上海2006届高三数学八校联考

上海2006届高三数学八校联考

（松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、进才、位育）

一、填空题（4′×12）： 1、不等式11->-+

x x x 的解集是 [)+∞,1 。

2、（理）设α、β是方程012

=++x x 的两根，则=++120062006βα 0 。 （文）设α、β是方程012

=++x x 的两根，则=++133βα 3 。 3、数列 ,72,71,73,72,71,73,72,71,73,72,71,73,72,71141312111098765432----

中的第2010项是 20107

3

。 4、集合{}

R a a x x x A ∈=++=,022非空，则A 中所有元素的和是 12--或 。 5、若()0,cos 21

22

≠∈=+

x R x x

x 且θ，则复数xi +θcos 2的模是 5 。 6、已知函数()11-+=

x x x f 的反函数是()x f y 1-=，则方程55421=??? ?

?

--x f 的解是 3log 2=x 。 7、已知数列{}()

*N n a n ∈是公差不为零的等差数列，设12-=n n a b ，则数列{}n b 的前n 项和n S 的表达式可以 是 ()2

121-+=

n n a a n S 。（用{}n a 中的项表示）

8、关于函数()x x x f 2arcsin =有下列命题：①()x f 的定义域是R ；②()x f 是偶函数；③()x f 在定义域内是增函数；④()x f 的最大值是

4

π

，最小值是0。其中正确的命题是 ②④ 。（写出你所认为正确的所有命题序号） 9、走廊上有一排照明灯共10盏，为了节约用电，要关掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两

盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是 65

。 ???

? ?

?-=3

103

61C C p 10、（理）设函数()x f 的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数()x f 在[]b a ,上的面积。已知函数nx y sin =在??????n π,

0上的面积为()*

2N n n ∈，则函数13cos +=x y 在??

????65,0π上的面积为 625+π 。 （文）设函数()x f 的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数()x f 在[]b a ,上的面积。已知函数nx y sin =在??????n π,

0上的面积为()*2N n n ∈，则函数x y 3cos =在??

????65,0π上的面积为 35 。 11、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的

()

*1

N k k

∈。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁

钉长度是钉长的74，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 ???????≥++<+1

747474174742

k k k

。

12、（理）已知{}

N x x x P ∈≤≤=,91，记()cd ab d c b a f -=,,,，（其中P d c b a ∈,,,），例如：()=4,3,2,1f 104321-=?-?=。设P y x v u ∈,,,，且满足()()66,,,39,,,==v x y u f y x v u f 和，则有序数组()y x v u ,,,

是 ()9,1,6,8 。 ()()()()???

?

?????=+=-=-=+???

?=+-=-+15,73,910527v y x u v y x u v y x u v y x u

（文）在ABC ?中，ABC b A ?=?=∠,1,60的面积为

2

3

，则C B A c b a sin sin sin ++++的值为 2 。

二、选择题（4′×4）：

13、设A 、B 是两个集合，对于B A ?，下列说法正确的是 （ D ） A ．存在A x ∈0，使B x ∈0 B ．A B ?一定不成立 C ．B 不可能为空集 D ．A x ∈0是B x ∈0的充分条件 14、（理）若2

2

π

βαπ

<

<<-

，则βα-一定不属于的区间是 ( C )

A ．()ππ,-

B ．??

?

??-2,2ππ C ．()π,0 D ． ()0,π- （文）若2

2

π

βαπ

<

<<-

，则βα-一定不属于的区间是 ( D )

A ．()ππ,-

B ．??

?

??-

2,2ππ C ．()0,π- D ．()π,0 15、（理）满足不等式()()

*1221223log log N n n x x n ∈-≥-?+-的正整数x 的个数记为n a ，{}n a 的前n 项和记 为n S ，则n S = （ A ）

A ．12-+n n

B ．12-n

C ．12+n

D ．12--n n

（文）已知等比数列{}n x 的公比是不为1的正数，数列{}n y 满足()1,02log ≠>=?a a a y n x n ，当154=y ， 97=y 时，数列{}n y 的前k 项和最大，则k 的值为 （ C ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 ()n y n 223-=

16、已知函数()22-=x

x f ，则函数()

x f y =的图像可能是 （ A ）

二、解答题（本大题满分86分，共6题）： 17、（12′=9′+3′）（理）设P 表示幂函数6

52

+-=c c

x y 在()+∞,0上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式

121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立的c 的集合。（1）求Q P ?；（2）试写出一个解集为Q P ?的不等式。

（文）设P 表示幂函数8

62

+-=c c

x y 在()+∞,0上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式c x x ≥-+-41对任

意R x ∈恒成立的c 的集合。（1）求Q P ?；（2）试写出一个解集为Q P ?的不等式。 解：（理）（1）∵幂函数6

52+-=c c x

y 在()+∞,0上是增函数，∴0652

>+-c c ，即()()+∞?∞-=,32,P ，

又不等式121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立，∴112>-c ，即()()+∞?∞-=,10,Q ， ∴()()()+∞??∞-=?,32,10,Q P 。

（2）一个解集为Q P ?的不等式可以是 ()()()0321>---x x x x 。 （文）（1）∵幂函数8

62

+-=c c

x y 在()+∞,0上是增函数，∴0862

>+-c c ，即()()+∞?∞-=,42,P ，

又不等式c x x ≥-+-41对任意R x ∈恒成立，∴3≤c ，即(]3,∞-=Q ， ∴(]()+∞?∞-=?,43,Q P 。 （2）一个解集为Q P ?的不等式可以是

04

3

≥--x x 。 18、（12′=6′+6′）已知复数i a a a a a z 4

15

262

22

--++--=， （1）当()2,2-∈a 时，求i a a a z 4

15

222--+-

的取值范围； （2）（理）是否存在实数a ，使得02

解：（1）∵()2,2-∈a ，∴??

? ??∈+??? ??--=++-=--=--+-425,0425216641522

2

22

2a a a a a i a a a z 。 （2）（理）∵02

()()Φ∈??????≠+-+-=--+=+-=--a a a a a a a a a a a a 022534

1520

2362

22 （文）∵z z -=，∴0Re =z ，∴23062

-==?=--a a a a 或（舍去）3=?a 。

19、（14′=9′+5′）已知*,0N n a n ∈≥，关于x 的一元二次方程012=--x a x n 的两实数根n α、n β满足 n α>

n β，且n n n a a βα-==+11,0，

（1）求数列{}n α和{}n β的通项公式；（2）求n

n

n αβββ+++∞→ 21lim 的值。

解：（1）∵n α>

n β，且n n n a a βα-==+11,0，

∴()444,1,2

21221=-?+=-+=

-=-==+++n n n n

n n n n n n n n n n n a a a a a βαβαβαβαβα，

∴{}2

n

a 是一个以0为首项，4为公差的等差数列。∴()12142-=?-=n a n a

n n

，

∴n n n n n

n n n n n n n --=-+=??????=--=+1,121

2βαβαβα 。

（2）n n n αβββ+++∞→ 21lim

21

1

lim 1132211lim -=-+-=-+--++-+-+-=∞→∞→n n n n n n n n n 。

20、（16′=4′+12′）已知函数()??

?

??-∈-=2,2,sin 1cos 2ππx x x x f ，

（1）在右侧坐标系中作出函数的草图；

（2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明。

解：（1）()???

???

????

??-∈-??

????∈+=-=0,2,sin 12,0,sin 1sin 1cos 2ππx x x x x x x f ， （2）()x f 的值域为[)2,1。

∵()()()()x f x

x

x x x f =-=---=-sin 1cos sin 1cos 22，∴()x f 是偶函数。

任取2

021π

<

<≤x x ，则21sin 1sin 1x x +<+，即()()21x f x f <，∴()x f 在??

?

???2,

0π上是增函数， 又()x f 是偶函数，∴()x f 在??

?

??-

0,2π上是减函数。 21、（14′=8′+6′）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置。从海岸放归点A 处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站B 处对鲸进行生活习性的详细观测。已知km AB 15=，观测站B 的观测半径为km 5。

（Ⅰ）根据表中数据：①计算鲸沿海岸线方向运动的速度，②写出a 、b 满足的关系式并画出鲸的运动路线简图； （Ⅱ）若鲸继续以（Ⅰ）中②的运动路线运动，则鲸大约经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站B 的观测范围（精确到1分钟）？

解：（Ⅰ）由表中数据知：①鲸沿海岸线方向运行的速度为

10

1

（km/分钟），②a 、b 满足的关系式为a b =， 鲸的运动路线图如图1：

（Ⅱ）如图2，设鲸所在的位置为点P ，点P 位于点C 的正北方向bkm ，点C 位于点A 的正东方向akm 由（Ⅰ）知a b =

。

又km AB 15=，依题意，当鲸到观测站B 的距离不大于5时进入观测站B 的观测范围，∴()5152

2≤+-b a ，

∴()25152

≤+-a a ，即 0200292

≤+-a a ， ∴7.173.11≤≤a 。

故鲸从A 点进入前方观测站B 所用的时间大约为

11310

13

.11=（分钟）。 答：鲸大约经过113分钟进入B 站的观测范围。 22、（18′=4′+8′+6′）（理）已知

()()a x x x a x f ,2,2,2

13

2-∈-

=为正常数。 （1）可以证明：定理“若a 、+

∈R b ，则

ab b

a ≥+2

（当且仅当b a =时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（2）若()0>x f 在()2,0上恒成立，且函数()x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测()x f y =的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设1x x =时，()x f 取得最大值。试构造一个定义在

{}

N k k x x x D ∈-≠->=,24,2且上的函数()x g ，使当()2,2-∈x 时，()()x f x g =，当D x ∈时，()x g 取得最大值的自变量的值构成以1x 为首项的等差数列。 解：（1）若a 、b 、+

∈R c ，则3

3

abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）。 （2）()021212232

>??? ?

?

-=-

=x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，即2221x a >在()2,0上恒成立，

∵

()2,02

12

∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， 又∵()[]

323

22222222222

32321212121???

? ??=?????

?

????????? ??-+??? ??-+≤??? ??-??? ??-=a x a x a x x a

x a x x f

∴22

221x a x -

=，即a x 3

6=时，262646362919623

3

3max >????

? ??==>?>=a a a f ， 又∵a x 3

6

=

()2,0∈，∴()6,0∈a 。 综上，得[)

6,2∈a 。 易知，()x f 是奇函数，∵a x 36=

时，函数有最大值，∴a x 3

6-=时，函数有最小值。 故猜测：??????????? ??--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；??

?

???-∈a a x 36,36时，()x f 单调递增。 （3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。

如对()N k k k x ∈+-∈,24,24，()2,24-∈-k x ，此时()()()k x f k x g x g 44-=-=， 即 ()()()()N k k k x k x k x a

x g ∈+-∈---=,24,24,42

1432

。

（文）已知函数()x b b ax x f 22242-+-=，()()2

1a x x g ---=，()R b a ∈, （Ⅰ）当0=b 时，若()x f 在[)+∞,2上单调递增，求a 的取值范围；

（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对()b a ,：当a 是整数时，存在0x ，使得()0x f 是()x f 的最大值，()0x g 是()x g 的最小值；

（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对()b a ,，试构造一个定义在{2|->=x x D ，且}N k k x ∈-≠,22上的函数()x h ，使当()0,2-∈x 时，()()x f x h =，当D x ∈时，()x h 取得最大值的自变量的值构成以0x 为首项的等差数列。

解：（Ⅰ）当0=b 时，()x ax x f 42

-=，

若0=a ，()x x f 4-=，则()x f 在[)+∞,2上单调递减，不符题意。

故0≠a ，要使()x f 在[)+∞,2上单调递增，必须满足?????≤>2240a

a

，∴1≥a 。

（Ⅱ）若0=a ，()x b b x f 2242-+-=，则()x f 无最大值，故0≠a ，∴()x f 为二次函数，

要使()x f 有最大值，必须满足??

?

≥-+<0

2402

b b a ，即0

b b x x 2

024-+=

=时，()x f 有最大值。

又()x g 取最小值时，a x x ==0，依题意，有Z a a

b b ∈=-+224，则()2

221524--=-+=b b b a ，

∵0

∴满足条件的实数对()b a ,是()()3,1,1,1---。

（Ⅲ）当实数对()b a ,是()()3,1,1,1---时，()x x x f 22--=

依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对()k k x 2,22-∈，()0,22,-∈-∈k x N k ，

此时，()()()()()k x k x k x f k x h x h 222222

----=-=-=，

故()()()()N k k k x k x k x x h ∈-∈----=,2,22,2222

。