高中数学讲义微专题93 算法—多项循环体

高中数学讲义微专题93  算法—多项循环体
高中数学讲义微专题93  算法—多项循环体

微专题93 含多次循环的程序框图

一、基础知识:

1、如果在框图运行中,循环次数过多,则不易一一列举,费时费力,则要通过列举出的前几个例子找到规律,并推断出循环临近结束时各变量的值

2、找规律:在多次循环的框图中,变量的取值通常呈现出以下几点规律:

(1)与数列的求和相关:框图中某个变量与求和相关,且在每次循环中所加上的项具备特点,如同数列的通项公式。那么则可通过归纳出数列的通项公式从而判断求和方法

(2)与周期性相关:框图经过几次循环后,某个变量的值存在周期性,那么可通过周期性即可判断出循环临近结束后,变量的取值。

(3)计数变量:在较多次的循环中,往往会有一个变量,在每次循环时,它的值都加1,则该变量的值可代表循环的次数,这样的变量称为计数变量。由于多次循环不能一一列出,所以需要在前几次的列举中发现输出变量与计数变量间的”对应关系“以便于在最后一次循环时,可通过计数变量的值确定输出变量的取值或者是在求和中最后一次加上的项 二、典型例题:

例1:右图是表示分别输出2222222222

1,13,135,,1352011+++++++ 的值的过程的

一个程序框图,那么在图中①②处应分别填上( )

A. i ≤2011?,1i i =+

B. i ≤1006?,1i i =+

C. i ≤2011?,2i i =+

D. i ≤1006?,2i i =+ 思路:通过框图可发现S 代表求和,而变量i 是成为求和中的每一项,依题意,每项的底数为奇数(相差2),所以在执行框②中填入的应该是2i i =+,在判断框①中,只要不满足①的条件则结束循环,从选项中可判断是关于i 的条件,且最

后一次输出S 前,所加的项为2

2011,然后2013i =,所以

判断框中应填写2011?i ≤,故选C

答案:C

例2:某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是( ) A .3-

B .1

2

-

C .

13

D . 2

思路:从判断框中发现循环次数较多,所以考虑进行几次循环,并寻找规律:

① 3,2S i =-= ② 1,32

S i =-= ③ 1

,43

S i =

= ④ 2,5S i == ⑤ 3,6S i =-=

由此可发现S 的值呈周期性变化,且周期为4,最后一次循环2015i =,所以

201545033÷=

,所以S 的值与②相同,即1

2

S =-

答案:B

例3:某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )

A. B.

C. D. 思路:程序运行中变量变化如下:

① sin

23

2

s n π

==

=

② 2sin

33

s s n π

=+==

③ sin 4s s n π=+==

④ 4sin 532s s n π=+== ⑤ 5sin

0,63

s s n π

=+== ⑥ sin 20,7s s n π=+==

⑦ 7sin

832

s s n π=+== 可发现s 的取值以6为周期,当2015n =时,循环结束,因为201563355÷= ,故此

时s 的值与5n =时的一致,所以2

s = 答案:D

例4:如果执行右边框图,输入2012N =,则输出的数s 等于( ) A. 2013

201122?+ B. 2012201222?- C. 2012

20112

2?+ D. 2013201222?-

思路:可先进行几次循环观察规律: ① 1

1

12,12,2m s k =?=?= ② 2

1

2

22,1222,3m s k =?=?+?= ③ 3

1

2

3

32,122232,4m s k =?=?+?+?=

通过三次循环即可观察到s 为数列{}n a (其中2n n a n =?)进行求和,即考虑在第n 次循环时

s 的通式,通过{}2n n ?通项公式特征可用错位相减法求和:

1231222322n s n =?+?+?++?

()23121222122n n s n n +=?+?++-?+? ()2112212222221

n n n n s n n ++-∴-=+++-?=

-?-

()1122n s n +∴=-?+

再考虑最后一次循环时2013k =,按照前面的对应关系,循环的序数为12012n k =-=,代入可得:2013

201122s =?+

答案:A

例5:执行如图的程序框图,如果输入的0.01t =,则输出的n =( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 思路:可先执行几次循环:

① 1

1,12S n =-

= ② 11

1,224S n =--=

③ 111

1,3248

S n =---=,依次类推可得:

第n 次循环中,111221111111242212

n

n n S ????-?? ?????????=----=-

= ???

-

若输入的0.01t =,则考虑112100

n

??< ???时,7n ≥,故当7n =时,跳出循环,所以输出的7n =

答案:C

例6:若执行右边的程序框图,输出S 的值为4,则判断框中应填入的条件是( ) A. 14k < B. 15k < C. 16k < D. 17k < 思路:可先通过几次循环寻找规律:

① 2log 3,3S k == ②23log 3log 4,4S k =?= ③ 234log 3log 4log 5,4S k =??= 由

n

次循环

()231log 3log 4log 2,2n S n k n +=???+=+ ,且 ()()()()()2312lg 2lg 2lg3lg4

log 3log 4log 2log 2lg2lg3lg 1lg2

n n n S n n n +++=???+=

???==++ 即2log S k =,因为输出4S =,所以2log 4k =,解得16k =,所以应该在16k =后结束循环,判断框应填入16k < 答案:C

例7:某算法的程序框图如图,输入1n =,若输出结果S 满足2011

2012

S <,则输入正整数m 的最大值是___________

思路:通过流程图可观察到S 可视为数列通过裂

1111

121

m m m m -+-++--- 项相消求和得到。即

()()()111

11221

S m m m m =

+++---?

1111111212

m m m m =

-+-++----

111111112231m m m =-

+-++-=-- 1201112012m ∴-<解得2012m <,从而输入m 的最大值为2011m =

答案:2011m =

例8阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序(其中,

"mod 4r a =表示“r 等于a 除以4的余数”)输出S 值等于

_________

思路:通过"mod 4r a =可知框图的关键为a 除以4的余数,且输出的S 为一个求和,先做几个循环寻找规律: ① 0r =,1S =-,5a = ② 1r =,11S =-+,6a = ③ 2r =,112S =-++,7a = ④ 3r =,1123S =-+++,8a = ⑤ 0r =,()11231S =-+++-,9a =

由此可得:r 的取值呈周期性。最后一次循环是2013a =,而201345031÷= ,所以

2013a =时,0r =,且共进行了()201354502-÷=次循环,所以

()()502112312509S =?-++++-=

答案:2509

例9:如图,程序框图运算的结果为________

思路:由于100i ≤,经历的循环次数较多,所以考虑求和中的规律。先通过几次循环寻找:

① 2

1S = 2i =

② 22

12S =- 3i =

③ 222

123S =-+ 4i =

……

可观察到2

2

2

2

2

2

123499100S =-+-++- ,从

而联想到数列求和。很难从通项公式入手,观察到相邻两项存在平方差特点,所以考虑两两

分组。

(

)(

)()()2

211121n n n n n n n -+=-+++=-

?????

??

?,

则()

319

9

37199

505050

2

S +

=

-

+

++

=

-?=- 答案:5050-

例10:阅读右面的程序框图,若输入的n 是100,则输出的变量S 和T 的值依次是( )

A .2450,2500

B .2550,2450

C .2500,2550

D .2550,2500 思路:通过几次循环观察特点: ①100,99,99,98S n T n ==== ②10098,97,9997,96S n T n =+==+=

③1009896,95,999795,94S n T n =++==++= 通过三次循环便可发现,S 为偶数和,T 为奇数和,从而寻找最后一次循环,则

100989622550,999795312500S T =++++==+++++=

答案:D

三、历年好题精选

1、执行如图所示的程序框图,输出P 的值为( )

A . 1-

B .1

C .0

D .2016

2、21.(2015,湖南)执行如图1所示的程序框图,如果输入3n =,则输出的S =( ) A.67 B. 37 C. 89 D. 4

9

3、(2015,北京)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )

A .()22-,

B .()40-,

C .()44--,

D .()08-,

4、(2015,福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输

出的结果为( )

A.2 B.1 C.0

D.1-

5、(2015,陕西)根据右边的图,当输入x为2006时,输出的y=()A.28

B.10 C.4 D.2

6、(2015,天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()

A. -10

B. 6

C. 14

D. 18

7、(2015,山东)执行右边的程序框图,输出的T 的值

为 .

8、(2014,北京)当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A. 7 B. 42 C. 210 D. 840

9、(2014,湖北)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ,按从大到小排成的三位数记为()D a (例如815a =,则

()(

)158,851

I a D a ==).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a ,输出的结果b = ________.

10、执行如图所示的程序框图,输出2015

2016

S =,那么判断框内应填( )

A. 2015?k ≤

B. 2016?k ≤

C. 2015?k ≥

D. 2016?k ≥ 答案:A

11、定义某种运算M a b =?,运算原理如图所示,则式子

1

1

2tan sin 4cos 4233πππ-???????+? ? ? ??

?????的值为( )

A .4

B .8

C .11

D .13

12、下图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为720S =,则在判断框中应填入关于k 的

判断条件是( )

A .6?k ≥

B .7?k ≥

C .8?k ≥

D .9?k ≥

习题答案:

1、答案:C

解析:执行的程序流程如下:

① 1,2P i =-= ② 0,3P i == ③ 1,4P i =-=

……可知周期为2,且i 为奇数时,1P =-,i 为偶数时,0P =;最后一次循环时2017i =,此时的0P = 2、答案:B

解析:① 1

0,213S i =+

=? ② 110,31324S i =+

+=?? ② 1110,4133557

S i =+

++=???,满足i n >,结束循环 111111111311335572335577

S ??∴=

++=?-+-+-= ?????? 3、答案:B

解析:① 0,2,0,2,1s t x y k ===== ② 2,2,2,2,2s t x y k =-==-==

③ 4,0,4,0,3s t x y k =-==-==,满足3k ≥,结束循环

()(),4,0x y ∴=-

4、答案:C

解析:① 0,2S i == ② 1,3S i =-= ③ 1,4S i =-= ④ 110,5S i =-+== ⑤ 0,6S i ==,满足5i >,结束循环 5、答案:B

解析:① 2004x =;② 2002x =;③ 2000x =,…,以此类推下去,可知第1003次运行时,0x =;第1004次运行时,2x =-,不满足0x ≥,结束循环,所以

2313110x y -=+=+=

6、答案:B

解析:① 2,18i S == ② 4,14i S == ③ 8,6i S ==,满足5i >,结束循环

6S ∴=

7、答案:

116

. 解析:① 1

2100

131,222

T xdx x n =+

===? ② 12

3100313111,323236

T x dx x n =+==+=

=? 此时3n <不成立,结束循环

116

T ∴=

8、答案:C

解析:由已知可得:k 的初始值为7,循环结束判断条件为:7315k <-+=,循环过程如下:

① 177,6S k =?== ② 76,5S k =?=

③ 765210,4S k =??==,此时满足5k <,循环结束

210S ∴=

9、答案:495

解析:本题循环结束的条件并非大于(或小于)一个值,所以要读懂此程序的过程和结束的条件。b 为()(),D a I a 的差,循环结束时意味着()()D a I a a -=,即()(),D a I a

的差与原

数相等。设a cde =,若e 最大,则()()D a I a -的个位不是e 与()()D a I a a -=矛盾;若c 最大,

则()()D a I a -的百位不是c 也与()()D a I a a -=矛盾;所以d 最大。当c e d <<时,()()D a I a dec ced -=-,可得:dec ced cde -=,由c d <可得9d =,进而可推断出4,5c e ==,从而495b = 10、答案:A

解析:通过观察框图可得S 表示一个数列的求和,且数列的通项公式为()

1

1k a k k =

+,从而

考虑裂项相消进行求和,则()111

11

k a k k k k =

=-++,所以

1111

1122311k S k k k ??????=-+-++-= ? ? ?++?????? ,结果为20152016S =,可知求和时的2015k =,但由于在求和后1k k =+,所以循环结束后的2016k =,所以判断框应填入的是

2015?k ≤

11、答案:D

解析:由框图可知运算的关键在于,a b 的大小,先计算2tan

sin 2142

ππ

??

?=? ??

?,即2,1,a b a b ==>,所以

()2tan sin 21211442ππ?

??=?=?+= ?

?

?;另一部分,

()1

14cos 23213933π-?

????=?=+?= ? ??

???,所以式子的和为13

12、答案:C

解析:执行循环程序结果如下:

① 10,9s k == ②90,8s k == ③ 720,7s k == 此时循环应该终止,所以可知判断条件为8k ≥,可终止循环

高中数学讲义微专题76 存在性问题

微专题76 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立;否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式:未知要素用字母代替 (1)点:坐标()00,x y (2)直线:斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量) (3)曲线:含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧: (1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 (2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去。 (3)核心变量的求法: ①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解 ②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解。 二、典型例题: 例1:已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33,过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为 2 2 。 (1)求,a b 的值 (2)C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 旋转到某一位置时,有OP OA OB =+成立?若存在,求出所有的P 的坐标和l 的方程,若不存在,说明理由 解:(1)3 ::323 c e a b c a = =?=

则,a b = =,依题意可得:(),0F c ,当l 的斜率为1时 :0l y x c x y c =-?--= 2 O l d -∴= = 解得:1c = a b ∴== 椭圆方程为:22 132 x y += (2)设()00,P x y ,()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时,设():1l y k x =- OP OA OB =+ 012 012 x x x y y y =+?∴?=+? 联立直线与椭圆方程:()221236 y k x x y =-???+=?? 消去y 可得:()222 2316x k x +-=,整理可得: ()2 222326360k x k x k +-+-= 2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232 k k y y k x x k k k k +=+-=-=-++ 22264,3232k k P k k ?? ∴- ?++?? 因为P 在椭圆上 2 2 2 22 642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++???? ()()()2 2 42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+ ( )2224632k k k ∴=+?= 当k = 时,):1l y x =- ,3,2 2P ?- ?? 当k = ):1l y x =- ,3,22P ? ?? 当斜率不存在时,可知:1l x = ,1, ,1,33A B ??? - ???? ?,则()2,0P 不在椭圆上

高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,已知3121312,0,0a S S =><. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式n a 与n S 建立不等式,容易求解d 的范围;(2)利用n S 是n 的二次函数,将n S 中哪一个值最大,变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】(1) 由3a =12a d +=12,得到1a =12-2d , 所以12S =121a +66d =12(12-2d )+66d =144+42d >0, 13S =131a +78d =13(12-2d )+78d =156+52d <0. 解得:2437 d -<<-. (2)解法一:(函数的思想) n S =21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- =22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <,故212452n d ????-- ???????最小时,n S 最大.

(推荐)高中数学七大数学基本思想方法

高中数学七大数学基本思想方法 第一:函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二:数形结合思想 (1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面 (2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系,形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。 第三:分类与整合思想 (1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 (2)从具体出发,选取适当的分类标准。 (3)划分只是手段,分类研究才是目的。 (4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性。 (5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四:化归与转化思想 (1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决题化归为已解决问题。 (2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 (3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五:特殊与一般思想 (1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识。 (2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程。 (4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程。 (5)高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六:有限与无限的思想 (1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路。 (2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 (3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用。 (4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与无限的考查。 第七:或然与必然的思想

高中数学专题――概率统计专题.

专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识.概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.该部分在高考试卷中,一般是2—3个小题和一个解答题. 【考点透析】概率统计的考点主要有:概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等.【例题解析】 题型1 抽样方法 -)中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码(编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是() A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对 分析:实际“间隔距离相等”的抽取,属于系统抽样. 解析:题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码,中奖号码依次为:088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案B. 点评:关于系统抽样要注意如下几个问题:(1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法.(2)系统抽样的步骤:①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按事先研究的规则抽取样本.(3)适用范围:个体数较多的总体. 例2(2008年高考广东卷理3)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为() A.24B.18C.16D.12 Array 分析:根据给出的概率先求出x的值,这样就可以知道三年级的学生人数,问题就解决了. x=?=,这样一年级和二年级学生的解析:C 二年级女生占全校学生总数的19%,即20000.19380 +++=,三年级学生有500人,用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=.答案C. 2000 点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识. 例3.(2009江苏泰州期末第2题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系, 2500,3500(元)月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[) 出人.

高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型

微专题80 排列组合的常见模型 一、基础知识: (一)处理排列组合问题的常用思路: 1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求的元素。 例如:用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数,共有多少种排法? 解:五位数意味着首位不能是0,所以先处理首位,共有4种选择,而其余数位没有要求,只 需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如:在10件产品中,有7件合格品,3件次品。从这10件产品中任意抽出3件,至少有一件次品的情况有多少种 解:如果从正面考虑,则“至少1件次品”包含1件,2件,3件次品的情况,需要进行分类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简单。 3310785N C C =-=(种) 3、先取再排(先分组再排列):排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素,再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。 例如:从4名男生和3名女生中选3人,分别从事3项不同的工作,若这3人中只有一名女生,则选派方案有多少种。 解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步,第一步: 确定选哪些学生,共有2143C C 种可能,然后将选出的三个人进行排列:33A 。所以共有 213433108C C A =种方案 (二)排列组合的常见模型 1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如:5个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法

高中数学解题思想之等价变换思想.

等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。 著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组: 1. f(x是R上的奇函数,f(x+2=f(x,当0≤x≤1时,f(x=x,则f(7.5等 于_____。 A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5

(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法,尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式,形象的显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1.函数图象作图方法 (1)描点法:列表、描点(注意关键点:如图象与x 、y 轴的交点,端点,极值点等))、连线(注 意关键线:如;对称轴,渐近线等) (2)利用基本函数图象变换。 2.图象变换(由一个图象得到另一个图象):平移变换、对称变换和伸缩变换等。 (1)平移变换 ① 水平平移:函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; ② 竖直平移:函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到. (2)对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到; ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到; ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到; (3)翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. (4)伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到; ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到. 3.函数图象的对称性:对于函数)(x f y =,若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-(或))2()(x a f x f -=,则)(x f 的图象关于直线a x =对称; ②b x a f x a f 2)()(=++-(或)2)2()(b x a f x f =-+,,则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,幂函数,三角函数)的图象 5、作函数图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域;(2)化简函数式;(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等);(4)利用基本函数的图像(5)利

(新)高中数学《导数中的构造函数》小专题

专题5导数中函数的构造问题 命制人:丁晓光 使用时间:2021年3月17日 班级: 姓名: 一、教学目标:1、掌握构造适当的函数解决问题的方法。 2、体会函数与方程、转化与化归的数学思想,锻炼逻辑推理、数学运算等核心素养。 二、教学重点:应用函数性质,构造函数解决问题。 三、教学难点:变化式子结构特征找到要构建的函数。 四、复习回顾:(课前预热练习) (一)利用()f x 与x (n x )构造 1、)(x f 是定义在R 上的偶函数,当 0 0的解集为__________ 2、已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数)('x f ,且满足0)1(=-f ,当0>x 时,)(')(2x xf x f >,则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是 (二)利用()f x 与x e 构造 3、已知定义在R 上的函数f(x)满足()(),f x f x '>且f(1)=0,则关于x 的不等式f(x)>0的解集为( ) A.(2,)+∞ B.(,1)-∞ C.(,2]-∞ D.(1,)+∞ (三)利用()f x 与x ln 构造 4、设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,当0x >时,1'()ln ()<- f x x f x x ,则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是 . (四)利用()f x 与sin x ,cos x 构造 5、已知函数()y f x =对于任意)2 ,2(ππ-∈x 满足0sin )(cos )('>+x x f x x f (其中()f x '是函数()f x 的导函数),则下列不等式不成立的是( ) A .)4()3(2ππf f < B .)4-()3-(2ππ f f -ββαα,则下列结论正确的是( ) A .αβ> B .22αβ> C .αβ< D .0αβ+>

高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解

微专题98 含新信息问题的求解 一、基础知识: 所谓“新信息背景问题”,是指题目中会介绍一个“课本外的知识”,并说明它的规则,然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象,并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 (1)若题目中含有变量,则要先确定变量的取值范围 (2)确定新信息所涉及的知识背景,寻找与所学知识的联系 (3)注意信息中的细节描述,如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 (4)把对“新信息”的理解应用到具体问题中,进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 (1)可通过“举例子”的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对新信息的理解 (2)可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容,如果能够清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻。 (3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律 (4)如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广,则要关注此信息与原概念的不同之处,以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例1:设,P Q 是两个集合,定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?且,如果{}2|log 1P x x =<,{}|21Q x x =-<,则P Q -等于( ) A. {}|01x x << B. {}|01x x <≤ C. {}|12x x ≤< D. {}|23x x ≤< 思路:依{}|P Q x x P x Q -=∈?且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成,或者可以理解为P 集合去掉P Q 的元素后剩下的集合。先解出,P Q 中的不等式。:P 2log 102x x

高中数学解题思想方法大全

目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

高中数学知识点以及解题方法大全

前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化 归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化( 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab; a 2 +ab+b 2 =(a+b) 2 -ab=(a-b) 2 +3ab=(a+ b 2) 2 +( 3 2b) 2 ; a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca= 1 2[(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) 2 ; x 2 + 1 2 x=(x+ 1 x) 2 -2=(x- 1 x) 2 +2 ;……等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n}中,a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25,则 a3+a5=_______。 2. 方程x 2 +y 2 -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k= 1 4或k=1 3. 已知sin 4 α+cos 4 α=1,则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log1 2 (-2x 2 +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (- 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上,则实数a=_____。 【简解】 1小题:利用等比数列性质a m p -a m p +=a m 2 ,将已知等式左边后配方(a3+a5) 2 易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ,解r 2 >0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin 2 α+cos 2 α) 2 -2sin 2 αcos 2 α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-11。 Ⅱ、示范性题组: 例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

高中数学常用思想方法

高中数学常用的数学思想 一、函数与方程思想 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y =0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地, 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f-1(x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 例设f(x)=lg 124 3 ++ x x a ,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围。 【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)=lg 124 3 ++ x x a 有意义的函数问题,转化为1+2x+4x a>0 在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】由题设可知,不等式1+2x+4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立, 即:(1 2 )2x+( 1 2 )x+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t=(1 2 )x, 则t≥ 1 2 ,又设g(t)=t2+t+a,其对称轴为t=- 1 2

(整理)高中数学专题训练

导数知识点 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景 (2)理解导数的几何意义 (3)掌握函数的导数公式 (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. 知识要点 )(x f y = 1.导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 2. 导数的四则运算法则: ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数)

)0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u 3.函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法:设函数)(x f y =在某个区间可导, 如果)('x f >0,则)(x f y =为增函数; 如果)('x f <0,则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法; 如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数. 4. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,极小值同理) 当函数)(x f 在点0x 处连续时, ①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值; ②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号,而不是)('x f =0① . 此外,函数不 可导的点也可能是函数的极值点② . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点,则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数3)(x x f y ==,0=x 使)('x f =0,但0=x 不是极值点. ②例如:函数||)(x x f y ==,在点0=x 处不可导,但点0=x 是函数的极小值点. 5. 极值与最值区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 6. 几种常见的函数导数: I.0'=C (C 为常数) x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x (R n ∈) x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '=

高中数学讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式

微专题40利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类,一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等式,分式不等式,指对数不等式等);一类是利用函数的性质,尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数,利用函数单调性求解,考验学生的观察能力和运用条件能力,难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。 一、基础知识: (一)构造函数解不等式 1、函数单调性的作用:()f x 在[],a b 单调递增,则 []()()121212,,,x x a b x x f x f x ?∈ (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号) 3、导数运算法则: (1)()()() ()()()()' ' 'f x g x f x g x f x g x =+ (2)()()()()()()()' ''2 f x f x g x f x g x g x g x ??-= ??? 4、构造函数解不等式的技巧: (1)此类问题往往条件比较零散,不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么,也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点 (2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想,例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 (3)此类问题处理的核心要素是单调性与零点,对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性,猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。 (二)利用函数性质与图像解不等式: 1、轴对称与单调性:此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如:()f x 的对称轴为1x =,且在()1,+∞但增。则可以作出草图

高中数学七大基本思想方法讲解

高中数学七大基本思想方法讲解 第一:函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二:数形结合思想: (1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面 (2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化 第三:分类与整合思想 (1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 (2)从具体出发,选取适当的分类标准 (3)划分只是手段,分类研究才是目的 (4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性 (5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性 第四:化归与转化思想 (1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决问题化归为已解决问题

(2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 (3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五:特殊与一般思想 (1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识 (2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论 (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程 (4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程 (5)高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六:有限与无限的思想: (1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路 (2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 (3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是先进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用 (4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与无限的考查 第七:或然与必然的思想: (1)随机现象两个最基本的特征,一是结果的随机性,二是频率的稳定性 (2)偶然中找必然,再用必然规律解决偶然 (3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 第一:函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、

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