高考物理解题方法与技巧之放缩法临界法

高考物理解题方法与技巧之放缩法临界法
高考物理解题方法与技巧之放缩法临界法

高考物理解题方法与技巧

一、大题常见思路

1、等效思维在解决大题中的应用

例1、如图所示,已知回旋加速器中D 形盒内匀强磁场的磁感应强度B =1.5T ,盒的半径R =60cm ,两盒间隙d=1cm ,盒间电压U=2.0×104V ,今将α粒子从位于间隙中心某点向D 形盒内以近似于零的初速度垂直B 的方向射入,求粒子在加速器内运动的总时间。

例2、边长为a 的正方形导线框放在匀强磁场内静止不动。匀强磁场的磁感应强度B 的方向与导线框平面垂直。B 的大小随时间按 的正弦规律变化。导线框内感应电动势的最大值为多少?

例3、半径为r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,环上套有一个质量为m 、带正电的珠

子,空间存在水平向右的匀强电场,如右图所示,珠子所受静电力是其重力的3

4

倍.将珠子从环上最低

位置A 点静止释放,则珠子所能获得的最大动能是多少?

2、降维、等效、临界思维在大题当中的应用

例1、如图所示,一个质量为m 、电荷量为+q 的小球(可视为质点),沿光滑绝缘斜槽从比A 点高出H 的

C 点由静止下滑,并从A 点水平切入一个横截面为正方形且边长为a 、高为h (h 可变)的有界匀强磁场区内(磁场方向沿竖直方向),A 为横截面一条边的中点,已知小球刚好能在有界磁场区内运动,最后从A

t

B B ωsin 0=

点正下方的D 点离开有界磁场区,求:

(1)磁感应强度的大小和方向; (2)有界磁场区域高度h 应满足的条件;

(3)在AD 有最小值的情况下,小球从D 点射出的速度.

例2、(2013·黄冈市高三年级3月份质量检测)如图所示,在平面直角坐标系的第一象限虚线左侧有方向沿y 轴负方向的有界匀强电场,电场强度大小为E ,第三象限内充满着垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B .在电场区

域内有一动点P ,当质量为m 、电量为q 的带正电粒子从P 点沿x 轴负方向以大小为v 0的初速度开始运动,粒子能从O 点离开电场进入磁场.(不计粒子重力) (1)求P 点的坐标x ,y 满足的关系;

(2)若当P 点位于电场的右边界时,粒子运动到O 点的速度方向与x 轴负方向成45°.求第三象限内粒子可能经过的区域的面积

二、极限与放缩法在解决选择题中的

例1、如图所示,一根轻弹簧上端固定,下端挂一个质量为m 0的平盘,盘中有一质量为m 的物体,当盘静止时,弹簧的长度比其自然长度伸长了l .今向下拉盘使弹簧再伸长Δl 后停止,然后松手放开,设弹簧总处在弹性限度之内,则刚松手时盘对物体的支持力等于( )

A .(1+

Δl l )mg B .(1+Δl l )(m +m 0)g C.Δl l mg D.Δl

l

(m +m 0)g 例2、[2014·新课标Ⅱ卷] 如图,一质量为M 的光滑大圆环,用一细轻杆固定在竖直平面内;套在大环上质量为m 的

小环(可视为质点),从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为g .当小环滑到大环的最低点时,大环对轻杆拉力的大小为( )

A .Mg -5mg

B .Mg +mg

C .Mg +5mg

D .Mg +10mg

例3、从地面以大小为 v1 的初速度竖直向上抛出一个皮球,经过时间 t 皮球落回地面,落地时皮球速度的大小为 v2。已知皮球在运动过程中受到空气阻力的大小与速度的大小成正比,重力加速度大小为 g 。下面给出时间 t 的四个表达式中只有一个是合理的,你可能不会求解 t ,但是你可以通过一定的物理分析,对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断,t 的合理表达式应为( )

例4、(2012·安徽卷)如下图甲所示,半径为R 的均匀带电圆形平板,单位面积带电量为σ,其轴线上任意一点P (坐标为x )的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出:

E =2πk σ?

?

?

?

??1-

x R 2+x 2

12,方向沿x 轴.现考虑单位面积带电量为σ0

的无限大均匀带电平板,从其中间挖去一半径为r 的圆板,如图乙所示.则圆孔轴线上任意一点Q (坐标为x )的电场强度为( )

A .2πk σ0

x r 2

+x

2

1

2

B .2πk σ0

r r 2

+x

2

12

C .2πk σ0x r

D .2πk σ0r x

例5、一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后,两端分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 和B .若滑轮有一定大小,质量为m 且分布均匀,滑轮转动时与绳之间无相对滑动,不计滑轮与轴之间的摩擦.设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2,已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确的.请你根据所学的物理知识,通过一定的分析,判断正确的表达式是( )

A .T 1=m +2m 2m 1g

m +2m 1+m 2

B .T 1=

m +2m 1m 2g

m +4m 1+m 2

g

v v t C 2

1+=

、g

v v t D 2

1-=

、g

v

t B 2

=、g

v v t A 21=、

C.T1=m+4m

2

m

1

g

m+2m

1

+m2

D.T1=m+4m

1

m

2

g

m+4m

1

+m2

三、极值与函数的配合在大题中的应用

例1、如图所示,光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道,B点为水平面与轨道的切点,在离B处距离为x的A点,用水平恒力F(大小未知)将质量为m的小球从静止开始推到B 处后撤去恒力,小球沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点.求:

(1)推力F对小球所做的功;

(2)x取何值时,完成上述运动推力所做的功最少?最少的功为多少?

(3)x取何值时,完成上述运动推力最小?最小推力为多少?

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一.先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二.先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: (1)用数学归纳法证明: (2),求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证:)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):221 4112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

第一轮复习 放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩,消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, (Ⅰ)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析:(Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. (Ⅱ)11115612 a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??,综上,原不等式成立. 点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如: ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

最新高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

高中数学方法讲解之放缩法

高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法,叫放缩法。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如:a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k (程度大) Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m

2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时,求证:1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】:∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证: 21 3121112222<++++n 【巧证】:n n n n n 1 11)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一:设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11,求 证:a < b 巧练一:【巧证】: y y x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二:求证:lg9?lg11 < 1 巧练二:【巧证】: 122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2 2 2 =?? ? ??

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

高中数学方法讲解之放缩法

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法,叫放缩法。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如:a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶ 利用基本不等式,如: 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k (程度大) Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ; (程度小)

例1.若a , b , c , d ∈R +,求证: 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】:记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 2 时,求证:1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】:∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??????++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证:21 3121112222<++++n 【巧证】:n n n n n 111)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一:设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11,求 证:a < b

放缩法的应用技巧

放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。 所谓放缩法就是利用不等式的传递性, 对不等 式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化,其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式,因 其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这 一难点,我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、 常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有: 1?“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果; 2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果; 3?利用重要的不等式或结论放缩: 把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩, 例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,禾U 用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。 二、 常见的放缩控制 分析3:分析1中从第二项开始放缩,放的最终有点大。可以调整放缩的项数,从第三项开始放缩。 由此可见,调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些。以此类推,当放缩的项数越少,放缩后的结果就会越来越精细,越来越逼近目标。 除此之外,还可以调整放缩的次数,通过多次放缩的调整来达到效果;有时也可以根据欲证式子 的结构特点,把相邻的项分组捆绑后进行放缩,也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。 当我们选择了正确的放缩方法后, 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控, 达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢? 豹 … 1 1 1 1 7 例1 ?求证: 2 2 2 1 2 3 n 4 1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和。 “ 1 导致放缩的过大或过小, 分析 若采取 则左边 n(n 1) 1 1 【1】 分析 证明 【2】 很明显, 1 12 2 3 放得有点大了, 调整放缩的“量” 2:分析1中“放” 通过调整放大的 1 减少1,即二 n 1 1 1 :左边 <1 -(' (n 1) 1 1 (n n 2) ”的方法向右端放大, (n 1) n 导致传递性失败, 1 1 1 1 (一—)( ) 1 2 2 3 不等式链中断,放缩失败。 1 1 ( ) n 1 n 那怎么办呢? 的大小 的有点过大,因为右 “量”来控制放缩的效果。 1 1 1 1 、/ ( (n n 1 2 n 1 n 1 、1 ) (1 1 ) (j J ) + 2 1 3 2 4 3 5 2) 调整放缩的“项”的起点 —,放大了 2 丄 -2 n ( n 1 32 1 厂,放大了 分母减少了 n(n 1) 这样放的量就少了。 1 -?)=1+2(1 1 n 1 2 1 18 所以可以 n ,我们可以把分母只 ?)<1 + ;(1 ■)=; n 1 2 2 4 证明2:左边 1 1 — 4 2 3 亠1丄(丄丄) (n 1) n 4 2 3

高考数学数列放缩法技巧全汇总

高考数学数列放缩法技巧全汇总

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

高中数学放缩法公式[001]

“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证: *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明: 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的 值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例2、函数f (x )= x x 414+,求证:f (1)+f (2)+…+f (n )>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明:由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f (1)+f (2)+…+f (n )>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小

放缩法技巧全总结

放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

高中数学放缩法

高考专题 放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。 数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类及数列和有关的不等式问题,解决这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设1 1 +=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 < n B 解:(1)由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得: 1212224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列, 所以21=--n n a a ,即{}n a 是公差为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以 12-=n a n (2))1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ,所以

高考数学专题复习放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证) 122a b +?>≥

(3)2n n ≥=> 易知恒成立,当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证:)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = +

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧 黄荟宇 放缩法:为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”而使不等式各项之和变小(大),或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”,或“在乘积式中用较大(较小)因式代替”等效法,而达到其证题目的。 所谓放缩的技巧:即欲证B A ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使B C A ≤≤,由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”。 常用的放缩技巧还有:(1)若,A t A ,A t A ,0t <->+>(2) ,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+), 0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1 ).1n n (2n 1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-(3)若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>(4) +++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ (5).n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ (6)11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ (7)n n n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。 用放缩法证明下列各题。 例1 求证:.133lg 3lg ∈求证:.1)1n (log )1n (log n n ≤+?- 证明:因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为 4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 2 2n 2n n n n -=++-≤+?-[因为22n 1n <-(放 大),所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数],所以 14)n (log 4)]1n ([log 2 2n 22n =<-,所以.1)1n (log )1n (log n n <+?-

相关文档
最新文档