云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．4
2．（5分）若集合A=，B={﹣2，﹣1，1，2}，全集U=R，则下列
结论正确的是（）
A．A∩B={﹣1，1} B．（C U A）∪B=[﹣1，1]C．A∪B=（﹣2，2）D．（C U A）∩B=[﹣2，2]
3．（5分）已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是（）
A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100x
C．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）
4．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
5．（5分）已知函数y=g（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则g（2）的值为（）
A．9B．C．D．log32
6．（5分）三个数，log0.23，lnπ的大小关系为（）
A．B．
C．D．
7．（5分）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1=0两个根，则（lg）2值等于（）
A．2B．C．4D．
8．（5分）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A．B．C．D．
9．（5分）设函数，则实数a的取值范
围是（）
A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
10．（5分）已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+2，h（x）=log3x+x的零点依次是a，b，c，则a，b，c，的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
11．（5分）方程log2x+log2（x﹣1）=1的解集为M，方程22x+1﹣9?2x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是（）
A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=φ
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（）
A．[1，2]B．C．D．（0，2]
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分）
13．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．14．（5分）函数f（x）=，x∈[0，3]的最大值为．
15．（5分）函数f（x）=+的定义域是．
16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a]
的定义域集合是B．
（1）求集合A，B．
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
18．（12分）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？
19．（12分）计算：
（1）
（2）．
20．（12分）已知二次函数f（x）=x2﹣2ax+4，求下列条件下，实数a的取值范围．
（1）零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内．
21．（12分）定义在R上的偶函数y=f（x）在（﹣∞，0]上递增，函数y=f（x）的一个零点为﹣．求满足的x的取值集合．
22．（12分）已知f（x）=（x+1）?|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围？
云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．4
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}
∴
∴a=4，
故选D．
点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．
2．（5分）若集合A=，B={﹣2，﹣1，1，2}，全集U=R，则下列
结论正确的是（）
A．A∩B={﹣1，1} B．（C U A）∪B=[﹣1，1]C．A∪B=（﹣2，2）D．（C U A）∩B=[﹣2，2]
考点：对数函数的值域与最值；交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：先将A化简．再利用集合的运算对各选项逐一化简检验．
解答：解：集合=[﹣1，1]，
B={﹣2，﹣1，1，2}，
所以A∩B={﹣1，1}，A正确．
B．（C U A）=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（C U A）∪B=）=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），错误C．A∪B=[﹣1，1]∪{2}∪（﹣2}，错误
D（C U A）∩B={﹣2，2}．错误
故选A
点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．
3．（5分）已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是（）
A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100x
C．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）
考点：等比数列的通项公式．
专题：应用题．
分析：设衰变率为a，可以得到（1﹣a）100=0.9576，进而解出1﹣a=0.9576，最后得到x、y之间的函数关系式．
解答：解：设衰变率为a，则（1﹣a）100=0.9576，
得1﹣a=0.9576，
则y=0.9576，
故选：A．
点评：本题主要考查求指数函数解析式的问题，比较基础．
4．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
解答：解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选C．
点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．
5．（5分）已知函数y=g（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则g（2）的值为（）
A．9B．C．D．log32
考点：反函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：反函数只在课本指对函数中介绍，并且说明指对函数互为反函数、图象关于直线y=x 对称，因此可以求出y=g（x）的解析式，将x=2代入即可．
解答：解：因为函数y=g（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，
所以g（x）=log3x，故g（2）=log32，
故选D．
点评：本题考察反函数的概念，对于反函数只掌握指对函数互为反函数并且互为反函数的图象关于直线y=x对称就可以了．
6．（5分）三个数，log0.23，lnπ的大小关系为（）
A．B．
C．D．
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据指数函数，对数函数和幂函数的性质求出a，b，c的取值范围即可确定中间的数．解答：解：∵0＜＜1，log0.23＜0，lnπ＞1，
故log0.23＜＜lnπ．
故选：A．
点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质确定a，b，c的取值范围是解决本题的关键．
7．（5分）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1=0两个根，则（lg）2值等于（）
A．2B．C．4D．
考点：函数的零点．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得：lga+lgb=2，（lga）?（lgb）=，再利用对数的运算性质对（lg）2化简求值．
解答：解：∵lga，lgb是方程2x2﹣4x+1=0两个根，
∴lga+lgb=2，（lga）?（lgb）=，
则（lg）2=（lga﹣lgb）2=（lga+lgb）2﹣4（lga）?（lgb）
=4﹣4×=2，
故选：A．
点评：本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系数的关系．
8．（5分）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．
解答：解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．
当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．
当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，
故选D．
点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
9．（5分）设函数，则实数a的取值范
围是（）
A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用．
分析：a＜0时，f（a）＜1即，a≥0时，，分别求解即可．
解答：解：a＜0时，f（a）＜1即，解得a＞﹣3，所以﹣3＜a＜0；
a≥0时，，解得0≤a＜1
综上可得：﹣3＜a＜1
故选C
点评：本题考查分段函数、解不等式等问题，属基本题，难度不大．
10．（5分）已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+2，h（x）=log3x+x的零点依次是a，b，c，则a，b，c，的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
考点：函数的零点；对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数图象及其单调性可分别得出三个零点范围与大小关系．
解答：解：①令f（x）=0，得3x+x=0，化为3x=﹣x，分别作出函数y=3x，y=﹣x的图象，由图象可知函数f（x）的零点a＜0；
②令g（x）=log3x+2=0，解得x=，∴b=；
③令h（x）=log3x+x=0，可知其零点c＞0，
而h（）=﹣2+＜0=h（c），
又函数h（x）单调递增，
∴＜c．
综上①②③可知：a＜b＜c．
故选A．
点评：正确利用函数图象及其单调性是解题的关键．
11．（5分）方程log2x+log2（x﹣1）=1的解集为M，方程22x+1﹣9?2x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是（）
A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=φ
考点：函数的零点；集合的包含关系判断及应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：解对数方程log2（x2﹣x）=1我们可以求出集合M，解指数方程22x+1﹣9?2x+4=0我们可以求出集合N，进而根据集合包含关系的判定方法，易判断出集合M，N的关系．
解答：解：∵log2x+log2（x﹣1）=1，∴log2（x2﹣x）=1，
即x2﹣x=2，解得x=﹣1，或x=2，
又∵x＞0，x﹣1＞0，∴函数的定义域是x＞1，
M={2}；
若22x+1﹣9?2x+4=0，∴2x=4，或2x=，解得x=2，x=﹣1，即N={﹣1，2}
故M?N，
故选B．
点评：本题考查的知识点是对数方程的解法，指数方程的解法，其中解对应的指数方程和对数方程，求出集合M，N是解答本题的关键．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（）
A．[1，2]B．C．D．（0，2]
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴，
∴可变为f（log2a）≤f（1），
即f（|log2a|）≤f（1），
又∵在区间[0，+∞）上单调递增，且f（x）是定义在R上的偶函数，
∴，即，
解得≤a≤2，
故选：C．
点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分）
13．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．
考点：幂函数的性质．
专题：计算题．
分析：先设出幂函数的解析式，把点代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．
解答：解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，
∴=（﹣2）α，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3，
∴f（x）=27=x﹣3，解得x=．
故答案为：．
点评：本题考查了幂函数的解析式的求法，即利用待定系数法进行求解，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）=，x∈[0，3]的最大值为．
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：先利用g（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，求出值域，再利用f（x）=求解．
解答：解：设g（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
∵在[0，1]单调递减，在[1，3]单调递增，
∴g（1）=2，g（3）=2，g（3）=6，
∴2≤g（x）≤6，
∴函数f（x）=的值域为[，]
故答案为：．
点评：本题考查了二次函数的性质，整体求解函数值域，最值问题，属于容易题．15．（5分）函数f（x）=+的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
解答：解：∵函数f（x）=+，
∴，
解得；
∴f（x）的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣2，3）∪（3，+∞）．
点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应结合题意，列出使函数有意义的不等式组，是基础题．
16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣x（x+1）．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：压轴题；函数的性质及应用．
分析：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．
解答：解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，
由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1﹣（x+1）]=﹣x（x+1），
故答案为：﹣x（x+1）．
点评：本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a]
的定义域集合是B．
（1）求集合A，B．
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
考点：函数的定义域及其求法；并集及其运算．
分析：（1）被开方数≥0，求A，对数的真数＞0求出B．
（2）由题意A是B的子集，可解出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由题意所以A={x|x≤﹣1或x＞2}；
x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0 B={x|x＜a或x＞a+1}；
（2）由A∪B=B得A?B，
因此
解得：﹣1＜a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣1，1]．
点评：本题考查函数的定义域及其求法，并集及运算，是基础题．
18．（12分）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题．
分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．
（2）由（1）的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．
解答：解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），故其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得a=3
故函数的解析式为，t≥1．
所以．
（2）由题意，令f（t）≥0.25，即，
解得，
∴．
∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时．
点评：已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．
19．（12分）计算：
（1）
（2）．
考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用对数性质和运算法则求解．
（2）利用分数指数幂性质和运算法则求解．
解答：解：（1）
=lg﹣lg4+lg7
=
=lg
=．
（2）
=
=．
点评：本题考查对数和分数指数幂的化简求值，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．
20．（12分）已知二次函数f（x）=x2﹣2ax+4，求下列条件下，实数a的取值范围．
（1）零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内．
考点：函数的零点与方程根的关系；函数的零点．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由二次函数的性质，结合二次函数的图象，依次对其分析．
解答：解：由题意得
（1）
解得，2，
（2）f（1）=1﹣2a+4＜0
则a＞．
（3）
解得，＜a＜．
点评：本题考查了二次函数的图象特征及二次函数与二次方程之间的联系，属于基础题．21．（12分）定义在R上的偶函数y=f（x）在（﹣∞，0]上递增，函数y=f（x）的一个零点为﹣．求满足的x的取值集合．
考点：函数的零点；奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数是偶函数，得到也是函数的零点，然后利用函数单调性和奇偶性之间的关系解不等式即可．
解答：解：∵﹣是函数的零点，∴，…（1分）
∵f（x）为偶函数，∴，…（2分）
∵f（x）在（﹣∞，0]上递增，…（4分）
∴0≥≥﹣，∴1≤x≤2，…（7分）
∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上单调减，…（8分）
又，∴0≤≤，∴≤x≤1，∴≤x≤2．…（11分）
故x的取值集合为{x|≤x≤2}．…（12分）
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数的综合性质的应用．
22．（12分）已知f（x）=（x+1）?|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围？
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：数形结合．
分析：关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，即函数f（x）=（x+1）?|x﹣
1|=和y=x+m的图象有三个交点，在同一坐标中画出函数f（x）=（x+1）?|x
﹣1|=和y=x+m的图象，数形结合可得答案．
解答：解：在同一坐标系中画出函数f（x）=（x+1）?|x﹣1|=和y=x+m 的图象如图所示；
根据f′（x）=，令f′（x）=1，解得x=﹣，
此时切点坐标为（﹣，），切线方程为y=x+
故当﹣1＜x＜时，函数f（x）和y=x+m的图象有三个零点
此时关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，
即满足条件的实数m的取值范围为（﹣1，）
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，利用数形结合思想解答函数的零点是求函数零点个数及位置最常用的方法，一定要熟练掌握．