双曲线 高考数学知识点总结 高考数学真题复习

§9.6双曲线

2014高考会这样考 1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质；2.考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想的应用．

复习备考要这样做 1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程，理解双曲线的基本量对图形、性质的影响；2.理解数形结合思想，掌握解决直线与双曲线问题的通法．

1．双曲线的概念

平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：

(1)当a

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当a>c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

[难点正本 疑点清源]

1． 双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点：

(1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|.

这两点与椭圆的定义有本质的不同． 2． 渐近线与离心率

x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b

a

＝b 2

a 2

＝c 2－a 2a

2＝e 2

－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．

1． (2012·天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2

16

＝1有相同的渐近

线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2

解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 2

16＝λ，

即x 24λ－y 2

16λ

＝1. 由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5?λ＝1

4，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.

2． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2

m 2＋4

＝1的离心率为5，则m 的

值为________． 答案 2

解析 ∵c 2

＝m ＋m 2

＋4，∴e 2

＝c 2a 2＝m ＋m 2

＋4

m

＝5，

∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.

3． (2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若

PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 答案 2 3

解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，

所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1， 所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.

4． 若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心

率为

( )

A. 5

B ．5

C. 2

D ．2

答案 A

解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b

a

x 的距离为

bc

a 2＋

b 2

＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝

c 2，∴5a 2＝c 2， ∴离心率e ＝c

a

＝ 5.

5． (2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准

线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为 ( )

A. 2 B ．2 2 C ．4

D ．8

答案 C

解析 设C ：x 2a 2－y 2

a

2＝1.

∵抛物线y 2

＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2

a

2＝1和x ＝－4得A (－4，16－a 2)，B (－

4，－

16－a 2)，

∴|AB |＝2

16－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.

∴C 的实轴长为4.

题型一 求双曲线的标准方程

例1 (1)(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2

9

＝1有相同的焦点，且双

曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________． 思维启迪：设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b

的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c .

答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 2

4

＝1

解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝7

4.由于

双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 2

9

＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.

又双曲线的离心率e ＝

a 2＋

b 2a ＝7a ，所以7a ＝27

4

， 所以a ＝2，b 2

＝c 2

－a 2

＝3，故双曲线的方程为x 24－y 2

3

＝1.

(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2

＝k ，将点(2，－2)代入得k

＝22

2

－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为y 22－x 2

4

＝1.

探究提高 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为5

4；

(2)焦距为26，且经过点M (0,12)． 解 (1)设双曲线的标准方程为

x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝

c a ＝54

.

∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.

∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2

36

＝1.

(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.

又2c ＝26，∴c ＝13.∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 2

25＝1.

题型二 双曲线的几何性质

例2 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，

椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；

(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．

思维启迪： (1)分别设出椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2

n 2＝1 (m >0，

n >0)．

(2)由已知条件分别求出a 、b 、m 、n 的值．

(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cos ∠F 1PF 2.

解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线半实、虚轴长分别为m 、n ，

则?????

a －m ＝4

7·13a

＝3·13

m ，

解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.

∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2

4

＝1.

(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， 所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，

∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2

2|PF 1||PF 2|

＝102＋42－(213)22×10×4

＝45.

探究提高 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e ＝c

a 是一个比值，故只需根据条

件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.

(1)(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P

在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝

( )

A.1

4

B.35

C.34

D.45

(2)(2011·浙江)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与双曲线C 2：x 2

－y 24＝1有公共的焦点，

C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则

( )

A ．a 2＝13

2

B ．a 2＝13

C ．b 2＝1

2

D ．b 2＝2

答案 (1)C (2)C

解析 (1)由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4， ∴a ＝2，c ＝2.

又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，

∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－42

2×42×22

＝34

. (2)由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d

＝5×2

a 4－5a 25a 2－5＝23

a ，解得a 2＝112，

b 2

＝12.

题型三 直线与双曲线的位置关系

例3 过双曲线x 23－y 2

6

＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐

标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |；

(2)求△AOB 的面积．

思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求|AB |；求O 到直线的距离，代入面积公式得△AOB 的面积． (1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，

∴c ＝

a 2＋

b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．

直线AB 的方程为y ＝

3

3

(x －3)． 设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，由???

y ＝33(x －3)，

x 2

3－y

2

6＝1，

得5x 2＋6x －27＝0. ∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－27

5.

∴|AB |＝

1＋k 2|x 1－x 2|

＝

1＋??

?

?332

·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

43·3625＋1085＝1635

. (2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为

d ＝

|－33|

(3)2＋(－3)2

＝3

2

. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝123

5

.

探究提高 双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.

已知椭圆C 1的方程为x 24

＋y 2

＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、

右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．

(1)求双曲线C 2的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →

>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．

解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)，

则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23－y 2

＝1.

(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2

＝1，

得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.

由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得

?

????

1－3k 2

≠0

Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2

)>0， ∴k 2≠1

3且k 2<1.①

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k

1－3k 2，x 1x 2

＝－91－3k 2

. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2

＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋7

3k 2－1

.

又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，

∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1

>0，解得13

由①②得1

3

故k 的取值范围为?

???－1，－

33∪???

?33，1.

忽视“判别式”致误

典例：(12分)已知双曲线x 2

－y 2

2

＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，

且点P 是线段AB 的中点？

易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误． 规范解答

解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]

由?

????

y ＝kx ＋1－k ，

x 2－y

22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2

.

由题意，得k (1－k )

2－k 2

＝1，解得k ＝2.[8分]

当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]

∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．

(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．

(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.

方法与技巧

1． 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2

b 2＝t (t ≠0)．

2． 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为

“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐

近线方程． 失误与防范

1． 区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，

而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.

2． 双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．

3． 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方

程是y ＝±a

b

x .

4． 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．

5． 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线

与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．

A 组 专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的

方程为

( )

A.x 220－y 2

5＝1

B.x 25－y 2

20＝1 C.x 280－y 2

20＝1

D.x 220－y 2

80

＝1 答案 A

解析 ∵x 2a 2－y 2

b

2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝

a 2＋

b 2.①

又双曲线渐近线方程为y ＝±b

a

x ，且P (2,1)在渐近线上，

∴2b

a

＝1，即a ＝2b .② 由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.

2． (2012·福建)已知双曲线x 2a 2－y 2

5

＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于 ( )

A.31414

B.324

C.32

D.43

答案 C

解析 由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5， ∴a 2＝4.∴e ＝c a ＝3

2

.

3． 设椭圆C 1的离心率为5

13

，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两

个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为

( )

A.x 242－y 2

32＝1

B.x 2132－y 2

52＝1 C.x 232－y 2

42＝1

D.x 2132－y 2

12

2＝1 答案 A

解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.

由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 2

3

2＝1.

4． (2011·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交

于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为

( )

A. 2

B. 3 C ．2

D ．3

答案 B

解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对

称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2

a 2－1)＝

b 4a

2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2

a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． 已知中心在原点的双曲线C ，过点P (2，3)且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为

______________________． 答案 x 23－y 29＝1或y 253

－x 2

5

＝1

解析 ∵双曲线C 的离心率为2，∴2＝

1＋b 2a 2，∴b

a

＝3， ∴可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 23a 2＝1或y 2a 2－x 2

3a 2＝1，把P (2，3)代入得，a 2＝3或

a 2

＝53，∴所求双曲线C 的标准方程为x 23－y 29＝1或y 253

－x 2

5

＝1.

6． 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________.

答案 －1

4

解析 由题意知a 2＝1，b 2＝－1

m

，则a ＝1，b ＝

－1

m

. ∴

－1m ＝2，解得m ＝－14

. 7． 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，

则双曲线C 的离心率为________． 答案

6

2

解析 如图，∠B 1F 1B 2＝60°， 则c ＝3b ，即c 2＝3b 2， 由c 2＝3(c 2－a 2)， 得c 2a 2＝32，则e ＝62. 三、解答题(共22分)

8． (10分)已知椭圆D ：x 250＋y 2

25

＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，

它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)，

∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.

∴

|5a |b 2

＋a

2

＝3，得a ＝3，b ＝4，

∴双曲线G 的方程为x 29－y 2

16

＝1.

9． (12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，

－10)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→

＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．

(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.

∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.

(2)证明 方法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m

3－23，

kMF 1·kMF 2＝m 29－12

＝－m 2

3.

∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→

＝0. 方法二 ∵MF 1→

＝(－3－23，－m )，

MF 2→

＝(23－3，－m )，

∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.

(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， 由(2)知m ＝±3.

∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝1

2

×43×3＝6.

B 组 专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线

垂直，那么此双曲线的离心率为

( )

A. 2

B. 3

C.

3＋1

2

D.

5＋1

2

答案 D

解析 设双曲线方程为x 2

a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲

线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b

c ，

∴b a ·(－b

c

)＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52

(舍去)，故选D.

2． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且

垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )

A ．(1，＋∞)

B ．(1,2)

C ．(1,1＋2)

D ．(2，＋∞)

答案 D

解析 根据双曲线的对称性，若△ABE 是钝角三角形，则只要0<∠BAE <π

4

即可．直线

AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2

＝b 4a 2，取点A ????－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a

，|EF |＝a ＋c ，只

要|AF |>|EF |就能使∠BAE <π4，故b 2

a >a ＋c ，即

b 2>a 2＋a

c ，即c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，

得e >2或e <－1，又e >1，故e >2.故选D.

3． 若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a

2－y 2

＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支

上的任意一点，则OP →·FP →

的取值范围为 ( )

A ．[3－23，＋∞)

B ．[3＋23，＋∞) C.????－7

4，＋∞

D.????74，＋∞

答案 B

解析 由a 2

＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23

－y 2

＝1.

设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 2

0＝x 203

－1.

OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 2

0＋2x 0＋x 203－1

＝43?

???x 0＋342－7

4，∵x 0≥3， 故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分)

4． (2012·重庆)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，

PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案

32

4

解析 ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1相交，

由???

y ＝b 3a

x ，x 2

a 2

－y 2b 2

＝1

消去y 得x ＝32a

4

，

又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝32

4

.

5． 设点F 1，F 2是双曲线x 2

－y 2

3

＝1的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若3|PF 1|＝4|PF 2|，

则△PF 1F 2的面积为________． 答案 315

解析 据题意，|PF 1|＝4

3|PF 2|，且|PF 1|－|PF 2|＝2，

解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.

又|F 1F 2|＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝7

8.

所以sin ∠F 1PF 2＝

1－cos 2∠F 1PF 2＝

15

8

， 所以S △PF 1F 2＝12×6×8×15

8

＝315.

6． 已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，

且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53

解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝2

3a .

在△PF 1F 2中，由余弦定理，

得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2

－4c 22·83a ·23

a ＝178－9

8e 2.