45==B A C B A ==
（2）边判别： 少用 少用 2
2
2
c b a =+ c b a ≠= ???==+b
a c
b a 2
22 c b a ==
◆考点剖析
（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用
例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.
例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，
交AC 于N ，求22
11
OM ON +的最大值和最小值．
变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=222,且， （１）求∠Ａ的大小； （２）求c
B
b sin 的值
变式2、在ΔABC 中，已知6
6
cos ,364=
=
B AB ，A
C 边上的中线BD=5，求sinA 的值
变式3、在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
510sin ,sin 510
A B =
= （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。
（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用
例3、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
变式4、△ABC 中的三c b a ,,和面积Ｓ满足Ｓ＝2
2)(b a c --，且2=+b a ，求面积Ｓ的最大值。
例4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
7,5,2
7
2cos 2sin 42
==+=-+c b a C B A ． （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．
变式5、已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积
例5、（2009浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25
cos
25
A =
，3AB AC ?=．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
变式6、已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.
(1) 求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的取值范围.
（三）考查三角形形状的判断
例6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为
3
1。 （1） 判断△ABC 的形状； （2） 求△ABC 的面积。
变式7、在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状；
(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。
例7、在△ABC 中，已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
变式8、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c
2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
变式9、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状。
（四）考查应用：求角度、求距离、求高度
例8、在湖面上高h 处，测得云彩仰角为α，而湖中云彩影的俯角为β，求云彩高.
变式12、如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取
A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14A
B km =，60BDA ?∠= ，135BCD ?∠=，求两景点B 与
C 的距离（假设,,,A B C
D 在同一平面内，测量结果保留整
数；参考数据：2 1.414,
3 1.732,5 2.236===）
◆课后强化
1．在△ABC 中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( )
Ａ.222＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜
2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（
2
1
，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c
1
)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a
5、在△ABC 中，已知)(22
22444b a c c b a +=++则角Ｃ＝（ ） Ａ．0
30 Ｂ．0
60 Ｃ．0
13545或 Ｄ．0
120 6、△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量
(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23
π
8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定
9．已知△ABC 中，)sin()(2
2B A b a -+＝（22b a -）C sin 成立的条件是（ ）
Ａ．b a = Ｂ．0
90=∠C
Ｃ．b a =且090=∠C Ｄ．b a =或0
90=∠C
10、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A ．
7
150
分钟 B ．
7
15
分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟
11．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β（α＞β）则A 点离地面的高AB 等于（ ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ．
)cos(cos cos βαβ
α-a
12、已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ?<，15
4
ABC S ?=
，3,5a b ==，则BAC ∠=（ ）
A.． 30 B ．150- C ．0150 D ． 30或0
150
13．在ABC ?中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A = A
13 B 12 C 3
4
D 0 14、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则
A ．和都是锐角三角形
B ．和
都是钝角三角形
C ．是钝角三角形， 是锐角三角形
D ．是锐角三角形，
是钝角三角形
15. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 16、如果
b
a
B A =--cos 1cos 1，那么△AB
C 是
17．已知锐角三角形的边长为1、3、a ，则a 的取值范围是_________
18、（2009湖南）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ， AC 的取值范围为 .
19．如图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑
物顶端C 对于山坡的斜度为15?，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45?，假设建筑物高50m ，设山对于地平面的斜度θ，则cos θ= .
20、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =
4
1（a 2+b 2－c 2
），则∠C 的度数是_______
21．在△ABC 中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC ＝４，求2
sin B
的值．
22．在△ABC 中，,,,c b a 分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若060,2+==A B a b ,求Ａ的值．
23、在锐角三角形ABC 中，A=2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，试求b
a
的范围。
24、在△ABC 中，3
,2π
=-=+C A b c a ，求sinB 的值。
25、在25
45,10,cos 5
ABC B AC C ?∠=?==
中，, （1）求BC (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
26．已知锐角三角形ABC 中，边b a 、为方程02322
=+-x x 的两根,角A 、B 满足
03)sin(2=-+B A ，求角C 、边c 及Ｓ△ABC 。
27．在ABC ?中，已知内角3
A π
=
，边23BC =.设内角B x =,周长为y .
(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
28、ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。
29、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
30、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足
B
C
A B C sin sin sin 2cos cos -=. (1) 求角B 和边b 的大小； (2) 求△ABC 的面积的最大值。
31、（2005湖北）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.
32、已知△ABC 中，22（sin 2
A －sin 2
C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.
（1）求∠C ；
（2）求△ABC 面积的最大值.
33、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边c=7
2 ，且tanA+tanB= 3
tanA ·tanB － 3 ，又△ABC 的面积为S △ABC =33
2
，求a+b 的值。
◆详细解析
例1、解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴C
c
C a sin 2sin = ∴C c a sin 2= 又8=+c a ∴ c
c
cocC 28-= ①
由余弦定理，得
C
C c C
ab b a c 2
22222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②
入②，得 )(4
4
524516舍或???==??????
?==a c a c ∴5165
24==
c a ，
例2、【解】由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3
3
AO a =
， 6
MAO NAO π
∠=∠=
，设MOA α∠=，则
23
3π
πα≤≤
， 在AOM ?中，由正弦定理得：
sin sin[()]
6
OM
OA
MAO ππα=
∠-+， ∴36
sin()6a OM π
α=
+，在AON ?中，由正弦定理得：36
sin()
6
a ON π
α=
-，
∴2211OM ON +22
212[sin ()sin ()]66
a ππαα=++-22
121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14
α≤≤，故当2πα=时2211
OM ON +取得最大值218a ，
所以，当α=2,33or ππ时2
3sin 4α=，此时22
11OM ON
+取得最小值215a ． 变式1、解（１）∵bc ac c a ac b -=-=222,∴bc a c b =-+2
22
在△ABC 中，由余弦定理得
2
1
22cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠Ａ＝060
（２）在△ABC 中，由正弦定理得a
b B 0
60sin sin =
∵0
260,=∠=A ac b ∴2
360sin 60sin sin 002=
==ca b c B b 变式2、解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且3
6
221==
AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：
BED ED BE ED BE BD cos 2222?-+=，
x x 6
6
36223852??++=，解得1=x ，37-=x （舍去）
故BC=2，从而328cos 22
22=?-+=B BC AB BC AB AC ，即3
212=AC
又630sin =B ，故6
30
3212sin 2=A ，1470
sin =A 变式3、解（I ）∵A B 、为锐角，510
sin ,sin 510
A B ==
∴ 2
225310
cos 1sin ,cos 1sin 510
A A
B B =-=
=-=
253105102
cos()cos cos sin sin .5105102
A B A B A B +=-=
?-?= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34C π=，∴ 2
sin 2
C = 由
sin sin sin a b c
A B C
==得5102a b c ==，即2,5a b c b == 又∵ 21a b -=- ∴
221b b -=- ∴ 1b =
∴ 2,5
a c ==
例3、解：设AOB α∠=，在△AOB 中，由余弦定理得：
222
2c o s A B O A O B O A O B A O B =+-
??∠ 22
12212cos 54cos αα=+-???=- 于是，四边形OACB 的面积为
S=S △AOB + S △ABC 213sin 24
OA OB AB α=?+ 13
21sin (54cos )24
αα=???+-
5353
s i n 3c o s 2s i n ()434πααα=-+=-+
因为0απ<<，所以当32ππα-=，56πα=，即56
AOB π
∠=时，
四边形OACB 面积最大．
变式4、解∵ab b a c b a c 2)(22222+--=--)(2222c b a ab -+-=
由余弦定理,得C ab c b a cos 2222=-+∴)cos 1(2)(22C ab b a c -=--
B ac S sin 21
=
∴)cos 1(sin C C -= ∵1cos sin 22=+C C
∴015cos 32cos 172=+-C C
舍去）或(1cos 1715
cos ==
C C ∴178sin =C ∴)2(174
174sin 21a a ab C ac S -==
= 17
4)1(1742+--=a
∵,2=+b a ∴0＜a ＜2
∴当2,1==b a 时，Ｓmax =
174
例4、解：（1）由2
7
2cos 2cos 4,272cos 2sin 422
C C C B A -=-+得 ∴ 4cos 2
C －4cosC ＋１＝０
解得 2
1
cos =C ∵0°＜C ＜180°,∴C =60° ∴ C ＝60°
（2）由余弦定理得C 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即 7＝a 2＋b 2－ab ①
又a ＋b ＝5 ∴a 2＋b 2＋2ab ＝25 ②
由①②得ab ＝6 ∴ S △ABC ＝2
3
3sin 21=C ab
变式5、解：如图，连结ＢＤ，则四边形面积
Ｓ＝Ｓ△ABD +Ｓ△BCD =
C C
D BC A AD AB sin 2
1
sin 21??+?? ∵A+C=1800 ∴sin Ａ= sin C
∴Ｓ＝
A CD BC AD A
B sin )(2
1
?+?=16 sin Ａ 由余弦定理,知在△ABC 中，
A A BD cos 1620cos 42242222-=??-+=
在△CDB 中,C BD cos 48522
-=∴C A cos 4852cos 1620-=-
又A C cos cos -=,2
1
cos -=A ∴Ａ＝1200
∴Ｓ＝16sin Ａ＝38
例5、解 （1）因为25cos
25
A =
，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ?∴==
（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=
变式6、解：（1）由0m n ?=得()()()0a c a c b b a +-+-=2
2
2
a b c ab ?+-=
由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-=
== ∵0C π<< ∴3
C π
=
(2)∵3C π= ∴23
A B π
+=
∴sin sin A B +=2sin sin()3A A π+-22sin sin cos cos sin 33
A A A ππ=+- 33sin cos 22A A =+313(sin cos )22
A A =+ 3sin()6
A π
=+
∵203A π<< ∴5666
A πππ
<+<
∴1sin()126A π<+≤ ∴33sin()326A π<+≤ 即3sin sin 32
A B <+≤.
例6、解：（1） b=acosC ，∴由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）
B=)(C A +-π,
∴ sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC ，
∴cosAsinC=0,又A ，C ),0(π∈∴cosA=0，A=2
π，∴△ABC 是直角三角形。
（2） △ABC 的最大边长为12，由（1）知斜边a =12，又 △ABC 最小角的正弦值为
31，∴Rt △ABC 的最短直角边为123
1
?=4，另一条直角边为28 ∴S △ABC =2842
1??=162
变式7、解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+
可得12
sin 22=C 0c o s =∴C 即C ＝90°
∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形
（2）内切圆半径 ()c b a r -+=
21
()1sin sin 2
1
-+=B A
2
1
221
4sin 22-≤
-??? ?
?+=πA ∴内切圆半径的取值范围是???
?
??-212,
例7、解：由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，
sin 2c
C R =。
所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R
=?，即：2
a bc =。 又已知2a
b
c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2
()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。 所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。
变式8、变式8、解析：∵cos 2B
2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝a
c
，
∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a
c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，
∴△ABC 为直角三角形．答案：B
例8、解：C 、C '关于点B 对称，设云高CE = x 则CD = x - h ，C’D = x + h ，
在Rt △ACD 中，α-=α=
tan tan h
x CD AD 在Rt △AC’D 中，β
βtan tan 'h
x D C AD +==, ∴β+=α-tan tan h x h x 解得 )
s i n ()
s i n (t a n t a n t a n t a n αβαβαβαβ-+?=-+?=h h x . 变式9、解：由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
===得：sin 2a A R =，
sin 2b
B R
=，
sin 2c C R =。所以由
2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R
=?，即：2a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=，
因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。 所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。
变式11、解法一：由已知可得在?ACD 中，
AC=BC=30， AD=DC=103， ∠ADC =180?-4θ，∴θ2sin 3
10=)
4180sin(30θ-? 。 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ ∴cos2θ=
2
3
,得 2θ=30? ∴θ=15?， ∴在Rt ?ADE 中，AE=ADsin60?=15 答：所求角θ为15?，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h
在 Rt ?ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302 在 Rt ?ADE 中,x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15 ∴在 Rt ?ACE 中,tan2θ=
x
h +310=
3
3 ∴2θ=30?,θ=15? 答：所求角θ为15?，建筑物高度为15m
例9、解：在ACD ?中，由已知可得，30CAD ∠=
所以，3AC km =………
在BCD ?中，由已知可得，60CBD ∠=
62
sin 75sin(4530)4
+=+=
由正弦定理，3sin 7562
sin 602
BC +==
62
cos75cos(4530)4-=+=
在ABC ?中，由余弦定理 222
cos AB AC BC AC BC BCA =+-?∠
2262623()23cos75522
++=+-??=
所以，5AB = 施工单位应该准备电线长 4
53
. 答：施工单位应该准备电线长 4
53km . 变式12、解：在△ABD 中，设BD=x ，
则BDA AD BD AD BD BA ∠??-+=cos 22
22，
即 60cos 1021014222??-+=x x 整理得：096102
=--x x 解之：161=x ，62-=x （舍去）， 由正弦定理，得：
BCD
BD
CDB BC ∠=∠sin sin ,
∴2830sin 135
sin 16
=?=
BC ≈11(km). 答：两景点B 与C 的距离约为11.km.
例10、解 (1)在Rt △PAB 中，∠APB=60° PA=1 ∴AB=3 (千米)
在Rt △PAC 中，∠APC=30°，∴AC=3
3
(千米) 在△ACB 中，∠CAB=30°+60°=90°
)/(3026
1
330330
)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
1010
3
330
3==BC
AB
sinCDA=sin(∠ACB －30°)=sinACB·cos30°－
cosACB·sin30°1010
3
=
2010)133()10103(121232-=-?- 在△ACD 中，据正弦定理得
CDA AC DCA AD sin sin =∴133920
10
)133(1010333sin sin +=
-?
=?=CDA DCA AC AD 答 此时船距岛A 为
13
3
9+千米 变式13、310，南偏东?30
1、A
2、B
3、D
4、 D
5、C
6、解：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=，利用余弦定理可得
2cos 1C =，即1cos 23
C C π
=
?=，故选择答案B 。 8、答案：A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2
＝a 2
＋b 2
，a ＋b >c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2
＋(b ＋x )2
－(c ＋x )2
＝x 2
＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．
9、D 10、A 11、A 12、 C
西
D
C
B
北
A
P
东
13、解析：∵ C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分, ∴
:3:2AC BC =,
,sin sin sin 2BC AC AC
A B A
==∴
23,sin 2sin cos A A B =∴3cos 4A = 14、解：
的三个内角的余弦值均大于0，则
是锐角三角形，若
是锐
角三角形，由，得
，那么，，
矛盾.所以
是钝角三角形。故选D 。
15. D
16、等腰三角形
17、1022＜a＜
18、答案 2 )3,2( 解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=?=
由锐角ABC ?得0290045θθ<
又01803903060θθ<-
3045cos 22
θθ<
<<
， 2cos (2,3).AC θ∴=∈
19、[解析] 在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15?, ∠ACB = 45?-15? = 30? 由正弦定理：
15
sin 30sin 100BC
= ∴BC = 200sin15?
在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45?, ∠CDB = 90? + θ
由正弦定理：)
90sin(15sin 20045sin 50θ+=
?c os θ =13- . 20、答案：45° 解：由S =
41（a 2+b 2－c 2
）得21ab sin C =41·2ab cos C ∴tan C =1∴C =4
π 21、解：由条件,5,2==a c Ｓ△ABC ＝
B ac sin 214sin 5sin 252
1==??=B B ∴54sin =B 当B 为锐角时，53cos =B 由512cos 12sin 2=-=B B ∴5
52sin =B
当B 为钝角时，53cos -
=B 由542cos 12sin 2=-=B B ∴5
522sin =B 22、解：∵Ｂ＝Ａ＋060 ∴)60sin(sin 0+=A B A A B cos 2
3
sin 21sin +=
又A R B R a b sin 4sin 2,2== ∴A B sin 2sin =
∴A A A cos 23sin 21sin 2+= A A cos 3sin 3= ∴,33
tan =A 又∵001800＜A＜ ∴030=A 23、【解】在锐角三角形ABC 中，A 、B 、
C<900
，即：000000453090318090290<
???<-<
由正弦定理知：
(
)
3,2cos 2sin 2sin sin sin ∈===B B
B B A b a ，故所求的范围是：
(
)
3,2。
24、解：由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
由22;22C
A C A C C A C A A --+=-++=
得B C
A C A sin 22cos 2sin 2=-+ 即
B
C A sin 6cos 2sin =+π即2
sin 23sin C
A B += ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π∴Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）
222C A B +-=π∴2
sin )22cos(2cos C A C A B +=+-=π ∴2
cos 232cos 2sin 2B
B B =
∵02cos
≠B ∴ 432sin =B ∴4
13)43(12cos 2=-=B ∴8
39
4134322cos 2sin
2sin =
??==B B B 25、解：（1）由255
cos sin 55
C C =
=
得 2310
sin sin(18045)(cos sin )210
A C C C =--=
+= 由正弦定理知10310sin 32sin 10
22
AC BC A B =?=?=
（2）105sin 2sin 5
22
AC AB C B =
?=?=，1
12BD AB == 由余弦定理知
222
2cos 1182132132CD BD BC BD BC B =+-?=+-???
=
26、解：02322
=+-x x ，得 X 1=13-, X 2=13+ ∵C C B A sin )sin()sin(=-=+π∴2
3
sin =C 由于△ABC 为锐角三角形， ∴Ｃ＝060
由余弦定理，得 C ab b a c cos 2222-+=
660cos )13)(13(2)13()13(cos 2022212
221=+--++-=-+=C x x x x ∴6=C Ｓ△ABC ＝060sin )13)(13(21sin 21+-=C ac 2
3= 27、解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π
<<3
．
应用正弦定理，知23
sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==π3
，
2sin 4sin sin BC AB C x A π??
=
=- ?3??
． 因为y AB BC AC =++，
所以224sin 4sin 2303y x x x ππ???
?=+-+<<
? ?3???
?，
（2）因为1
4sin cos sin 232y x x x ??3=+++ ? ?2??
543sin 23x x ππππ????=+
+<+< ? ?6666???
?，
所以，当x ππ
+
=62
，即x π=3时，y 取得最大值63．
28、解：如图，连结11A B ，由已知22102A B =， 1220
30210260
A A =?
=， 1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠， 122A A B ∴△是等边三角形，1212102AB A A ∴==，
北
1B
2B 1A
2A 120
105
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
中考专题复习解三角形
1．（10分） 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决 定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：， ）．
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
三角函数与解三角形专题训练
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高二解三角形综合练习题
解三角形 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝( ) A．1 B.3 C．2 D．3 2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合 C．垂直D．相交但不垂直 3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D．0 5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3＋6 2 D. 3＋39 4 6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为( ) A．1C.7高中数学解三角形题型完整归纳
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
2017高考真题专题解三角形
2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ；
北京高三理科解三角形大题专题带答案
实用文档 解三角形大题专题 20141513 分）（．（本小题满分石景山一模）B，Ca，b，cA，ABCca?b?Asin2b3a?中， 角．，的对边分别为，且在△B的大小；（Ⅰ）求角c ABC2a?7?b的面积．，求边的长和△（Ⅱ）若， 13201415分）（．（本小题满分西城一模）222 aBACbcABC bca?b?c?．在△中，角，，所对的边分别为．已知，，A的大小；（Ⅰ）求6b?2?Bcos ABC 的面积．，（Ⅱ）如果，求△3 标准文案． 实用文档 （2014海淀二模）15.（本小题满分13分）
A7sina?2ABC?b?21. 且在锐角中，B的大小；（Ⅰ）求c c3a?的值（Ⅱ）若. ，求 20151513 分）西城二模）（．（本小题满分 b 3 a C ABC AB ab c 7，，＝，所对的边分别为＝在锐角△中，角，，，，已知 ．A 的大小；（Ⅰ）求角ABC 的面积．（Ⅱ）求△ 标准文案． 实用文档 （2013丰台二模）15．（13分） 2(B?C)?32sinsin2A.的三个内角分别为已知A,B,C,且ABC?（Ⅰ）求A的度数； BC?7,AC?5,求（Ⅱ）若的面积S. ABC?
20141513 分）（．（本小题满分延庆一模）?3c,a,b,AB,C?C?Bcos2ABCa?．在三角形中，角，且所对的边分别为，，45Asin的值；（Ⅰ）求ABC?的面积．（Ⅱ）求 标准文案． 实用文档 （2015顺义一模）15.（本小题满分13分） ?6ABC??32,sinBb?B?A?c,a,bA,B,C. 在已知,中角,所对的边分别为, 32a; (I)求的值Ccos. 的值(II)求
解三角形专项练习(含解答题)
解三角形专练 1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 2.在ABC ?中，若0 120,2==A b ，三角形的面积3= S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A ． B ．2 C ．．4 3.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 150 4.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B ． C ． D ． 5.在三角形ABC 中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则C cos 的值是 B. 22 C. 21 D. 21- 6.在△ABC 中，若22 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若 2226 5b c a bc +-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.3 5 8.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 9.在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，?=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个 10.已知锐角A 是ABC ?的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221 sin cos 2A A -= ,则下列各式正确的是 ( ) A. 2b c a += B. 2b c a +< C. 2b c a +≤ D. 2b c a +≥ 11.在ABC ?中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ?的面积是 A ．34 B ．38 C ．34或38 D ．3 12.在ABC ?中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22 a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6π B ．4 π C ．3π D ．2 3π 13.若?ABC 的三角A:B:C=1:2:3 ，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ） A.1:2:3 B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30 B ．60 C 90 D.120 15.在?ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为 2221 () 4S a b c =+-，则角C 为 ( ) A ．30 B 45 C ．60 D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝ 2 ，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 17.设?ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=
高考中《解三角形》题型归纳
1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .
2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π
解三角形大题专项训练
标准文档 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）的值． 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值； （2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长． 3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．
4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，，求边c的值． 5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （I）求△ABC的周长； （II）求cos（A﹣C）的值．
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=． （I）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长． 8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求的值． 9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值． 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，． （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值； （Ⅱ）cotB+cot C的值．
解三角形专题练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， 记→ → ?=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ
必修五解三角形题型归纳
一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5
7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<
专题 三角函数及解三角形(解析版)
专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x
③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；
高考数学三角函数与解三角形练习题
三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题
