2018年高考三轮复习三角函数第二讲公式及应用打印版
姚老师微簿贡献
1.任教的高考750分得分723分龚杰湖南理科状元考入清华。
2.原重点学校王馨科班上20名，转入我班辅导任教的高考699分考入清华。
3.辅导的谷炫钰2015年被中央民族大学附中取录。
4.辅导的王馨乐2016年被中央民族大学附中取录。
爱的故事
某君高中时沉迷网络，常半夜翻墙外出上网。一日，他走到墙角下即拔腿狂奔而回，面色古怪，问之不语。从此认真读书，不再上网。学校盛传他撞见鬼。后某君考上大学，有昔日同学重提此事，他沉默良久，说：“那年父亲来送生活费，舍不得住旅馆，在学校墙角坐了一晚上。”
星期六高一13:00 ------16:00
高二14：-------17:00
★★★★★★★
微型家教
第二讲：两角和与差的正弦、余弦和正切公式简单的三角恒等变换
数学培优姚老师电话：152********
地点：张家界市山水印象。
2017年12月 8 日星期六
第一课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β； cos(α?β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝
tan α±tan β
1?tan αtan β
???
?α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z .
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
tan 2α＝2tan α1－tan 2
α?
???α，2α均不为k π＋π
2，k ∈Z . 3．有关公式的逆用及变形用 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)；
(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2
；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sin ?
???α±π
4.
3．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)；
α＝1
2[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝1
2[(α＋β)－(α－β)]；
π4＋α＝π2
－???
?π
4－α. 4.()sin cos a x b x x φ+=
+
P1
5.[解析] 因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β
1－tan （α－β）tan β
＝12－171＋12317
＝13>0，所以0<α<π2，
又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝23131－???
?132＝3
4>0，所以0<2α<π2， 所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β
＝34＋171－34317
＝1.
因为tan β＝－1
7<0，所以π2<β<π，－π<2α－β<0，
所以2α－β＝－3π4.[答案] －3π
4
6．4cos 50°－tan 40°＝( )
A ． 2
B ．2＋3
2
C ． 3
D ．22－1
6. [解析] 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°
＝sin 80°＋sin （60°＋20°）－sin （60°－20°）cos 40°
＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°
＝sin （50°＋30°）＋sin （50°－30°）cos 40°
＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.选C
P18
2.[解析]
sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2
155°＝sin 70°sin 20°
cos 310°
＝cos 20°sin 20°cos 50°＝1
2sin 40°
sin 40°＝12
.选B
3.化简：（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1）
sin 4α
＝______．
3.[解析] （sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1）
sin 4α
＝sin 22α－（cos 2α－1）22sin 2α·cos 2α＝sin 22α－cos 22α＋2cos 2α－12sin 2α·cos 2α
＝－2cos 22α＋2cos 2α2sin 2α·cos 2α＝1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α
＝sin αcos α
＝tan α. [答案] tan α 4． 给值求值已知sin ????π3＋α＋sin α＝43
5，则sin ?
???α＋7π6的值是( )
A ．－235
B ．235
C ．45
D ．－45
4.[解析] sin ???
?π3＋α＋sin α＝43
5?sin π3cos α＋cos π32sin α＋sin
α＝435?32sin α＋32cos α＝435?32sin α＋12cos α＝45，
故sin ?
???α＋7π
6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6
＝－???
?32sin α＋1
2cos α＝－45.选D
5．给值求角已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，则
2α－β的值为________．
P17 典型剖析突破考点
考点1. sin cos ,sin cos ,sin cos .x x x x x x +-?“知一求二”
例题1.（2017全国3卷4题）．已知4
sin cos ,3
αα-=
，则s i n 2α=()
7.9A -
2
.9B -
2
.
9C
7.
9D
考点2.诱导公式的应用
例题2. （2017全国3卷6题） 函数1ππ
()sin()cos()536
f x x x =++-的最大值为（） A ．
65
B ．1
C ．35
D ．15
解：cos cos sin 6233x x x ππππ????
???
?-
=-+=+ ? ? ????
????
???，
则：()16sin sin sin 5335
3f x x x x πππ???
???=+++=+ ? ? ????
???,
函数的最大值为
6
5
. 考点3.辅助公式的应用
例题3.【2017山东，文7】函数2cos 2y x x =+最小正周期为 A.
π2 B. 2π3
C.π
D. 2π 【答案】C
P2
考点4关于 sin ,cos x x 的整齐次式
例题4.(2016·高考全国卷丙)若tan α＝3
4
，则cos 2α＋2sin 2α=
A ．6425
B ．4825
C ．1
D ．1625
答案6425
考点5. 三角函数公式的直接应用 例题5.【2017山东，文4】已知3
cos 4
x =
,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18
【答案】D
考点5. 三角函数公式的 逆用
例题5.化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( )
A ．32
B ．12
C ．－12
D ．－32
解：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝1
2
.
考点6. 三角函数公式的 变用
,例题6，(2016·高考全国卷丙)若tan θ＝－1
3
，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－15
C ．15
D ．45
【解析】 ：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ
＝1－????－1321＋???
?－132＝4
5. 【答案】 D P3
7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝1
6
，
tan α＋tan β＋32tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )
A ．α<π4<β
B ．β<π4<α C.π4<α<β D ．π
4
<β<α
7. [解析] 因为α为锐角，sin α－cos α＝1
6，所以α>π4
.又tan α＋
tan β＋3tan αtan β＝3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝3，
所以α＋β＝π3，又α>π4，所以β<π
4
<α.选B
8．设α为锐角，若cos ????α＋π6＝4
5，则sin ?
???2α＋π12的值为________．
8.[解析] 因为α为锐角，cos ?
???α＋π6＝4
5，
所以sin ????α＋π6＝35，sin 2????α＋π6＝24
25，
cos 2????α＋π6＝7
25，所以sin ????2α＋π12＝sin ????2?
???α＋π6－π4
＝2425322－725322＝17250.[答案] 17250 跟踪特训2：答案
1.【2017江苏，5】若π1
tan(),46
α-=则tan α= . 1.解
11tan()tan
7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππ
αππααππα+-+=-+===---． 2．计算sin 110°sin 20°
cos 2155°－sin 2155°的值为( )
A ．－12
B ．12
C ．32
D ．－32
P16
二倍角公式的活用
4．(2017·东北三省三校)已知sin α＋cos α＝1
3，则sin 2(π4
－α)＝( )
A ．118
B ．1718
C ．89
D ．29
4.[解析] 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝1
9
，
解得sin 2α＝－8
9
，
所以sin 2(π4－α)＝1－cos （π2－2α）2＝1－sin 2α
2＝1＋
8
92＝1718.选B
5. 3tan 12°－3
sin 12°（4cos 212°－2）
＝________．
5.[解析] 原式＝33sin 12°cos 12°
－3sin 12°（4cos 212°－2）
＝3sin 12°－3cos 12°
2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）
＝23????12sin 12°－3
2cos 12°sin 24°cos 24°
＝23sin （12°－60°）1
2
sin 48°＝－4 3. [答案] －43
6．已知tan(α＋β)＝1，tan ????α－π3＝1
3，则tan ?
???β＋π3 的值为( )
A ．23
B ．12
C ．34
D ．45
6. [解析] tan ????β＋π3＝tan ????（α＋β）－?
???α－π
3＝
tan （α＋β）－tan ????α－π31＋tan （α＋β）tan ?
???α－π
3＝1－
1
31＋1313
＝12.选B P15
考点7.三角函数公式的活用(高频考点)
例题7. (1)已知sin 2α＝2
3，则cos 2(α＋π4
)等于( )
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
【解析】 (1)cos 2(α＋π
4)＝1＋cos 2（α＋π
4）
2
＝1＋cos （2α＋π2）2＝1－sin 2α
2＝1－
2
32＝16，故选A.
(2)cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°
的值为( )
A ．33
B ． 3
C ．－3
3
D ．－ 3
(2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°
1－tan 45°tan 15°
＝tan(45°＋15°)＝ 3.
【答案】 (1)A (2)B
考点8.三角函数公式的凑用(高频考点)
例题7.(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝5
5
，
sin(α－β)＝10
10，则cos β＝( )
A ．22
B ．210
C ．22或－210
D ．22或210
【解析】 (1)因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝10
10
，
所以sin α＝255，cos(α－β)＝310
10
，
从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2
2
，
故选A.
P4
跟踪特训1：
1．计算：1－cos 210°
cos 80°1－cos 20°＝( )
A ．22
B ．12
C ．32
D ．－22
1[解析] 1－cos 2
10°
cos 80°1－cos 20°
＝sin 210°
sin 10°1－（1－2sin 210°） ＝sin 210°2sin 210°＝22
.选A
2．已知α∈????0，π2，tan α＝1
2，求tan 2α和sin ????2α＋π3的值．
2.[解] tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝23121－???
?122＝4
3. 因为α∈????0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝4
3＞0，所以2α∈?
???0，π2，
所以sin 2α＝45，cos 2α＝3
5
，
所以sin ?
???2α＋π
3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3
＝45312＋35332＝4＋3310.
两角和与差公式的逆用及变形应用 3.．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A ． 3
B ．1＋ 2
C ．2
D ．2(tan 18°＋tan 27°) 3.[解析] 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.
P5
1．计算：1－cos 210°
cos 80°1－cos 20°＝( )
A ．22
B ．12
C ．32
D ．－22
1.[解析] 1－cos 2
10°
cos 80°1－cos 20°
＝sin 210°
sin 10°1－（1－2sin 210°） ＝sin 210°2sin 210°＝22
.选A
2．已知α∈????0，π2，tan α＝1
2，求tan 2α和sin ????2α＋π3的值．
2.[解] tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝23121－???
?122
＝4
3. 因为α∈????0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝4
3＞0，所以2α∈?
???0，π2，
所以sin 2α＝45，cos 2α＝3
5
，
所以sin ?
???2α＋π
3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3
＝45312＋35332＝4＋3310.
两角和与差公式的逆用及变形应用 3．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A ． 3
B ．1＋ 2
C ．2
D ．2(tan 18°＋tan 27°) 3.[解析] 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.
P14
5.[解析] 因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β
1－tan （α－β）tan β
＝12－171＋12317
＝13>0，所以0<α<π2，
又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝23131－???
?132＝3
4>0，所以0<2α<π2， 所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β
＝34＋171－34317
＝1.
因为tan β＝－1
7<0，所以π2<β<π，－π<2α－β<0，
所以2α－β＝－3π4. [答案] －3π
4
6．4cos 50°－tan 40°＝( )
A ． 2
B ．2＋3
2
C ． 3
D ．22－1
C [解析] 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°
＝sin 80°＋sin （60°＋20°）－sin （60°－20°）cos 40°
＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°
＝sin （50°＋30°）＋sin （50°－30°）cos 40°
＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°
＝ 3.
跟踪特训1：答案 P13 二倍角公式的活用
4．(2017·东北三省三校)已知sin α＋cos α＝1
3，则sin 2(π4
－α)＝( )
A ．118
B ．1718
C ．89
D ．29
4.[解析] 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝1
9
，
解得sin 2α＝－8
9
，
所以sin 2(π4－α)＝1－cos （π2－2α）2＝1－sin 2α
2＝1＋
8
92＝1718.选B
5. 3tan 12°－3
sin 12°（4cos 212°－2）
＝________．
5.[解析] 原式＝33sin 12°cos 12°
－3sin 12°（4cos 212°－2）
＝3sin 12°－3cos 12°
2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）
＝23????12sin 12°－3
2cos 12°sin 24°cos 24°
＝23sin （12°－60°）1
2
sin 48°＝－4 3. [答案] －43
6．已知tan(α＋β)＝1，tan ????α－π3＝1
3，则tan ?
???β＋π3 的值为( )
A ．23
B ．12
C ．34
D ．45
6. [解析] tan ????β＋π3＝tan ????（α＋β）－?
???α－π
3＝
tan （α＋β）－tan ????α－π31＋tan （α＋β）tan ?
???α－π
3＝1－
1
31＋1313
＝12.选B P6
7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝1
6
，
tan α＋tan β＋32tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )
A ．α<π4<β
B ．β<π
4<α
C.π4<α<β D ．π4
<β<α 7. [解析] 因为α为锐角，sin α－cos α＝1
6，所以α>π4
.又tan α＋
tan β＋3tan αtan β＝3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝3，
所以α＋β＝π3，又α>π4，所以β<π
4
<α.选B
8．设α为锐角，若cos ????α＋π6＝4
5，则sin ?
???2α＋π12的值为________．
8.[解析] 因为α为锐角，cos ?
???α＋π6＝4
5，
所以sin ????α＋π6＝35，sin 2????α＋π6＝24
25，
cos 2?
???α＋π6＝7
25，
所以sin ?
???2α＋π
12
＝sin ????2?
???α＋π6－π
4
＝2425322－725322＝17250
. [答案] 172
50
第4讲 简单的三角恒等变换
P7
2．计算sin 110°sin 20°
cos 2155°－sin 2155°的值为( )
A ．－12
B ．12
C ．32
D ．－32
2.[解析] sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2
155°＝sin 70°sin 20°
cos 310°
＝cos 20°sin 20°cos 50°＝1
2sin 40°
sin 40°＝12
.选B
3.化简：（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1）
sin 4α
＝______．
3.[解析] （sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1）
sin 4α
＝sin 22α－（cos 2α－1）22sin 2α·cos 2α＝sin 22α－cos 22α＋2cos 2α－12sin 2α·cos 2α
＝－2cos 22α＋2cos 2α2sin 2α·cos 2α＝1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α
＝sin αcos α
＝tan α. [答案] tan α 4 ．给值求值已知sin ????π3＋α＋sin α＝43
5，则sin ?
???α＋7π6的值是( )
A ．－235
B ．235
C ．45
D ．－45
4.[解析] sin ???
?π3＋α＋sin α＝43
5?sin π3cos α＋cos π32sin α＋sin
α＝435?32sin α＋32cos α＝435?32sin α＋12cos α＝45，
故sin ?
???α＋7π
6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6
＝－???
?32sin α＋1
2cos α＝－45.选D
5．给值求角已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，则
2α－β的值为________． P12
考点6.三角恒等变换的综合问题
例题6. 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？
[解] 连接OB ，设∠AOB ＝θ，
则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈?
???0，π
2.因为A ，D 关于原点对称，
所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈?
???0，π
2，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝π
4
时，S max ＝400(m 2)．
此时AO ＝DO ＝102(m)．
故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 跟踪特训2：
1.【2017江苏，5】若π1
tan(),46
α-=则tan α= . 1.解
11tan()tan
7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππ
αππααππα+-+=-+===---． P11
考点1. 三角函数式的公式化简
例题1化 （1＋sin θ＋cos θ）?
??
?sin
θ2－cos θ22＋2cos θ
(0<θ<π)；
【解】 (1)原式＝
?
???2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2????
sin θ2－cos θ24cos
2θ
2
＝cos
θ2??
??sin 2
θ
2－cos 2θ2????cos θ2＝－cos θ
2
·cos θ?
???
cos θ2.
因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ
2
>0.
所以原式＝－cos θ.
考点2. 三角函数式的化弦法公式化简
(2)? ?????1tan α2－tan α22?
???1＋tan α2tan α
2.
(2)原式＝? ????cos
α2sin α2－sin
α2cos α2·? ??
??1＋sin α
cos α·sin
α
2cos α2 ＝cos 2α2－sin 2
α2
sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin
α
2
cos αcos
α2
＝
2cos αsin α·cos
α
2cos αcos
α2
＝2sin α
. P8
考点3. 三角函数式的给角求值；
例题3. 1＋cos 20°
2sin 20°－sin 10°????1tan 5°－tan 5°的值为( )
A ．12
B ．32
C ．22
D ．1
4
解 原式＝2cos 210°232sin 10°cos 10°－sin 10°·? ??
??cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°
＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12
sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°
＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°
＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°
＝cos 10°－2????12cos 10°－3
2sin 10°2sin 10°
＝3sin 10°2sin 10°
＝32.
考点4. 三角函数式的给值求值。
例题4.(2017·湖北省联考)已知tan ?
???α＋π4＝1
2，且－π2<α<0，
则2sin 2
α＋sin 2αcos ????α－π4＝( )
A ．－255
B ．－3510
C ．－31010
D ．255
解;因为tan ?
???α＋π4＝tan α＋11－tan α＝1
2，
P9 所以tan α＝－1
3，因为－π2<α<0，
所以sin α＝－10
10
，
则2sin 2α＋sin 2αcos ????α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）22
（cos α＋sin α）＝22sin α
=223???
?
－1010 ＝－255.
考点5. 三角函数式的给值求角。
例题5.设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－310
10
，则α＋β的
值为( )
A ．3π4
B ．5π4
C ．7π4
D ．5π4或7π4
解：因为α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－310
10
，
所以cos α＝－255，sin β＝10
10
，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2
2
>0.
又α＋β∈(π，2π)，
所以α＋β∈???
?3π
2，2π，所以α＋β＝7π4.
P10