第13章二次函数
2012年全国各地中考数学真题分类汇编 第13章 二次函数
1．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x
=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。
解答：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b ＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数a y x
=位于第二四象限，纵观各选项，只有C 选项符合． 2．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2
+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
考点：二次函数的性质。
解答：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ．
3．（2012?广州）将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）
A ．y=x 2﹣1
B ．y=x 2+1
C ．y=（x ﹣1）2
D ．y=（x+1）2
考点：二次函数图象与几何变换。
解答：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x 2﹣1．故选A ．
4．（2012泰安）将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =-- 考点：二次函数图象与几何变换。
解答：由“上加下减”的原则可知，将抛物线23y x =向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：233y x =+；由“左加右减”的原则可知，将抛物线233y x =+向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：23(2)3y x =++．故选A ．
5．（2012泰安）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2
0ax bx m ++=有
实数根，则m 的最大值为（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．9
考点：抛物线与x 轴的交点。
解答：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0.2
34b a -=-，
即212b a =，∵一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，∴△=2
40b am -≥，即1240a am -≥，即1240m -≥，解得3m ≤，∴m 的最大值为3．故选B ．
6．（2012泰安）二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n
=+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
考点：二次函数的图象；一次函数的性质。
解答：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0，∴m＜0，
∴一次函数y mx n =+的图象经过二、三、四象限，故选C ．
7．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 考点：二次函数图象上点的坐标特征。
解答：∵函数的解析式是2(1)y x a =-++，如右图，∴对称轴是1x =-，
∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称
轴右边y 随x 的增大而减小，于是213y y y >>．故选A ．
8．（2012?乐山）二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ） A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜1 考点：二次函数图象与系数的关系。
解答：∵二次函数y=ax 2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+1=0，a ＜0，b ＞0，由a=b ﹣1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，
所以0＜b ＜1①， 由b=a+1＞0得到a ＞﹣1，结合上面a ＜0，所以﹣1＜a ＜0②，
∴由①②得：﹣1＜a+b ＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t ＜2．故选：B ．
9．（2012?衢州）已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1 考点：二次函数图象上点的坐标特征。
解：∵二次函数y=﹣x2﹣7x+，∴此函数的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣7，∵0＜x1＜x2＜x3，三
点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．
10．（2012义乌市）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y 1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③
使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
考点：二次函数综合题。
解答：解：∵①当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴此选项错误；∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴②当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴此选项错误；∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴③使得M大于2的x值不存在，此选项正确；∵使得M=1时，可能是y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣，当y2=2x+2=1，解得：x=﹣，由图象可得出：当x=＞0，此时对应y2=M，∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y1=M，故M=1时，x1=，x=﹣，故④使得M=1的x值是或．此选项正确；故正确的有：③④．故选：D．
11．（2012?杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5
考点：抛物线与x轴的交点。
解答：根据题意，得C（0，﹣3）．令y=0，则k（x+1）（x﹣）=0，x=﹣1或x=，设A点的坐标为
（﹣1，0），则B（，0），①当AC=BC时，OA=OB=1，B点的坐标为（1，0），=1，k=3；②当AC=AB时，点B在点A的右面时，∵AC==，则AB=AC=，B点的坐标为（﹣1，0），
=﹣1，k=；③当AC=AB时，点B在点A的左面时，B点的坐标为（，0），=，
k=；所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条；故选B．
12．(2012?扬州)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
考点：二次函数图象与几何变换。
解答：将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2＋1；将抛物线y＝(x＋2)2＋1先向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2＋1－3，即y＝(x＋2)2－2．
故选B．
13．（2012?资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c
＜0的解集是（）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
考点：二次函数与不等式（组）。
解由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．
14．（2012?德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣2） D．（1，﹣1）
考点：二次函数图象与几何变换。
解：∵y=2x2+4x+1=2（x2+2x）+1=2[（x+1）2﹣1]+1=2（x+1）2﹣1，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∵将二次函数y=2（x+1）2﹣1，的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，∴y=2（x+1﹣2）2﹣1﹣1=2（x﹣1）2﹣2，故得到图象的顶点坐标是（1，﹣2）．故选：B．15．（2012?德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）
A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
考点：二次函数的性质。
解答：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，故选B．16．（2012?兰州）抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( )
A．直线 B．直线 C．y轴D．直线x＝2
考点：二次函数的性质。
解答：∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，∴对称轴是直线x＝0(y轴)，故选C．
17．（2012张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．C D
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
解答：解：当a＞0时，y=ax+1过一．二．三象限，y=过一．三象限；
当a＜0时，y=ax+1过一．二．四象限，y=过二．四象限；故选C．
18．（2012宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y=x2的切线②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，则实数k=其中正确命题的是（）A．①②④B．①③C．②③D．①③④
考点：二次函数的性质；根的判别式。
解答：解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x2的切线，故本小题正确；②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线
y=x2相交，故本小题错误；③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴x2﹣4x﹣b=0，∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入x2﹣4x﹣b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，∴x2=kx﹣2，即x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=±，故本小题错误．故选B．
19．（2012潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别
为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c
＞0．其中正确的有（）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
考点：二次函数图象与系数的关系。
解答：根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：x=﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∴abc＜0，故②正确；
③a﹣2b+4c＜0；∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c，∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0，
∴﹣4b+4c=﹣4a ，∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a ＜0，故此选项正确；④由图示，当x=4时，y ＞0， ∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a ，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：①②③三个．故选：A ．
1．（2012绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进
高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =-
-+，由此可知铅球推出的距离是 m 。
考点：二次函数的应用。 解答：令函数式21(4)312y x =--+中，0y =，21(4)3012
x --+=，解得110x =，22x =-（舍），即铅球推出的距离是10m 。故答案为：10。
2．(2012?扬州)如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 1 ．
考点：二次函数的最值；等腰直角三角形。
解答：如图，连接DE ．设AC ＝x ，则BC ＝2－x ，
∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝
，CE ＝(2－x )， ∴∠DCE ＝90°，故DE 2＝DC 2＋CE 2＝x 2＋(2－x )2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，
当x ＝1时，DE 2
取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1．故答案为：1．
3．（2012无锡）若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 y=﹣x 2+4x ﹣3 ．
考点：待定系数法求二次函数解析式。
解答：解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2+1，将B （1，0）代入y=a （x ﹣2）2+1得，a=﹣1， 函数解析式为y=﹣（x ﹣2）2+1，展开得y=﹣x 2+4x ﹣3．故答案为y=﹣x 2+4x ﹣3．
4．（2012广安）如图，把抛物线y=x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A
（﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2交于
点Q ，则图中阴影部分的面积为 ．
考点：二次函数图象与几何变换。
解答：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h ，将（﹣6，0）代入得出：
0=（﹣6+3）2+h ，解得：h=﹣，∴点P 的坐标是（3，﹣），根据抛物线的对称
性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=3×|﹣|=
． 故答案为：．
5．（2012苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1
＞ y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
解答：由二次函数y=（x ﹣1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x 1＞x 2＞1，∴两点均在对称轴的右侧， ∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∵x 1＞x 2＞1，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．
6．（2012深圳）二次函数622+-=x x y 的最小值是 ▲ ．
【考点】二次函数的性质。
解答：∵()2226=1+5y x x x =-+-，∴当=1x 时，函数有最小值5。
1．【2012临沂】如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°
至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题；分类讨论。
解答：解：（1）如图，过B 点作BC⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2
）； （2）∵抛物线过原点O 和点A ．B ，∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，将A （4，0），B （﹣2．﹣2
）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x 2+x
（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为（2，y ），
①若OB=OP ，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD 中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P 、O 、B 三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P 的坐标为（2，﹣2
） ②若OB=PB ，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P 的坐标为（2，﹣2），③
若OP=BP ，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P 的坐标为（2，﹣2
）， 综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2
），
2．【2012菏泽】如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为
A （0，1），
B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得
到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；
（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B
的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理
由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写
出四边形PB′A′B 的两条性质．
考点：二次函数综合题。
解答：（1）△A ′B ′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A （0，1），B （2，0），O （0，0）， ∴A ′（﹣1，0），B ′（0，2）．设抛物线解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠，∵抛物线过点A ′、B ′、B ，
02042a b c c
a b c =-+??∴=??=++?，解之得112a b c =-??=??=?
，∴满足条件的抛物线的解析式为22y x x =-++.． （2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0，P 点坐标满足22y x x =-++． 连接PB ，PO ，PB ′，B OA B O OB PB A B S S S S '''''???∴=++P P 四边形11112+2+2222
x y =?????? 22(2)123x x x x x =+-+++=-++. 假设四边形PB A B ''的面积是A B O ''?面积的4倍，则
2234x x -++=，即2210x x -+=，解之得1x =，此时21122y =-++=，即(1,2)P .
∴存在点P （1，2），使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．
（3）四边形PB ′A ′B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①
等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与
下底平行；④等腰梯形两腰相等．或用符号表示：①∠B ′A ′B=∠PBA ′或∠A ′B ′
P=∠BPB ′；②PA ′=B ′B ；③B ′P ∥A ′B ；④B ′A ′=PB ．
3．【2012义乌市】如图1，已知直线y=kx 与抛物线
y=交于点A （3，6）．（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如
果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线
上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A
不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，
且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
考点：二次函数综合题。
解答：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．OA=．
（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时；
②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN∴，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．①①
（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF=，∴点F（，0），设点B（x，），
过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1=6，x2=3（舍去），∴点B（6，2），∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，∴AB=5（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k=，b=10，
∴，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB=5
（其它方法求出AB的长酌情给分）
在△ABE与△OED中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，∴∠ABE=∠DEO，∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．设OE=x，则AE=﹣x （），由△ABE∽△OED得，∴
∴（）∴顶点为（，）如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当时，E点只有
1个当时，E
点有2个
4．【2012?杭州】在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
考点：二次函数综合题。
解答：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=，
代入A（1，﹣2）得：﹣2=，解得：m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0，
∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：直线x=﹣，要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x＜﹣；
（3）由（2）可得：Q（﹣，k），∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与
B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB，作
AD⊥OC，QC⊥OC，∴OQ==，∵OA==，
∴=，解得：k=±．
5．【2012?烟台】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC
于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
考点：二次函数综合题。
解答：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．
（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．
∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．
∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又点A到GE的距离为，
C到GE的距离为2﹣，即S△ACG=S△AEG+S△CEG=?EG?+?EG（2﹣）=?2（t﹣）=
﹣（t﹣2）2+1．当t=2时，S△ACG的最大值为1．（3）t=或t=20﹣8．
6．【2012?益阳】已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）
和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的
班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算
惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于
0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，
，结果可保留根号）
考点：二次函数的应用。
解答：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，∴P点坐标为（1，﹣3）；∵抛物线y=a（x﹣1）2+c过点A （，0），顶点是P（1，﹣3），∴；解得；
则抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣2x﹣2．
（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，∴C、D两点纵坐标为3；由（x﹣1）2﹣3=3，
解得：，，∴C、D两点的坐标分别为（，3），（，3）∴CD=
∴“W”图案的高与宽（CD）的比=（或约等于0.6124）
7．【2012?广州】如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知
抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的
坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
考点：二次函数综合题。
解答：（1）令y=0，即=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．
（2）S △ACB =AB?OC=9，在Rt△AOC 中，AC===5，设△ACD 中AC 边上的高为h ，则有AC?h=9，解得h=．如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC ，且到AC 的距离=h=，这样的直线有2条，分别是
l 1和l 2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D ．设l 1交y 轴于E ，过C 作CF⊥l 1于F ，则CF=h=
，∴CE==．
设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将A （﹣4，0），B （0，3）坐标代入，得到，解得，∴直线AC 解析式为y=x+3．直线l 1可以看做直线AC 向下平移CE 长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线l 1的解析式为y=x+3﹣=x ﹣．则D 1的纵坐标为×（﹣1）﹣=
，∴D 1（﹣4，）．
同理，直线AC 向上平移个长度单位得到l 2，可求得D 2（﹣1，
） 综上所述，D 点坐标为：D 1（﹣4，），D 2（﹣1，）．
（3）如答图2，以AB 为直径作⊙F，圆心为F ．过E 点作⊙F 的切线，这样的
切线有2条．连接FM ，过M 作MN⊥x 轴于点N ．∵A（﹣4，0），B （2，0），
∴F（﹣1，0），⊙F 半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF 中，ME=
=4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．在Rt△FMN 中，MN=MN?sin∠MFE=3×=，FN=MN?cos∠MFE=3×=，则ON=，∴M 点坐标为（，）直线l 过M （，），E （4，0），设直线l 的解析式为y=kx+b ，则有 ，解得，所以直线l 的解析式为y=x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x ﹣3．综上，直线l 的解析式为y=x+3或y=x ﹣3．
8．【2012成都】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =
+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)
经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意
作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112
P P M M M M 是否为定值，并写出探究过程． 考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）∵
经过点（﹣3，0），∴0=+m ，解得m=， ∴直线解析式为，C （0，）．∵抛物线y=ax 2+bx+c 对称轴为x=1，且与x 轴交于A （﹣3，0），
∴另一交点为B （5，0），设抛物线解析式为y=a （x+3）（x ﹣5），∵抛物线经过C （0，
）， ∴=a?3（﹣5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x 2+x+；
（2）假设存在点E 使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF 且AC=EF ．如答图1，
（i ）当点E 在点E 位置时，过点E 作EG⊥x 轴于点G ， ∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵
，∴△CAO≌△EFG， ∴EG=CO=
，即y E =，∴=x E 2+x E +，解得x E =2（x E =0与C 点重合，舍去）， ∴E（2，），S ?ACEF =；（ii ）当点E 在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x 轴于点G′，
同理可求得E′（
+1，），S ?ACE′F′=． （3）要使△ACP 的周长最小，只需AP+CP 最小即可．如答图2，连接BC 交x=1于P 点，因为点A 、B 关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP 最小（AP+CP 最小值为线段BC 的长度）． ∵B（5，0），C （0，），∴直线BC 解析式为y=x+，∵x P =1，∴y P =3，即P （1，3）．
令经过点P （1，3）的直线为y=kx+3﹣k ，∵y=kx+3﹣k ，y=
x 2+x+， 联立化简得：x 2+（4k ﹣2）x ﹣4k ﹣3=0，∴x 1+x 2=2﹣4k ，x 1x 2=﹣4k ﹣3．∵y 1=kx 1+3﹣k ，y 2=kx 2+3﹣k ，
∴y 1﹣y 2=k （x 1﹣x 2）．根据两点间距离公式得到：
M 1M 2===
∴M 1M 2===4（1+k 2）． 又M 1P===；
同理M 2P=
∴M 1P?M 2P=（1+k 2）?
=（1+k 2）?
=（1+k 2）?=4（1+k 2
）． ∴M 1P?M 2P=M 1M 2，∴=1为定值．
9．【2012铜仁】如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，
抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）
若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP
相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是
否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E
的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）：由题意得，A （3，0），B （0，3）∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴把A （3，0），B （0，3），C （1，0）三点分别代入2y ax bx c =++得方程组?????=++==++03039c b a c c b a 解得：??
???=-==341c b a
∴抛物线的解析式为243y x x =-+
（2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP 1D ，则1
DP OB AD AO =∴DP 1=AD =4 ,∴P 1(1,4)- 若△ABO∽△ADP 2 ，过点P 2作P 2 M⊥x 轴于M ，AD=4, ∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP 2
是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P 2M ，即点M 与点C 重合∴P 2（1，2）
（3）如图设点E (,)x y ，则 ||2||2
1y y AD S ADE =??=
? ①当P 1(-1,4)时，S 四边形AP1CE =S 三角形ACP1+S 三角形ACE ||2214221y ??+??= = 4y + ∴24y y =+ ∴4y =∵点E 在x 轴下方 ∴4y =-
代入得： 2434x x -+=-,即 0742
=+-x x
∵△=(-4)2
-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P 2（1，2）时，S 四边形AP2CE =S 三角形ACP2+S 三角形ACE = 2y + ∴22y y =+ ∴2y = ∵点E 在x 轴下方 ∴2y =- 代入得：2432x x -+=- 即 0542=+-x x ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E 。
10．【2012泰安】如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0
）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若
不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的
面积为S ，求S 的最大（小）值．
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）如答图1，连接OB ．∵BC=2，OC=1
=∴B（0
A （3，0），
B （0
得930b c c ?++=???=?
，解得：b c ?=???=?
，∴2y x x =． （2）存在．如答图2，作线段OB 的垂直平分线l ，与抛物线的交点即为点P ．
∵B（0
，O （0，0），∴直线l
的表达式为y =．代入抛物线的表达式，
得2y x x =++=
1x =
，∴P（1． （3）如答图3，作MH⊥x 轴于点H ．设M （m m x y ， ），
则S △MAB =S 梯形MBOH +S △MHA ﹣S △OAB =12（MH+OB ）?OH+12HA?MH﹣12
OA?OB
=111((3)3222m m m m y x x y +--?
32m m x y +
∵2m m m y x x =
，∴2ΔMAB 3(2m m m S x x x =++
=223)22228m m m x x x -+=--+∴当32m x =时，ΔMAB S
取得最大值，最大值为8
．
11．【2012?乐山】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n
（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P
为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点
（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
考点：二次函数综合题。
解答：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=3∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．∴解得：，
∴抛物线的解析式为．…（4分）
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）．∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），
（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．
（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．
∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ?OG+DQ?GH
=DQ（OG+GH）==，∵0＜x＜3，
∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．
12．【2012?衢州】如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛
物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得
四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；
若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点
A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程
中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
解答：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，
∴抛物线解析式为y=x2+x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M （t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM
为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），
t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯
形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．
解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴=∴HT===2﹣a，
KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q?HT=??（3﹣a）﹣?（3﹣a）?（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①
由△RKH∽△A′O′B′，得 ② 由①，②得KH=OH ， OK=OH ，KT=OT ﹣OK=a ﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得
，则KT= ④ 由③，④得=a ﹣OH ，即OH=2a ﹣2，RH=a ﹣1，所以点R 的坐标为R （2a ﹣2，a ﹣1）
S 四边形RKTQ =S △QOT ﹣S △ROK =?OT?QT﹣?OK?RH=a?a ﹣（1+a ﹣）?（a ﹣1）
=a 2+a ﹣=（a ﹣）2+ 由于
＜0，
∴在线段AC 上存在点A′（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．
解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=（﹣a+3）?=a+，∴OK=OT﹣KT=a ﹣（a+）=a ﹣， 过点R 作RH⊥x 轴于H ，∵tan∠OAB=tan∠RKH=
=2，∴RH=2KH 又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a ﹣+RH ，∴RH=a﹣1，OH=2（a ﹣1）， ∴点R 坐标R （2a ﹣2，a ﹣1）S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =?KT?A′T﹣A′Q?（xQ ﹣xR ） =?
?（3﹣a ）﹣?（3﹣a ）?（﹣a+2）=a 2+a ﹣=（a ﹣）2+ 由于＜0，∴在线段AC 上存在点A′（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．
13．【2012绍兴】如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线242y x x =--经过A ，B 两点。
（1）求A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒。①当PQ⊥AC 时，求t 的值；②当PQ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ＞∠POQ，求点H 的纵坐标的取值范围。
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）由抛物线242y x x =--知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。
由于四边形OABC 是矩形，所以AB∥x 轴，即A 、B 的纵坐标相同；
当2y =-时，2242x x -=--，解得1204x x ==，，∴B （4，﹣2），∴AB=4。
（2）①由题意知：A 点移动路程为AP=t ，Q 点移动路程为7(1)77t t -=-。当Q 点在OA 上时，即0772t ≤-<，917
t ≤≤时，如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴
QA AP =AB BC ，即7742t t -=，∴75t =。∵7957
>，∴此时t 值不合题意。 当Q 点在OC 上时，即2776t ≤-<，97137t ≤<时，如图2，过Q 点作QD⊥AB。 ∴AD=OQ=7（t ﹣1）﹣2=7t ﹣9。∴DP=t﹣（7t ﹣9）=9﹣6t 。若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC， ∴
QA DP =AB BC ，即29644t -=，∴43t =。∵9413737<<，∴43
t =符合题意。 当Q 点在BC 上时，即6778t ≤-≤，317715t ≤≤时，如图3，若PQ⊥AC，过Q 点作QG∥AC， 则QG⊥PG，即∠GQP=90°。∴∠QPB＞90°，这与△QPB 的内角和为180°矛盾，
此时PQ 不与AC 垂直。综上所述，当43
t =
时，有PQ⊥AC。 ②当PQ∥AC 时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴BP BQ =BA BC ，∴487(1)42t t ---=， 解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC。此时AP=2，BQ=CQ=1，∴P（2，﹣2），Q （4，﹣1）。
抛物线对称轴的解析式为x=2，当H 1为对称轴与OP 的交点时，有∠H 1OQ=∠POQ，
∴当y H ＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。作P 点关于OQ 的对称点P′，连接PP′交OQ 于点M ，
过P′作P′N 垂直于对称轴，垂足为N ，连接OP′，在Rt△OCQ 中，∵OC=4，CQ=1。
，∵S △OPQ =S 四边形ABCD ﹣S △AOP ﹣S △COQ ﹣S △QBP =3=12 ∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′∴''CQ P N =OQ PP ，∴'12P N 17= ，48PN 17=，∴P′（46141717，）， ∴直线OP′的解析式为723y x =
，∴OP′与NP 的交点H 2（2，1423
）。∴当H 1423y >时，∠HOP＞∠POQ。 综上所述，当H 2y <-或H 1423y >时，∠HOQ＞∠POQ。
14．【2012?扬州】已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，
3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是
直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
解答：(1)将A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得：
，解得：∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．
(3)抛物线的解析式为：x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：
MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝
m2－6m＋10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．
15．【2012上海】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，
ta n∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、
OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的
判定与性质；勾股定理。
解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO ∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接
EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等
角的余角相等）；在△CAG与△OCA中，，
∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在
Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：
∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：