初中数学笔试题1

力邦教育教师招聘笔试试卷1（初中数学）

（全卷满分： 150分；答卷时间：120分钟）

一.选择题：（本大题有7小题，每小题3分，共21分） 1. △ABC 中，∠A 的正弦记作（ ）

A ．sinA

B ． cosA

C ．tanA

D ．cotA 2.下列计算正确的是（ ）

Ａ．2(3)3-=- Ｂ．32221-= Ｃ．2464÷= Ｄ．263

2

=? 3.下面的一元二次方程中，常数项为5的方程是（ ）

A ．52

x -3x+1=0 B ．32

x +5x+1=0 C ．32

x -x+5=0 D ．32

x -x=5 4.若二次根式

1x -有意义，那么 x 的取值范围是（ ）

A ．x ＜1

B ．x ＞1

C ．x ≥1

D ．x ≠1

5.如果梯形的中位线的长是6cm ，上底长是4cm ，那么下底长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm

6. 某种品牌的产品共100件，其中有5件次品，小勇从中任取一件，则小勇取到次品的概率是（ ） A ．0.5 B ．0.05 C ．0.95 D ．0.095

7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，

若AE=4， EC=2，则AD ︰DB 的值为 （ ）

A ．21

B ．23

C ．3

2

D ．2

二.填空题（本大题有10小题，每题4分，共40分）

8. 计算 )12)(12(-+= .

9. 在下面横线上写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程 . 10. 当x>l 时，化简2

)1(x -=_____________．

11. x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2.

12. 已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2

－4=0有一个解是0，则m 的值是 . 13.如图，要使△AEF ∽△ACB ，已具备的条件是 ， 还需补充的条件可以是 .（只需写出一种） 14．在比例尺为1∶1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是 _________米． 15．已知，

2:1=b a ，则b

a a +的值为 . 16. 若关于x 的方程x 2

+5x+k=0有实数根，则k 的取值范围是______.

E D C

B

A （第7题）

F

E

C B

A

（第13题）

17.

如图，已知O 是坐标原点，点A 、B 分别在x 、y 轴上，OA=1，OB=2,

若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D

有 个，其坐标分别是 . 三.解答题（本大题有9小题，共89分） 18. (本题满分8分)计算251694

x

x x +-

19. (本题满分9分)解方程：2

3410x x -+=

20． (本题满分10分)小李拿到四张大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，他将标有数

字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张. （1）用画树状图的方法，列出小李这两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； （2）计算小李抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？ 21. (本题满分10分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图上标出位似中心点0的位置；

(2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是 ； (3)若点A 在直角坐标系中的坐标是（-6，0），

写出下面三个点的坐标.

点A ′的坐标是 . 点B 的坐标是 . 点B ′的坐标是 .

22. (本题满分10分)如图, △ABC 中,∠A=30°, tanB=2

3, AC=32,

C

（第21题）

y

x

O B

A

（第17题）

求AB.

23. (本题满分10分)从正方形的铁片上，截去2cm 宽的一个矩形，余下的矩形面积是48cm 2，求原来

的正方形铁片的边长.

24. (本题满分10分)如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB =90°，BC =2AD ，对角线AC 与BD 相交于点P ，且AC ⊥BD ，过点P 作PE ∥BC 交AB 于点E .

（1）已知△ APD 的面积为1，求△ BPC 的面积. （2）求证： DP BP BE ?=2

25．(本题满分10分)如图,边长为1的正方形格纸中，△ABC 是一个格点三角形．．．．．（在方格纸中，小正方形的顶点称格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．．．．．

）. (1)在图（1）的方格纸中，画出一个与△ABC 相似但不全等的△A ′B ′C ′；

E

C

D

P

B

A （第24题）

（2）在图（2）中，以线段EF 为边画格点三角形．．．．．，其中能够与△ABC 相似的有 个（不要证明） （3）在图（2）的方格纸中，以线段EF 为边，画出一个与△ABC 相似的格点三角形．．．．．EFM ，

并证明.

26. (本题满分12分) 已知，如图：在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，△ ABC 的三个顶点坐标分别是A

（第25题图2） B

A C

E

F （第25题图1） B

A C

（1，23），B （-3，0），C(3,0)，直线AC 与反比例函数y = k

x 在第一象限内的图象相交于A,M 两点.

（1） 求反比例函数y = k

x 的解析式；

（2） 连结BM 交AO 于点N ，求证：N 是△ABC 的重心；

（3） 在直线AC 上是否存在一点P 使△ BPO 的周长L 取得最小值，若存在，求出L 的最小值并证明；

若不存在，请说明理由.

y

x

N

M O

C

B

A

（第26题）

参考答案与评分标准

一、选择题 (21分) 1.A 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. C 二、填空题：（40分）8．1, 9. 略 10. x-1， 11. 16 ，4 （各2分） 12. -2，13. ∠AEF= ∠ACB, （2分）如∠AEF=∠C （2分） 14. 30000米，15. 3

1 ，

16.4

25

≤

k （缺等号给3分）， 17. 6个（1分）， （0，-2），（1，-2），（0，21-）,(1, 21-)，(51,52-), (54,5

2

-)每对两个坐标给1分;

三.解答题（本大题有9小题，共89分）

18. (满分8分)=5432

x x x +- …………………………6分（每个根式对给2分）

=x 2

7 …………………………8分

19. (满分9分)解：(4)4

23

426

x --±=

?±=

…………………………5分 （公式列对给5分，△=4对单独给2分，分母2?3对单独给2分，(4)--对单独给1分） 得121

,13

x x =

= …………………………9分（每对一根给2分）

20. (满分10分)解：（1）

……5分（画对第一次给2分，画对第二次给3分），（2）P （积为奇数）=6

1

………10分 21. (满分10分) (1)位似中心点O ……3分 （画对中心给2分，标出点O 给1分） (2)△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是

2

1

；………6分 (3)A ′ (-12, 0), B (-3, 2), B ′ (-6, 4) ……10分 （每对1个坐标给1分，全对给4分）

22．(满分10分)解：过C 作CE ⊥AB 于E ………………1分

∵∠A=30 °

CE=1

2AC= 3 …………………………3分

12

341234

1

2

3412

3

4第一次

第二次

（第21题）

．

O

∴AE=CE

tan30°

=

333

=3 …………………………5分

∵tanB=CE BE =3

2 …………………………7分 ∴

332

BE = BE=2 …………………………9分 ∴AB=AE+BE=3+2=5 …………………………10分

23.解：(满分10分)设原正方形的边长为xcm, …………………………1分 依题意得：2x+48=x 2 …………………………5分

解得：x=8或x=-6…………………………8分（每对1个根给2分，满分3分） x=-6不符合题意舍去…………………………9分

答:原来的正方形铁片的边长是8厘米. …………………………10分 24．(满分10分) (1) ∵AD ∥BC ，∴∠ ADP=∠ CBP, ∠ DAP=∠ BCP

△ADP ∽△CBP ………………………………………2分

BC =2AD ，

1

2

AD BC =, 211

()24APD CPB S S ??==,………………………………………4分 4414CPB APD S S ??==?=………………………………………5分

（2）过A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，

∵AD ∥BC ∠DCB=90°∴四边形AMCD 是矩形…………6分 BC=2AD ∴AD=MC=BM ∴AM 是线段BC 的垂直平分线 ∴AB=AC ……………………………7分

又EP ∥BC ∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE ∴AE=AP, ∴EB=PC ……………………………8分 又AC ⊥BD ，∠BPC=CPD=90°，

∠DCB =90°，∴∠BCP=∠PDC, △BCP ∽△C PD ……………………9分

PC

DP BP PC =, ∴DP BP PC ?=2 ∴DP BP BE ?=2……………………10分

25. (满分10分) (1)图形正确…………………………3分（图略，画全等不给分） （2）4个 ………………… 5分(答1，2，3，均不给分）（分析，若三角形EFM 要与△ABC 相似，只能有一个

C

A

B

E （第22题）

E

C

D

P

B

A

M

角是135°，若∠M 为135°，则EF 是最长边，不可能画出格点三角形，所以只能是∠FEM 或∠EFM 是135°， 所以FM 是最长边或EM 是最长边，∠FEM=135°时，若EF 是最短边时，

2

122

EM =，EM=4, 只可以画出两个格点三角形。（若EF 是次长边时，

2

122

EM =

，12EM =,不可能画出格点三角形。）同理当∠EFM 是135°时，FM=4. 又只可以画出两个格点三角形。 所以共可以画出4个格点三角形。或根据对称性亦可知共可以

画出4个格点三角形。）

（3）画出一个格点三角形……………………… 7分

证明：∵ △ABC 的三边长是AC=1,BC=22,AB=13 …………………………8分 所画的三角形EFM 的三边分别是2,4, 26…………………………9分 ∵

122132

42226

===

,∴ 两个三角形的三边对应成比例，

△ABC ∽△EFM ……………10分

26. (满分12分) （1）点A 在y =k x 的图象上，∴23=k

1

k=2 3 ………………………2分

∴y = 23

x

（2）设经过A 、C 的直线的表达式为y =k 1x+b 由A （1，23），C(3,0)，

??

?=+=+0

33

211b k b k 33,31=-=b k …………………………………………………4分(各1分) ∴经过AC 的直线的表达式为y =-3x+33

∵直线AC 与y =k

x

的图象交点为M ，且k=23，

∴直线y =-3x+33与双曲线y =

23

x

在M 点的纵坐标相等，

∴23x

=-3x+33，………………………………………………………………………5分

解得：x=1或x=2,经检验都是原方程的根

∴A （1，23）和M （2，3）…………………………………………………………………………6分 过A 作垂线段AD ⊥BC ，垂足为D ，则D （1，0）∴DC=2 过M 作垂线段ME ⊥BC ，垂足为E ，则E （2，0）∴EC=1

易证△CME ∽CAD ∴CE CD =CM CA =12 ∴CM=1

2

CA ， M 是AC 中点,BM 是△ABC 的 中线

又B （-3,0），C(3,0)，∴O 是BC 中点，AO 是△ABC 的 中线,∴N 是△ABC 的 重心……7分

（3）过O 作直线AC 的对称点O ＇,连接BO ＇交AC 于P,

连接BP,PO,则△BPO 周长最小. …………………………………………………………………………9分 证明：∵O 和O ＇关于直线AC 对称，∴PO=PO ＇∴BP+OP=BO ＇ 在直线AC 上任取异于P 的点P ＇，连接BP ＇,OP ＇, P ＇O ＇,

则B P ＇+O P ＇=B P ＇+ P ＇O ＇＞BO ＇, …………………………………………………………………10分 ∴BO ＇是BP+OP 的最小值.又BO 是定值， ∴此时△BPO 周长L 最小.

O 、O ＇关于直线AC 对称，∴△CPO ≌△CPO ＇ OC=CO ＇=3, 又AD=23, DC=2, ∴tan ∠ACD=AD DC =23

2

=3,

∴∠ACD=60°,∴∠PCO ＇=∠ACD=60°, ∴CQ=1.5 , QO ＇=3

2 3

又BQ=BC+CQ=6+32=71

2

∴7

3)323

()215('22=+=BO ………12分

Q

P'O'

E D P

B O

C x

M

N

A y