) ③设元(列方程求解) 2、已知,如图,在△ ABC 中,∠ A=3 0°,F 为 AC上一点,且 AF : FC 4 : 1, EF ⊥ AB,E 为垂足,联结 EC,求 tan∠CEB 的值。 H E A B 归纳: FC 观察所求线段是否在直角三角形中,在哪一个直角三角形中,然后再思考解题方法。若它不在直角三角形中,则需要如何添加辅助线构造直角三角形,然后再逐步求出结果。 三、拓展探究 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ C=90°, AC=8, tan A 3 ,四边形 DEFG 是△ ABC 的内接正方形,求 ED 的长。 4 C F E A G D B 归纳:所求线段可直接从解这个直角三角形求得,则只需要求有关元素;若不 能直接求解,则要分析图形中角、边的相互联系,通过找等量关系列方程求 解。本题的关键是选择合理地设元。 变式一:如果把上题中的正方形改为矩形,且使FE=2ED,求 FG 的长。 C F E A G D B 变式二:如果把上题中的正方形改为一个内角为45°的菱形,求菱形的边长。 C F E A G D B

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