2016年高考理科数学(全国1卷)及答案

绝密 ★ 启用前

试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则=B A

（A ）)2

3,3(--

（B ）)2

3,3(-

（C ）)2

3,1(

（D ）)3,2

3(

（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x

（A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）2

（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a

（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97

（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A ）

3

1 （B ）

2

1 （C ）

3

2 （D ）

4

3

（5）已知方程1322

22=--+n

m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的

取值范围是 （A ）)3,1(-

（B ）)3,1(-

（C ）)3,0(

（D ）)3,0(

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中

两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是3

28π

，则它的 表面积是

（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28 （7）函数x

e x y -=22在]2,2[-的图像大致为

（A

（B

（C

（

（8）若1>>b a ，10<

（A ）c

c

b a <

（B ）c

c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <

（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足

（A ）x y 2=

（B ）x y 3=（C ）x y 4=

（D ）x y 5=

（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知

24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为

（A ）2

（B ）4

（C ）6

（D ）8

（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， α平面ABCD

m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为

（A ）

23 （B ）2

2 （C ）3

3 （D ）

3

1

（12）已知函数)2

,0)(sin()(π

?ω?ω≤>+=x x f ，4

π

-

=x 为)(x f 的零点，4

π=

x 为

)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36

5,18(π

π单调，则ω的最大值为

（A ）11

（B ）9

（C ）7

（D ）5

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2

|，则=m ．

（14）5)2(x x +

的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）

（15）设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a 21的最大值为 ． （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要

甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．

（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=

c ，ABC ?的面积为

2

3

3，求ABC ?的周长．

如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面

ABEF 为正方形，?=∠=90,2AFD FD AF ，且二面

角E AF D --与二面角F BE C --都是?60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值.

（19）（本小题满分12分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，

记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；

（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？

A B

C

D

E

设圆01522

2

=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A

于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与

圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．

（21）（本小题满分12分） 已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x

有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，OAB ?是等腰三角形，?=∠120AOB ．以O

OA 2

1

为半径作圆． （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；

（Ⅱ）点D C ,在⊙O 上，且D C B A ,,

,四点共圆，

证明：CD AB //．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为??

?+==,

sin 1,

cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公

共点都在3C 上，求a ．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数321)(--+=x x x f ．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B （11）A （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)2- (14)10

（15）64 （16）216000

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=

由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ?+?=

()2cos sin sin C A B C ?+=

∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1

cos 2

C = ∵()0πC ∈， ∴π3

C =

⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-?

221

722

a b ab =+-?

()

2

37a b ab +-=

1sin 2S ab C =?∴6ab = ∴()2

187a b +-=

5a b +=

∴ABC △周长为5a b c ++=+

18．⑴ ∵ABEF 为正方形

∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥ ∵=DF

EF F

∴AF ⊥面EFDC

AF ⊥面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知

60DFE CEF ∠=∠=?

∵AB EF ∥

AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC

∴AB ∥平面ABCD

AB ?平面ABCD

∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =

()

()000020E B a ，，，， ()02202a C A a a ??

? ???

，，，

()020EB a =，，，22a BC a ??

=- ? ???

，，()200AB a =-，，

设面BEC 法向量为()m x y z =，，. 00m EB m BC ??=???=??

，即111120202a y a x ay z ?=????-?=??

11101x y z ===-，

(

)

301m =

-，，

设面ABC 法向量为()222n x y z =，， =00n BC n AB ?????=??

.即2222

20220a x ay ax ?-=??

?=? 22204x y z ===，

()

034n =，

设二面角E BC A --的大小为θ

. cos 3m n m n

θ?=

=

=

+? ∴二面角E BC A --的余弦值为

19．⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =

由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

()()()11160.20.20.04P X P A P B ===?=

()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=?+?=

()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=

()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2

P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=?+?+?0.20.40.24+?=

()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=

()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=?+?=

()()()44220.20.20.04P x P A P B ===?=

⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥ 则n 的最小值为19

⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用

当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040?+?+?+?= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080?+?+?= 所以应选用19n =

D C =∠，

EBD D ∴=∠∠，

则EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==

所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22

143x

y +=，(0y ≠)；

⑵

22

1:143

x y C +=；设:1l x my =+，

因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆 2

2

114

3x my x y =+???+=??得()

2234690m y my ++-=； 则()22121|||34

M N m MN y y m +-=

+；

圆心A到PQ距离d==

所以||

PQ==，

()

2

2

121

11

||||

2234

MPNQ

m

S MN PQ

m

+

?∴=?=?==?

+

21．⑴由已知得：()()()()()

'12112

x x

f x x e a x x e a

=-+-=-+

①若0

a=，那么()()

0202

x

f x x e x

=?-=?=，()

f x只有唯一的零点2

x=，不合题意；

②若0

a>，那么20

x x

e a e

+>>，

所以当1

x>时，()

'0

f x>，()

f x单调递增

当1

x<时，()

'0

f x<，()

f x单调递减

即：

故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，

故()()()()()()()2

2

2

212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--

则()0f x =的两根11t =

+，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2

110a x e x e -+-->

因此，当1x <且1x t <时，()0f x >

又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．

③ 若02

e

a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，

当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()

ln 2220a x e a e a -+<+=，

即()()()

'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当

()ln 21

a x -<<时，10x -<，

()

ln 2220a x e a e

a -+>+=，即

()()()'120x f x

x e

a =-+<，()f x 单调递减； 当1x >时，10x ->，()

ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．

即：

而极大值

()()()(){

}

2

2

ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+

故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -????，那么

()()ln 20f x f a -

而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．

④ 若2

e

a =-，那么()ln 21a -=

当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()

ln 2220a x e a e

a -+<+=，即()'0f x >，

()f x 单调递增

当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()

ln 2220a x e a e

a -+>+=，即()'0f x >，

()f x 单调递增

又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．

⑤ 若2

e

a <-，则()ln 21a ->

当1x <时，10x -<，()

ln 212220a x e a e a e

a -+<+<+=，即()'0f x >，

()f x 单调递增

当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()

ln 2220a x e a e

a -+<+=，即()'0f x <，

()f x 单调递减

当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()

ln 2220a x e a e

a -+>+=，即()'0f x >，

()f x 单调递增 即：

故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解

当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．

综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．

⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，

故可整理得：()()

()()

1

2

1222

122211x x x e x e a x x ---==--

设()()()

2

21x

x e g x x -=-，则()()12g x g x = 那么()()()

2

3

21'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，

()'0g x >，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：

()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-??

+--=

-=+ ?+??

设()2111

m

m h m e m -=++，0m > 则()()

2

22

2'01m m h m e m =

>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．

因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．

由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<

令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--?->=????????

而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->?-> 整理得：122x x +<．

22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K

∵120OA OB AOB =∠=?，

∴30sin302

OA

OK AB A OK OA r ⊥∠=?=??==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：

假设CD 与AB 不平行

CD 与AB 交于F

2FK FC FD =?① ∵A B C D 、、、四点共圆

∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ?=?=-+ ∵AK BK =

∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ?=-+=-② 由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥

方法二：

因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．

23．⑴ cos 1sin x a t

y a t =??=+?

（t 均为参数）

∴()2

221x y a +-= ①

∴1C 为以()01，

为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-=

即为1C 的极坐标方程

⑵ 24cos C ρθ=：

两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ

ρρθ==+=，

224x y x ∴+= 即()2

224x y -+= ②

3C ：化为普通方程为2y x =

由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -= ∴1a =

24．⑴ 如图所示：

⑵ ()4133212342

x x f x x x x x ?

?--?

?

=--<

?

-??，≤，，≥

()1f x >

当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <

1x -∴≤

当312x -<<

，321x ->，解得1x >或1

3x < 113x -<<∴或3

12x <<

当3

2

x ≥，41x ->，解得5x >或3x <

3

32

x <∴≤或5x > 综上，1

3

x <或13x <<或5x >

()1f x >∴，解集为()()11353?

?-∞+∞ ???

，，

，