数理方程期末考试试题

数理方程期末考试试题

2013-2014学年度第二学期数理方程(B )期末考试试题

考后回忆版本

一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =(16分)

(1)y x y x u 22=???(2)xy x

u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数(10分)

?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2

>>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。(12分)

四、用积分变换法求解下列方程。(12分)???=>+∞<

(),0()0,(,2x x u t x u u a u xx t ?五、用分离变量法求解下列方程。(15分)

????+=<=?=.

4cos 75sin 2sin |)2(,022θθθr u r u 六、用分离变量法求解下列方程。(15分)

???

?????=+===><<=).21(),0(,)(),0(.

1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。(15分)

?????=<++=++=++0|)1(,1

222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。(5分)

?????==>+∞<

cos 2),0()0,(,24x x u x x u t x u u u u t

t tt xx 提示:先对泛定方程进行变换成为一个较为简单的泛定方程,再根据初始条件进行求解。可能用到的公式:略。包括极坐标和球坐标下的Laplace 变换公式、Fourier 级数及其系数的公式、Laplace 和Fourier 所有性质和变换公式及求解过程中用到的反变换公式、勒让德方程的固有值和固有函数以及勒让德函数n=1-5时的表达式。

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题(一) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设cos z i =,则( ) A . Im 0z = B .Re z π= C .0z = D .argz π= 2.复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为( ) A .443(cos ,sin )55i ππ- B .443(cos ,sin )55i ππ- C .44 3(cos ,sin )55i ππ D .44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3.设C 为正向圆周|z|=1,则积分 ?c z dz ||等于( ) A .0 B .2πi C .2π D .-2π 4.设函数()0z f z e d ζ ζζ=?,则()f z 等于( ) A .1++z z e ze B .1-+z z e ze C .1-+-z z e ze D .1+-z z e ze 解答: 5.1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的( ) A . 3阶极点 B .4阶极点 C .5阶极点 D .6阶极点 6.下列映射中,把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为( ) A .4411z w z +=- B .44-11z w z =+ C .44z i w z i -=+ D .44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ) A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析,(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+,则(,)uxy = ( ) A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -

研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 玫[I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量,「是质量密度,h是圆锥的高(如下图所示) 【提示:已知振动过程中,在x处受力大小为ES ,S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是r1和r2,如图所示。于是,我们有 2、::u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成

2 2 ::U(X,t) 2 ::u(x,t) 2, ;u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ::[(^x)2;:U(x ,t)H-(^x)2::u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ::x h ;:t 其中a^E ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片, 它的一边y=b 处于较高温度U ,其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中,因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y),即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示:可以令u(x, y)二u 0 v(x, y),然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y),则原定解问题变为 Wl x£=0, V=0, 0cy

武大期末复习-数理方程教学指导纲要

第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容: 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题,掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点: 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法,即泛定方程和定解条件。

第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容: 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程,理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点: 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程

第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容: 1、理解分离变量法的基本概念:方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解:1)分离变量得到 的两个方程;2)由本征值问题确定相应的本征值和本征函数;3)确定关于)(t T方程的解(或者与其对应变量方程的解);4)定解问题的通解;5)由定解条件确定待定系数(通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法)。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程:1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定;2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开;3)求解关于)(t T 方程的解;4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点: ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化

数理方程期末考试试题

2013-2014学年度第二学期数理方程(B )期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =(16分) (1)y x y x u 22=???(2)xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数(10分) ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。(12分) 四、用积分变换法求解下列方程。(12分)???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。(15分) ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。(5分) ?????==>+∞<

概率统计期末考试试题附答案

中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ).

研究生数理方程期末试题10111A答案

《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院 专业 学号 姓名 1、 (10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 其中E 是圆锥体的杨氏模量,ρ是质量密度,h 是圆锥的高(如下图所示): 【提示:已知振动过程中,在x 处受力大小为u ES x ??,S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是1r 和2r ,如图所示。于是,我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片,它的一边y b =处于较高温度U ,其它三边0y =, 0x =和x a =则处于冷却介质中,因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ,即求解以下定解问题: 【提示:可以令0(,)(,)u x y u v x y =+,然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+,则原定解问题变为 分离变量:

代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件: 可以判定,特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件,有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 (20分)试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分,得 也即 对y 求积分,得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =,于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中,即得 4、 (20分)用积分变换法及性质,求解无界弦的自由振动问题: 【提示:可利用逆Fourier 积分变换公式:11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-?

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学(2009—2010学年第一学期) 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ; 三角形式为:)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?). 4. 给出矢量场旋度的散度值,即=????f ? 0 . 5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线

于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分,共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数

数理方程试卷

南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试 课程名称:数 理 方 程 闭 卷 A (B )卷 分钟 一、 解答题(共40 分) 1、 当n 为正整数时,讨论()n J x 的收敛范围。(5分) 2、解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为: 0t u x ==, 0x u x =?=?, 0x l u x =?=? (10分)

3、有一均匀杆,只要杆中任一小段有纵向位移或速度,必导致邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去,就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。(10分) 4、写出01(),(),()n J x J x J x (n 是正整数)的级数表示式的前5项。(15分)

二、计算题(共60分) 1、求方程:22,1,0u x y x y x y ?=>>??, 满足边界条件: 2 0y u x ==,1cos x u y ==的解。 (10分) 2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程: (,0)0,0u x x l =≤≤; (,0) (),0u x x l x x l t ?=-≤≤?; (0,)(,)0,0u t u l t t ==> (15分)

3、试确定下列定解问题: 2 2200(),0,0,,,0, (),0x x l t u u a f x x l t t x u A u B t u g x x l ===???=+<<>????? ==>?? =≤≤??? (15分) 解的一般形式。

4、(20分)求下列柯西问题: 22222200 2 80,0,3,0,y y u u u y x x x y y u u x x y ==????+-=>-∞<<+∞?????? ? ??==-∞<<+∞??? 的解。 (20分)

数理方程与特殊函数试卷(10-11-2A)

5,波动方程初值问题:()()??? ????=??=>+∞<<-∞??=??==,,,0,,10002 222x t u x u t x x u t u t t ??在t x -平面上,点()1,0在初始轴 0=t 上的依赖区间是 ;初始轴0=t 上点)1,0(的影响区域是 。 6,二阶线性偏微分方程()02y 314292222222=??++??+???---??x u x y u y x u y x x u ,当 时,是椭圆型方程,当 时,是双曲型方程。 7,Legendre 方程0122)1(2 22 =+--y dx dy x dx y d x 的通解()()x Q C x P C y 21+=,则第一类 Legendre 函数()=x P ;其Rodrigues 表达式为 ; 而第二类Legendre 函数()x Q 在闭区间[]1,1-上是 。 8,对于Legendre 多项式()x P n 有:()()? -=1 1 dx x P x P n m ;由此可知,若函 数()x f 可以展开为()(),11,0 <<-=∑∞ =x x P C x f n n n 则=n C 。 二、(本题10分)求解初值问题:??? ????=??==??-???-??==.0,3,031320202 2222t t t u x u x u x t u t u

三、(本题20分)求解非齐次波动方程初边值问题: ? ?? ??≤≤==>==><<=--====. 0,0,sin ,0,0,0,0,0,sin 62000πππx u x u t u u t x x e u u u t t t x x t t xx tt

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷(B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3. 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为零,又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求 出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7. 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数,n 为C 的外法线方向,其方向余弦为βαcos ,cos ,则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数,在D+C 上有一阶连续偏导数,令 得到 交换u,v ,得到 上面第二式减去第一式,得到 证毕。 8. 证明关于Bessel 函数的等式:

数理方法第二章热传导方程习题答案

第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ,比热为c ,热传导系数为k ,试导出此时温度u 满足的方程。 解:引坐标系:以杆的对称轴为x 轴,此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。由假设,在任意时刻t 到t t ?+内流入 截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换,可看作一个“被动”的热源。由假设,在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??--=??--=111124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得: ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??,再令0→?x ,0→?t 得精确的关系: ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解:在扩散介质中任取一闭曲面s ,其包围的区域 为Ω,则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质,由dsdt n u D dM ??-=,其中D 为扩散系数,得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等,由奥、高公式得: ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程: ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量,称为水化热,在它浇筑后逐渐放出,放热速度和它所储藏的水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量,0Q 为初始时刻所储的热量,则Q dt dQ β-=,其中β为常数。又假设砼的比热为c ,密度为ρ,热传导系数为k ,求它在浇后温度u 满足的方程。 解: 可将水化热视为一热源。由 Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设,放热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量,因此,由原书71页,(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2

数理方程试卷A (2)

一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy …… 5分

即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换:???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ (10) 分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得

数理方程试卷及答案2

长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室(或教师)签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称(含档次) 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次(本、专) 本 科 考试方式(开、闭卷) 闭卷 一.判断题:(本题总分25分,每小题5分) 1.二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型; ( ) 2.定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性; ( ) 3.如果格林函数),(0M M G 已知,且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数,又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在,那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(; ( ) 4.设)(x P n 为n 次Legendre 多项式,则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ; ( ) 5.设)(x J n 为n 阶Bessel 函数,则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =. ( ) 二.解答题:(本题总分65分) 1.(本小题15分)设有一根长为l 的均匀细杆,它的表面是绝热的,如果它的端点温度为1),0(u t u =,2),(u t l u =,而初始温度为0T ,写出此定解问题. 2.(本小题20分)利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数. 3.(本小题15分)求出方程xy u u yy xx =+的一个特解. 第 1 页(共 2 页)

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷

电子科技大学研究生试卷 (考试时间: 14点 至 16 点 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式: (学生填写) 1.把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型,指出其 类型,求出其通解. (10分) 2. 设定解问题:(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以……………

第 1页 3. 长为l 的均匀细杆,其侧面与左端保持零度,右端绝热,杆内初始温度分布为()x ?,求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4.求下面的定解问题:(10分) 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??.

第2页 5.求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.(10分) 6. 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++,求Laplace 逆变换1 (())L F s -.(10分)

数理方程试卷

工程数学 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy ……5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-

作变换:???==x y ηξln ……7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ ……10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( ……5分 得 )] 2sin()2[sin(4 1 4cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t x t x --+-+=+-++=?+-ξ ξ t x t x 2sin cos 2 1 422++= ……10分 四. (15分)用分离变量法解定解问题

天津大学研究生课程-数理方程试题

一. 判断题(每题2分). 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式, 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解,则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二. 填空题(每题2分). 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布,当边界上温度为()t φ时,试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三.求解定解问题(12分) 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-====

四.用积分变换方法求解以下微分方程(每题12分,共24分) (1) 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= (2) 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五.某半无界弦的端点是自由的,初始位移为零,初始速度为cos x ,求弦的自由振动规律。(12分)

2008年12月南京信息工程大学数理方程期终考试试卷A(1)

南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题(共60分) 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 (“线性”或“非线性”) 非齐次 (“齐次”或“非齐次”)偏微分方程(3分); 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-(,f g 是任意二阶连续可微函数) ;(3分) 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π(3分) 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解,则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑;(3分) 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ,其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-,特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=,可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?,若要消去一阶导数项,可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=(其中,λμ待定);(5分) 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题(“初值”或“边值”),其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?;定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于

数学物理方程期末考试卷

2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人:欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由,以后受到强度为sin A t ω的力的作用,右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面;初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆,侧面绝热,一端温度为0度,另一端有已知的恒定热流进入, 设单位时间流入单位截面积的热量为q ,杆的初始温度分布是()2 x l x -,试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分): .?????????===><

222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 5、利用行波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题)(10分): ???????==??=??=+=-).()(0 022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分) ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题(10分): ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分):

数理方程期末复习

1. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ?θ?θ?=?? ??=?? ??=???? ""的形式。 (1) ()sin sin cos sin θθθ?+ (2) sin sin θ? (3) ()6cos 1sin cos θθ?+ 2. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ?θ?θ?=?? ??=?? ??=???? ""的 形式。 (1) ()3sin 2sin cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 21θ?θ?θ?????++? (2) sin cos θ? (3) ()13cos sin cos θθ?+ 3. 如图所示,长为l 的弦,两端固定,弦中张力为T ,在弦的中间点以横向力0F 把弦拉开,然后突然撤除这力,求解弦的振动。 4. 求解细杆导热问题,杆长l ,两端保持为零度,初始温度分布 ()20t u bx l x ==? 5. 在球坐标系下将三维波动方程220tt u a u ??=分离变量。其中,拉普拉斯算符在球坐标系下的形式为 22 222222 111sin sin sin u u u u r r r r r r θθθθθφ??????????=++ ?????????????

()()()()()()()()(),,,,;,. u r T t v v R r Y Y θφθφθφθφ===ΘΦr r 求出()T t ,()R r ,(),Y θφ,()θΘ,()φΦ分别满足的本征方程以及通解的形式。 6. 在柱坐标系下将三维输运方程220t u a u ??=分离变量。其中,拉普拉斯算符在柱坐标系下的形式为 222 22211u u u u r r r r r z φ???????=++???????? ()()()()()()(),,,. u r T t v v R r Z z θφφ==Φr r 求出()T t ,()R r ,()φΦ,()Z z 分别满足的本征方程以及通解的形式。 7. 在半径为0r 的球的(1)内部,(2)外部求解定解问题 2222 0, 1cos cos cos .3r r u u r θ??=??=? ??=?+??? 8. 均匀中空介质球壳,内半径为1r ,外半径为()21r r >,壳层内介电常数为ε,壳层外和中间空心部分为真空。把介质球壳放在点电荷04q πε的电场中,球心跟点电荷相距()2d r >,求解介质球壳外、介质球壳区域、和中间空心区域内的静电场中的电势。 ()0cos ,1l l l h P h θ∞ ==<∑

南京信息工程大学数理方程考试试题

南京信息工程大学数理方程考试试题A 2008年 11月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、(9分) 判断下列方程的类型 (1) 230xx xy yy u u u ++= (2) 22cos (3sin )0xx xy yy y u xu x u yu --+-= (3) 220xx yy x u y u -= 二、(20分)设二阶偏微分方程450xx xy yy u u u ++= (1) 写出特征方程,并求特征线; (2) 将偏微分方程进行化简. 三、(10分)用D ’Alembert 公式求解下列弦振动方程; 22 ,0 (,0),(,0)cos tt xx t u a u x t u x x u x x x ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞? 四、(20分)用分离变量法求解下列方程; (1) 20,0 (0,)0,(,)00 (,0),(,0)0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x l x x l ?=<<>? ==≥??==-≤≤? 五、(20分) 用Green 函数法求解下列定解问题; 00 |(,) xx yy zz z u u u z u f x y =++=>?? =? 六、(21分) (1) 写出下列定解问题的Fourier 变换之后的形式 ?? ? ??∞≤≤∞-=>∞<<∞-+=x x x u t x t x f u a u xx t )()0,(0,),(2?

(2)求出函数|| ()(0)a x f x xe a -=>的Fourier 变换 (3)求出出上述问题的形式解. 。。。。 (本卷共六大题)

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