普宁市城东中学第一次月考最终版

普宁城东中学2010-2011届高三第一次月考

数学（理科）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、若集合{}||1A x x =≤，{}

0B x x =≥，则A B = ( )

A ．{}11x x -≤≤

B ．{}0x x ≥

C ．{}

01x x ≤≤ D ．? 2、已知()(1)x i i y +-=，则实数x ，y 分别为（）

A ．1x =-，1y =

B ．1x =-，2y =

C ．1x =，1y =

D ．1x =，2y =

3、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）

视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）

4、设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。若111a =-，464a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于（）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 5、曲线2

y x =

+在点（-1，-1）处的切线方程为（） A. y=2x+1 B. y=2x-1 C. y=-2x-3 D. y=-2x-2 6、“14

m <

”是“一元二次方程2

0x x m ++=”有实数解“的（） A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件

7、一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二。能发现至少一枚劣币的概率分别记为1p 和2p 则（）

A ．12p p =

B ．12p p <

C ．12p p >

D ．以上三种情况都有可能

8、定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np

=- ，下面说法错误的是（） A. 若a 与b 共线，则0a b =

B. a b b a =

C. 对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=

D.2222()()||||a b a b a b +?=

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9~13题）

9、在二项式512??

? ?

?-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是________

10、已知向量a ，b 满足||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为60?，则||a b -=

11、执行程序框图（如下图），输出的T=

12、已知函数f （x ）＝232,1,

,1,

x x x ax x +

13、动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题得分）

14、(参数方程选做题）参数方程cos ,

1sin x y αα

=??=+?（α为参数）化成普通方程为

15、如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝；CE ＝。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

16、（本小题满分12分）

已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,

2π??

????

上的最大值和最小值；（2）若006(),,542f x x ππ??

∈????

，求0cos 2x 的值。 17．（本小题满分12分）

图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中x 的值

（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望。

18、（本小题满分14分）

如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,

,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为

PC 的中点, P A ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .

19、（本小题满分14分）

已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面

积为4

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)

Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =

，求0y 的值

20、（本题满分14分）

(不等式选讲)已知函数()||f x x a =-。

（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}

15x x -≤≤，求实数a 的值；

（2）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

21、已知函数2

2()3f x ax bx =+-

的图象关于直线2

x =-对称, 且过定点(1,0), 对于正数列{}n a , 若其前n 项和n s 满足()n n s f a =*()n N ∈

（1）求,a b 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设*(),2

n n a b n N =

∈若数列{}n b 的前n 项和为n T . 试比较n T 与5的大小，并证明.

数学（理科）答案卷

一.

二.填空题：本大题共7小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分30分．

9._____________ 10._________________________

11.___________ 12._________________________

13.___________________ 14.________________ 15.________，__________

三.解答题（本大题共6小题，共80分.）

16.（本小题12分）

18.（本小题14分）

20.（本小题14分）

第一次月考答案

1-8：CDCAAABB

9、10 10 11、30 12、2

13、28y x = 14、x 2

＋（y －1）2

＝1 15、5、16、（本小题满分12分）

（1）解：由2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得

16.2

()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6

f x x x x x x x π

=+-=+=+

所以函数()f x 的最小正周期为π

因为()2sin 26f x x π?

在区间0,

6π??????上为增函数，在区间,62ππ??

????

上为减函数，又 (0)1,2,

162f f f ππ??

??===- ? ?????，所以函数()f x 在区间0,2π??

????

上的最大值为2最小值为-1 （Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π?

又因为06()5f x =

，所以03sin 265x π?

?+= ??

? 由0,42x ππ??

∈?

???

，得0272,636x πππ??+∈????

从而04cos 265x π?

+==- ??

? 所以

0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ???????

?=+-=+++=

? ? ???????????

18、证明:（1）取PD 中点Q , 连EQ , AQ , 则1

QE CD AB =

= …………………………1分 //////QE CD CD AB QE AB QE AB ?

???=?

…………………………………………2分 //ABEQ BE AQ ??四边形是平行四边形 ………………3分

////BE AQ

AQ PAD BE PAD BE PAD ?

??????

平面平面平面 ………………………5分 (2)

PA ABCD CD ABCD ⊥?

????平面平面

PA CD AD AD PA A ⊥??⊥?????＝CD PAD AQ CD AQ PAD PA AD AQ PD Q PD CD PD D ?⊥?

?⊥?????????⊥??

???

??平面平面＝为的中点

＝

//AQ PCD BE PCD BE AQ ?⊥?

?⊥??

平面平面 . ………………………………………10分

（3）1112122

BDC S AD DC ??? ＝＝＝

…………………………………11分 11

B PD

C P BDC BDC V V PA S --? ＝＝＝. ………………………………14分

19（1

）解：由e c a ==

2234a c =，再由222

c a b =-，得2a b = 由题意可知，

224,22

a b ab ??==即解方程组22

a b

ab =??

=? 得 a=2,b=1

所以椭圆的方程为2

214

x y += (2)解：由（1）可知A （-2,0）。设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),

于是A,B 两点的坐标满足方程组22

(2)

y k x x y =+??

?+=?? 由方程组消去Y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=

由212

164

2,14k x k --=

+得 21122

284,,1414k k x y k k

-==++从而设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为222

82(,)1414k k

k k -

++ 以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是

000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →→→→

=--=-± ）由4，得=

（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2

218()1414k k Y x k k k -

=+++ 令x=0，解得02

614k

y k

+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →

→

=--=-）

210102222

2(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k →

→

--=---++++++ ）=

4222

4(16151)

4(14)k k k +-=+=

整理得2

072,=k k y ==故

综上00==5

y y ±±

20、（1）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+。

又已知不等式()3f x ≤的解集为{}

15x x -≤≤，所以3135a a -=-??

+=?，

，

解得2a =。

（2）当2a =时，()|2|f x x =-。设()()(5)g x f x f x =++，于是

213()|2||3|5321 2.x x g x x x x x x --<-??

=-++=-≤≤??+>?

，；，2；，

所以当3x <-时，()5g x >；当3x -≤≤2时，()5g x =；

当2x >时，()5g x >。综上可得，()g x 的最小值为5。

从而，若()(5)f x f x m ++≥即()g x m ≥对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(-∞，

21. (1)∵函数 f (x ) 的图象关于关于直线x =－3

对称,

∴a ≠0,－b 2a =－3

, ∴ b =3a ①

∵其图象过点(1,0)，则a +b －2

=0 ②

由①②得a = 16 , b = 1

. 4分

(2)由(Ⅰ)得2112()623f x x x =

+- ，∴()n n S f a ==2112623n n a a +- 当n ≥2时，1n S -=2

11112623n n a a --+- .

两式相减得 22

11111()622

n n n n n a a a a a --=-+-

∴22

1111()()062

n n n n a a a a ----+= ，∴11()(3)0n n n n a a a a --+--= 0,n a >∴ 13n n a a --=，∴{}n a 是公差为3的等差数列，且

22111111112

340623

a s a a a a ==+-∴--=

∴a 1 = 4 (a 1 =－1舍去）∴a n =3n+1 9分

（3）2n n n a b =

=312

n +，24731

222n n n T +=+++ ① 122314731222

n n n T ++=+++ ② ①--② 得231111131

23()22222n n n n T ++=++++-

1111(1)3142231212

n n n -+-+=+?-- 133137437222n n n n

n n T -++∴=+--=- 1372(37)

5222n n n n

n n T ++-+-=-= ，

(1) 当n =1、2时，T n －5<0, ∴T n <5；

(2) 当n =3时，T n －5=0, ∴ T n =5；

(3) 当n ≥ 4时，记 h (x ) = 2x +1－(3x +7), h ' (x )= 2x +1ln 2－3, 当x >3时，有：h '(x )>23+1ln 2－3=23×2×ln 2－3=8ln 22－3=8ln 4－3>8－3>0，则h (x )在(3, +∞)上单调递增，∴ 当n ≥4时，2n +1－(3n +7)>0 ∴T n －5>0, ∴ T n >5

综上：当n ≤2, T n <5；当n =3, T n =5；当n ≥4, T n >5. 14分